高中數(shù)學(xué)誘導(dǎo)公式教學(xué)案例分析-文庫(kù)吧資料
2024-10-14 04:40本頁(yè)面
【正文】 我們一共得到了五組誘導(dǎo)公式，利用它們，可以求出任意角的三角函數(shù)值．為使公式更具一般性，不妨大膽猜測(cè)：若公式中的角α為任意角，公式是否仍能成立？(推廣到一般性．)生：??師：大膽猜測(cè)，還要小心求證．沒有大膽猜測(cè)，就沒有事物的發(fā)展和進(jìn)步；(鼓勵(lì)猜想)，沒有經(jīng)過證明的結(jié)論總是危險(xiǎn)的．我們可先以公式二為例，證明究竟誰猜的對(duì)．(要證明猜測(cè)的結(jié)論，學(xué)生情緒進(jìn)一步高漲．)師：(投影圖3)生：??(師提示：可先由三角函數(shù)線或由三角函數(shù)定義，推出sin(180176。－α)=cosα，tan(360176。－α角與－α角的終邊相同，它們的同一三角函數(shù)值相等，所以有(板書)sin(360176。－α)＝－cotα．(師及時(shí)評(píng)價(jià)、反饋．)師：這組公式通常稱為誘導(dǎo)公式四．觀察其結(jié)構(gòu)特征：①同名函數(shù)關(guān)系；②符號(hào)規(guī)律：右邊符號(hào)與180176。－α)=－cosα，tan(180176。之間角的三角函數(shù)值來求出解答？(橫向聯(lián)想，公式二的歸納過程，會(huì)對(duì)學(xué)生的思維產(chǎn)生正向的影響．)(師提示：由對(duì)稱性找出角的終邊間的關(guān)系，再證出三角函數(shù)線的數(shù)量關(guān)系，正切、余切函數(shù)的誘導(dǎo)公式可由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式推出．)生：??(討論的同時(shí)，完成圖2．)師：(板書)生：(板書完成)sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝tanα，cot(－α)＝－cotα．(及時(shí)評(píng)價(jià)、反饋．)師：這組公式通常稱為誘導(dǎo)公式三．觀察其結(jié)構(gòu)特征：①同名函數(shù)關(guān)系；②符號(hào)規(guī)律是：右邊符號(hào)與－α所在的第四象限角的原三角函數(shù)值的符號(hào)相同．師：(板書)生：(完成板書)sin(180176。之間的角的三角函數(shù)值問題，能否轉(zhuǎn)化為0176。、270176。之間角的三角函數(shù)值，從而得出函數(shù)值；那么90176。之間角的三角函數(shù)值，又可通過誘導(dǎo)公式二化為0176。之間角的三角函數(shù)值問題；180176。＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函數(shù)值的符號(hào)相同．(為總結(jié)公式的記憶方法打基礎(chǔ)．)師：任意角的三角函數(shù)值問題，可以由公式一化為0176。＋α)=tanα，cot(180176。＋α)=－sinα，cos(180176?！?0176。～270176。～270176?！?70176?！?0176?！?70176。)=－sin36176。=sin(180176。的值的問題，轉(zhuǎn)化為可查表的36176。=－sin 36176。=MP，sin 36176。=36176。之間找到一個(gè)角α=216176。角的終邊OP在第三象限內(nèi)，將OP反向延長(zhǎng)，與單位圓交于P′點(diǎn)，則在0176。之間找到一個(gè)角α，把求sin 216176。之間的角的三角函數(shù)值可以通過查表求得．那么，能否借助一個(gè)工具，在0176。．(至此，絕大多數(shù)同學(xué)已無法再演算下去了．)(以舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，導(dǎo)出新的問題，使學(xué)生新的求知欲得到激發(fā)，渴望得到回答，以達(dá)到以舊帶新，以舊拓新的目的．)師：能否導(dǎo)出一些新的公式來解決這類問題？可先看這道具體問題如何求解．我們知道0176。216176。360176。的值．生：由公式一，sin 2016176?！?60176。360176。360176。360176。360176。177。α的三角函數(shù)值等于α的余名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．兩套公式合起來，可統(tǒng)一概括為 對(duì)于kα，270176。α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：90176。α，270176。＋α）＝cosα．對(duì)此結(jié)論和方法，教師不宜作任何評(píng)論，而應(yīng)放手讓學(xué)生展開辯論和交流，最后得到正確結(jié)果：由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長(zhǎng)度相等，而當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到：教師進(jìn)一步引導(dǎo)：（1）推導(dǎo)上面的公式時(shí)，利用了點(diǎn)P在第一象限的條件．當(dāng)點(diǎn)Ｐ不在第一象限時(shí)，是否仍有上面的結(jié)論？（通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學(xué)生理解公式六中的角α可以為任意角）（2）推導(dǎo)公式六時(shí)，采用了初中的平面幾何知識(shí)．是否也能像推導(dǎo)前五組公式那樣采用對(duì)稱變換的方式呢？學(xué)生探究：學(xué)生先針對(duì)α為銳角時(shí)的情況進(jìn)行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設(shè)角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P（x，y），（如圖）．由于角α的終邊經(jīng)過下述變換：2（＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P′（x′，y′）－α）＋2a＝，即可得到＋α的終邊．這是兩次對(duì)稱變換，即先作P關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)M（y，x），再作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．由此，可進(jìn)一步得到：教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把90176。＋α）＝y(tǒng)′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y(tǒng)′，y＝x′．進(jìn)而得到cos（90176。＋α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，cos（90176。那么90176。也可以寫成90176。角，它既可以寫成180176。－α的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這些角有一個(gè)共同點(diǎn)，即：均為180176。177。360176。－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］．通過應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)誘導(dǎo)公式的作用：①把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其一般步驟為評(píng)注：本題中，若代入cosα177。360176。α，－α，360176。＋α，180176。－α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為－α的三角函數(shù)值，然后通過尋找－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使原問題得到解決．由學(xué)生獨(dú)立完成如下推導(dǎo)：如圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P′．∵這兩個(gè)角的終邊關(guān)于ｘ軸對(duì)稱，∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝從而得到：進(jìn)而推出：注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學(xué)生充分體驗(yàn)成功的快樂． 公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把k－α看成180176。＋α）＝－x，sin 在推導(dǎo)公式三時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到如下困難，即：若α為任意角，180176。＋α）＝－y，tan（180176。＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長(zhǎng)線，則角180176。－α），cos（360176。＝．一般地，cos（180176。＋60176。＝－，cos300176。＋60176。＝－，cos240176。－60176。角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系，進(jìn)而求出其余弦值？引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形，得到如下結(jié)果：cos120176。240176。～360176。范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值．練習(xí)：求下列各三角函數(shù)值．（1） π．（2）tan405176。時(shí)，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ ？試說明理由．二、建立模型 在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生獨(dú)立推出公式（一），即 在公式的應(yīng)用中讓學(xué)生體會(huì)公式的作用，即把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0176。177。范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，除了利用第二、四、五個(gè)公式外，還可以利用90176。＋α與角α的終邊”及“－α與角α的終邊”之間的位置關(guān)系，從而完成公式的推導(dǎo)．此外，要把90176。－α的公式，并通過運(yùn)用這些公式，把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節(jié)課的重點(diǎn)是后四
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