例談利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法小編整理-文庫(kù)吧資料
2024-10-27 14:17本頁(yè)面
【正文】 x33x444(1+x)(1x1)Q x444(1+x)163。162。f(x0)+f162。(x0)2!2f(x)179。(x0)1!f162。0(或Rn(x)179。162。Jensen不等式在初等數(shù)學(xué)中證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、用初等的方法證明會(huì)比較困難,利用導(dǎo)數(shù)為工具, 中值定理,函數(shù)的性質(zhì), Jensen不等式等四種方法證明不等式,、利用泰勒公式證明不等式若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義,并且有直到(n1)階的各階導(dǎo)數(shù),又在點(diǎn)x0處有n階的導(dǎo)數(shù)f(n)(x0),則有公式f(x)=f(x0)+f162。中值定理。i、m、n為正整數(shù)，且1第五篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種常用方法利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種常用方法楊玉新(紹興文理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 浙江 紹興 312000)摘要: 通過(guò)舉例闡述了用導(dǎo)數(shù)證明不等式的四種方法,: 導(dǎo)數(shù)。(x)故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值為零故當(dāng)x∈(0,1)f(x)=xx178。(x)=12x當(dāng)x∈時(shí),f39。0，X∈(0,1)成立令f(x)=xx178。/6sinx是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0得xx179。/2cosx1是減函數(shù)，在0點(diǎn)有最大值0x178。/2+cosx10x0再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時(shí)，x178。/6sinx當(dāng)x=0時(shí)，它的值為0對(duì)它求導(dǎo)數(shù)得1x178。當(dāng)1/2因此，F(xiàn)(a)min=F(1/2)=1/40即有當(dāng)000,證明：不等式xx^3/6先證明sinx因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí)，sinxx=0如果當(dāng)函數(shù)sinxx在x0是減函數(shù)，那么它一定因?yàn)閏osx1≤0所以sinxx是減函數(shù)，它在0點(diǎn)有最大值0，知sinx再證xx179。=11/(1+x)=x/(x+1)0所以f(x)在(1，+無(wú)窮大)上為增函數(shù)f(x)f(1)=1ln2o所以xln(x+12..證明：aa^20其中0F(a)=aa^2F39。第四篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式?jīng)]分都沒(méi)人答埃。評(píng)注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問(wèn)題，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了，通過(guò)設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問(wèn)題。mn證明：(1+m)n(1+n)m分析：要證(1+m)n(1+n)m成立，只要證ln(1+m)nln(1+n)m即要證11ln(1+m)ln(1+n)成立。(x)=11 1+x１\ln(1+x)x Q x0 \ 1 \ g162。)上f(x)單調(diào)遞增1+xx2\ f(x)f(0)=0 \ ln(1+x)x21+x)x。Q x0 即 1+x0 x20x2\ f162。)x1+x,可知f(x)f(x+1)即 ln(x+1)ln(x+2)lnxln(x+1)所以 ln2(x+1)lnxln(x+2).利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明不等式是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，也成為高考的一個(gè)新熱點(diǎn)，其關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，判斷區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與0的關(guān)系，其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性證明不等式。）因而在內(nèi)恒有f39。): 作輔助函數(shù)f(x)=ln(x+1)(x1)lnxlnxln(x+1)xlnx(x+1)ln(x+1)=于是有f162。)上單調(diào)遞增，又f(0)=0,\ex1x1x20,即x0時(shí)，:當(dāng)x1時(shí),有l(wèi)n(x+1)lnxln(x+2).1+x+12x成立。)恒成立。)上恒成立，\f(x)在即f39。(x)=e10.\g(x)在(0,+165。(x)=(x)=e1x,則g39。x練習(xí)：0時(shí)，證明不等式e1+x+12x成立。0,由減函數(shù)的定義可知，x206。(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)，如果F39。(0,p)時(shí)，sinxx成立。(x)0.∴f(x)=sinxx在x206。(x)=cosx1.∵x206。(0,p)時(shí)，證明不等式sinxx成立。(x)f(0)=0 =x+1x+1 即x－lnx0，所以：x0時(shí)，xlnx 評(píng)注：要證明一個(gè)一元函數(shù)組成的不等式成立，首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利 用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要 證的不等式。(0,+165。0 由f39。)上可導(dǎo)。)是增函數(shù)。)。x206?？傊?，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問(wèn)題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，因此，希望同學(xué)門能認(rèn)真對(duì)待，并通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)掌握它。2評(píng)注：本題在設(shè)輔助函數(shù)時(shí)，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時(shí)就把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就更能體會(huì)到其中的奧妙了。(x)0，因此G（x）在區(qū)間(0,+165。)內(nèi)為增函數(shù)，于是在x=a 時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F(a)=0又ba，所以0g(a)+g(b)2g(a+b)2設(shè)G(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)(xa)ln2，則G39。(x)0，當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)39。(x)=g39。例3．（2004年全國(guó)卷理工22題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx,設(shè)0ab證明：0g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2 2證明：設(shè)g(x)=xlnx,g39。評(píng)注：這類非明顯一元函數(shù)式的不等式證明問(wèn)題，首先變換成某一個(gè)一元函數(shù)式分別在兩個(gè)不同點(diǎn)處的函數(shù)值的大小比較問(wèn)題，只要將這個(gè)函數(shù)式找到了，通過(guò)設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問(wèn)題。39。2,01+x即要證所以：f(x)0，所以f(x)在[2,+165。ln(1+x)] 即：f(x)=2[x1+xx1,ln(1+x)179。因?yàn)閙x111139。例2：（2001年全國(guó)卷理20）已知i,m,n是正整數(shù)，且1i163。)時(shí)，f39。(x)=11x可得：當(dāng)x206。且limf(x)=0=f(0)+x174。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165?？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒0時(shí)，f(x)f(0)，這只要證明：f(x)在區(qū)間[0,+165。[0,+165。例1．已知x0，求證：xln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx。參考書目：普
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