北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)34定積分與微積分基本定理(理)-文庫吧資料
2024-11-27 01:41本頁面
【正文】 ，求出平面圖形的面積． 求曲線 y ＝ x ， y ＝ 2 － x ， y ＝－13x 所圍成圖形的面積． [ 解析 ] 由????? y ＝ x ，y ＝ 2 － x ，得交點 A ( 1,1) ； 由????? y ＝ 2 － xy ＝－13x得交點 B (3 ，－ 1) ． 故所圍成區(qū)域的面積為 S ＝????01( x ＋13x )d x ＋????13(2 － x ＋13x )d x ＝ (23x 32 ＋16x2)|10＋ (2 x －13x2)|31 ＝23＋16＋43＝136. 定積分在物理中的應(yīng)用 一物體做變速直線運動，其 v － t 圖線如圖所示，求該物體在12s ～ 6s 間的運動路程． [ 思路分析 ] 從上圖可以看出物體在 0 ≤ t ≤ 1 時做加速運動， 1 ≤ t ≤ 3 時做勻速運動， 3 ≤ t ≤ 6 時也做加速運動，但加速度不同，也就是說 0 ≤ t ≤ 6 時， v ( t ) 為一個分段函數(shù)，故應(yīng)分三段求積分才能求出曲邊梯形的面積． [ 規(guī)范解答 ] v ( t ) ＝??????? 2 t ? 0 ≤ t 1 ?2 ? 1 ≤ t 3 ?13t ＋ 1 ? 3 ≤ t ≤ 6 ?， 由變速直線運動的路程公式，可得 [ 方法總結(jié) ] 定積分在物理中的應(yīng)用主要有兩個方面： ( 1) 求路程． 做變速運動的物體在一段時間間隔內(nèi)所走的路程，可以利用該物體運動的速度關(guān)于時間的函數(shù)在該時間段上的積分來求解．因此要求一個物體在一段時間內(nèi)的路程，只要求出其運動的速度函數(shù)，再利用微積分基本定理求出該時間段上的定積分即可，即物體做變速直線運動的路程 s ，等于其速度 函數(shù) v ＝ v ( t )( v ( t ) ≥ 0) 在時間區(qū)間 [ a ， b ] 上的定積分????abv ( t )d t . 另外物體做變速直線運動的速度 v ，等于加速度函數(shù) a ＝ a ( t ) 在時間區(qū)間 [ a ， b ] 上的定積分????aba ( t )d t . ( 2) 變力做功 變力做功：一物體在變力 F ( x ) 的作用下作直線運動，并且物體沿著與 F ( x ) 相同的方向從 x ＝ a 移動到 x ＝ b ( a b ) ，則變力 F ( x ) 所做的功為 W ＝????abF ( x )d x . 一物體以 v ( t ) ＝ t2－ 3 t ＋ 8( m/s ) 的速度運動，在前 30s 內(nèi)的平均速度為 ________ ． [ 答案 ] 26 3 m/s [ 解析 ] 由定積分的物理意義有： s ＝ ∫300( t2－ 3 t ＋ 8) d t ＝ (13t3－32t2＋ 8 t )|300＝ 7 890( m) ． ∴ v ＝st＝7 89030＝ 263( m/s ) . 易 錯 警 示 求曲線 f ( x ) ＝ sin x ， x ∈ [0 ，54π] 與 x 軸圍成的圖形的面積． [ 錯解 ] 設(shè)曲線 f ( x ) ＝ sin x ， x ∈ [0 ，54π] 與 x 軸圍成的圖形的面積為 S ， [ 錯因分析 ] 本題的錯誤在于沒有理解定積分的幾何意義，當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時，定積分的值取負(fù)值 ，其面積應(yīng)是該定積分的相反數(shù)． [ 正確解答 ] 對于 f ( x ) ＝ sin x ， 當(dāng) x ∈ [0 ， π] 時， f ( x ) ≥ 0 ， 當(dāng) x ∈ (π ，54π] 時， f ( x ) 0 ， [ 誤區(qū)警示 ] 利用定積分求圖像所圍成的陰影部分的面積時，要注 意利用數(shù)形結(jié)合的方法確定出被積函數(shù)和積分的上限與下限，同時要注意圖像與 x 軸的位置 . 名 師 點 睛 一種思想 定積分基本思想的核心是 “ 以直代曲 ” ，用 “ 有限 ” 的步驟解決 “ 無限 ” 過程的問題，其方法是 “ 分割求近似，求和取極限 ” ，利用這種方法可推導(dǎo)球的表面積和體積公式等． 一個公式 由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運算． 三條性質(zhì) ( 1) 常數(shù)可提到積分號外； ( 2) 和差的積分等于積分的和差； ( 3) 積分可分
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1