高中數(shù)學(xué)23等差數(shù)列的前n項和課件新人教a版必修5-文庫吧資料
2024-11-25 17:05本頁面
【正文】 an＝ 25 － 2 ? n － 1 ? ≥ 0an ＋ 1＝ 25 － 2 n ＜ 0， 得????? n ≤ 1312，n ＞ 1212， 即 1212＜ n ≤ 1312. ∴ 當(dāng) n ＝ 13 時， Sn有最大值 169. [ 類題通法 ] 求等差數(shù)列的前 n 項和 Sn的最值通常有兩種思路 (1) 將 Sn＝ na1＋n ? n － 1 ?2d ＝d2n2＋ ( a1－d2) n 配方．轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題，借助函數(shù)單調(diào)性來解決． (2) 鄰項變號法： 當(dāng) a10 ， d 0 時，滿足????? an≥ 0 ，an ＋ 1≤ 0的項數(shù) n 使 Sn取最大值． 當(dāng) a10 ， d 0 時，滿足????? an≤ 0 ，an ＋ 1≥ 0的項數(shù) n 使 Sn取最小值． [ 活學(xué)活用 ] 4 ．已知 { a n } 是一個等差數(shù)列，且 a 2 ＝ 1 ， a 5 ＝－ 5. ( 1) 求 { a n } 的通項 a n ； ( 2) 求 { a n } 前 n 項和 S n 的最大值． 解： ( 1) 設(shè) { an} 的公差為 d ， 由已知條件，得????? a1＋ d ＝ 1 ，a1＋ 4 d ＝－ 5 ，解得 a1＝ 3 ， d ＝－ 2. 所以 an＝ a1＋ ( n － 1) d ＝－ 2 n ＋ 5. ( 2) Sn＝ na1＋n ? n － 1 ?2d ＝－ n2＋ 4 n ＝ 4 － ( n － 2)2. 所以 n ＝ 2 時， Sn最大，且最大值為 4. 3. 求等差數(shù)列前 n 項和 [ 典例 ] 已知等差數(shù)列 { a n } 滿足： a 3 ＝ 7 ， a 5 ＋ a 7 ＝ 26 ， { a n }的前 n 項和為 S n . 求 a n 及 S n . [ 解題流程 ] 求 a n 及 S n 的值，應(yīng)求a 1 和 d . 由 a 3 ＝ 7 ， a 5 ＋ a 7 ＝ 26 ，可求首項 a 1 和公差 d ，應(yīng)列關(guān)于 a 1 和d 的方程組． 已知條件 → 列出關(guān)于 a 和 d方程組 → a 1 和 d 的值 → 利用公式得出 a n 和 S n . [ 規(guī)范解答 ] 設(shè)等差數(shù)列 { an} 的公差為 d ，因為 a3＝ 7 ，a5＋ a7＝ 26 ，所以有????? a1＋ 2 d ＝ 7 ，2 a1＋ 10 d ＝ 26 ，? 4 分 ?解得 a1＝ 3 ， d ＝ 2 ， ? 6 分 ?所以 an＝ 3 ＋ 2 ? n － 1 ? ＝ 2 n ＋ 1 ， ? 9 分 ?Sn＝ 3 n ＋n ? n － 1 ?2 2 ＝ n2＋ 2 n . ? 12 分 ? [ 名師批注 ] 解決等差數(shù)列問題時，有以下幾點(diǎn)容易造成失分 (1) 利用方程的思想聯(lián)立求解在計 算上容易出現(xiàn)失誤，不能準(zhǔn)確 求出首項 a1和公差 d ； (2) 基本公式中的項數(shù)或奇偶項的 確定不正確； (3) 判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列 時，易忽略驗證第一項． [ 活學(xué)活用 ] 已知等差數(shù)列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a 3 ＝－ 3. ( 1) 求數(shù)列 { a n } 的通項公式； ( 2) 若數(shù)列 { a n } 的前 k 項和S k ＝－ 35 ，求 k 的值． 解： ( 1) 設(shè)等差數(shù)列 { an} 的公差為 d ，則 an＝ a1＋ ( n － 1) d .由 a1＝ 1 ， a3＝－ 3 可得 1 ＋ 2 d ＝－ 3. 解得 d ＝－ 2. 從而， an＝ 1 ＋ ( n － 1) ( － 2) ＝ 3 － 2 n . ( 2) 由 ( 1) 可知 an＝ 3 － 2 n . 所以 Sn＝n ??????1 ＋ ? 3 － 2 n ?2＝ 2 n －n2. 進(jìn)而由 Sk＝－ 35 ，可得
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