利用導數(shù)證明不等式-文庫吧
2024-10-27 18:46 本頁面
【正文】 遞增1+xx2\ f(x)f(0)=0 \ ln(1+x)x21+x)x。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。(x)=11 1+x１\ln(1+x)x Q x0 \ 1 \ g162。(x)0 １+xx2\ xln(1+x)x 練習：3（2001年全國卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m即要證11ln(1+m)ln(1+n)成立。因為m11ln(1+m)ln(1+n)； mn從而：(1+m)n(1+n)m。評注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問題，首先變換成某一個一元函數(shù)式分別在兩個不同點處的函數(shù)值的大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設函數(shù)，求導判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構(gòu)造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數(shù)學所需要的。第二篇：利用導數(shù)證明不等式利用導數(shù)證明不等式?jīng)]分都沒人答埃。覺得可以就給個好評!最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)!1時,證明不等式xln(x+1)設函數(shù)f(x)=xln(x+1)求導，f(x)39。=11/(1+x)=x/(x+1)0所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)f(x)f(1)=1ln2o所以xln(x+12..證明：aa^20其中0F(a)=aa^2F39。(a)=12a當00。當1/2因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/40即有當000,證明：不等式xx^3/6先證明sinx因為當x=0時，sinxx=0如果當函數(shù)sinxx在x0是減函數(shù)，那么它一定因為cosx1≤0所以sinxx是減函數(shù)，它在0點有最大值0，知sinx再證xx179。/6對于函數(shù)xx179。/6sinx當x=0時，它的值為0對它求導數(shù)得1x178。/2cosx如果它要證x178。/2+cosx10x0再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時，x178。/2+cosx1值為0再次對它求導數(shù)得xsinx根據(jù)剛才證明的當x0sinxx178。/2cosx1是減函數(shù)，在0點有最大值0x178。/2cosx10所以xx179。/6sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0得xx179。/6利用函數(shù)導數(shù)單調(diào)性證明不等式XX178。0，X∈(0,1)成立令f(x)=xx178。x∈則f39。(x)=12x當x∈時,f39。(x)0,f(x)單調(diào)遞增當x∈時,f39。(x)故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值為零故當x∈(0,1)f(x)=xx178。0。i、m、n為正整數(shù)，且1第三篇：談利用導數(shù)證明不等式.談利用導數(shù)證明不等式數(shù)學組鄒黎華在高考試題中，不等式的證明往往與函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列的內(nèi)容綜合，屬于在知識網(wǎng)絡的交匯處設計的試題，有一定的綜合性和難度，突出體現(xiàn)對理性思維的考查，特別是利用高中新增內(nèi)容的導數(shù)來證明不等式，體現(xiàn)了導數(shù)的工具，也是與高等數(shù)學接軌的有力點。本文通過一些實例，來說明利用導數(shù)增證明不等式的基本方法。例1．已知x0，求證：xln(1+x
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