【正文】 的，或說產(chǎn)品性能對該因素的變化具有穩(wěn)健性。因素重要性的順序為 DCAB，最優(yōu)方案為 A3B1C2D3.第四節(jié)：擬水平法的方差分析第一節(jié)：穩(wěn)健性和穩(wěn)健設(shè)計第二節(jié)：產(chǎn)品的三階段設(shè)計第三節(jié)：信噪比第四講：穩(wěn)健設(shè)計穩(wěn)健性：穩(wěn)健性 (robustness), 也叫魯棒性，是指因素狀況發(fā)生微小變差對因變量影響的不敏感性。因此，離差平方和為：其余因素的離差平方和為誤差的離差平方和為：第四節(jié)：擬水平法的方差分析方差分析表：從 F值和臨界值比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說，因素 D的影響大些。據(jù)經(jīng)驗知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第 2水平并安排在第 1列。在除銹效果達(dá)到要求的情況下，酸洗時間越短越好。為了提高除銹效率，縮短酸洗時間，先安排酸洗試驗。第三節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析方差分析表 (2)：臨界值 (1， 6) = , (1, 6) = 從 F值和臨界值的比較來看，因素 B就是顯著性因素了。為提高分析精度，我們只考慮因素 B，把因素 A， C都并入誤差?？疾斓闹笜?biāo)是洛氏硬度 (HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有 3個： 退火溫度 A，保溫時間 B，冷卻介質(zhì) C。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi) ,硬度越低越好。于是，最優(yōu)方案就取 A1B3C3.第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析混合型正交設(shè)計的方差分析，本質(zhì)上與一般水平數(shù)相等正交設(shè)計的方差分析相同，只要在計算時注意到各水平數(shù)的差別就行了。交互作用 AXB也是顯著的，但由于 AXB占兩列，直觀分析法有些困難，因此把 A和 B的各種組合的試驗結(jié)果對照起來分析。通過 F值與臨界值比較看出，因素 A,B,C和交互作用 AXB對試驗的影響都是顯著的，從 F值的大小看，因素 C最顯著，以下依次為 A， B， AXB第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析方差分析 (2)：由于這里的試驗指標(biāo)是產(chǎn)品的產(chǎn)量，越大越好，所以最優(yōu)方案應(yīng)取各因素中 K的最大值所對應(yīng)的水平。通常，若 F (f因 ， fE)，就稱該因素是高度顯著的，用兩個星號表示；若 F (f因 ， fE)，但 F (f因 ， fE)，則稱該因素的影響是顯著的，用一個星號表示；若 F(f因 ， fE)，就稱該因素的影響是不顯著的，不用星號表示?？紤]因素之間的所有一級交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。根據(jù)工程技術(shù)人員的經(jīng)驗，取試驗因素和相應(yīng)水平如下表：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析解 ： (選用正交表 L9(34)表頭設(shè)計：試驗計劃與試驗結(jié)果：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析詳細(xì)計算如下：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析列方差分析表如下：最佳條件的選擇：對顯著因子應(yīng)取最好的水平 ， 對不顯著因子的水平可以任意選取 ； 在實際中通常從降低成本操作方便等角度加以選擇 ， 上面的例子中對因子 A與 B應(yīng)選擇 A2B2，因子 C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇 C1第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析驗證試驗：對 A2B2C1進(jìn)行三次試驗，結(jié)果為： 234， 240， 220，平均值為 . 此結(jié)果是滿意的例 2(有交互作用 ):為提高某產(chǎn)品的產(chǎn)量，需要考慮 3個因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度。第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析例 1 (無交互作用 ):磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于 。第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟對因素進(jìn)行顯著性檢驗 :給出檢驗水平 α，從 F分布表中查出臨界值 Fα(f因 ， fE)。因素的平均離差平方和 = (因素離差的平方和 )/因素的自由度 = S因 /f因試驗誤差的平均離差平方和 = (試驗誤差的離差的平方和 )/試驗誤差的自由度 = SE / fE求 F比 :將各因素的平均離差的平方和與誤差的平均離差平方和相比，得出 F值。比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟3) 試驗誤差的離差的平方和 SE設(shè) S因 +交 為所有因素以及要考慮的交互作用的離差的平方和，因為 ST = S因 +交 + SE, 所以 SE = ST S因 +交計算自由度 :試驗的總自由度 f總 = 試驗總次數(shù) 1 = n 1各因素的自由度 f因 = 因素的水平數(shù) 1 = na 1兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積 fAxB = fA X fB試驗誤差的自由度 fE = f總 f因 +交第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟計算平均離差平方和 (均方 ):在計算各因素離差平方和時，我們知道，它們都是若干項平方的和 , 它們的大小與項數(shù)有關(guān)，因此不能確切反映各因素的情況。對于兩因素的交互作用，我們把它當(dāng)作一個新的因素。SA反映了因素 A的水平變化時所引起的試驗結(jié)果的差異，即因素 A對試驗結(jié)果的影響。用 xij表示因素 A的第 i個水平的第 j個試驗的結(jié)果 (i = 1, 2, …, n a。第一節(jié)： 正交設(shè)計方差分析的步驟2) 各因素離差的平方和下面以計算因素 A的離差的平方和 SA為例來說明。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (2):簡化公式第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (3):方差分析表第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析第一節(jié)：正交設(shè)計方差分析的步驟第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計的方差分析第三節(jié)：混合型正交設(shè)計的方差分析第四節(jié)：擬水平法的方差分析第五節(jié)：重復(fù)試驗的方差分析第三講：正交試驗的方差分析計算離差的平方和 :設(shè)用正交表安排 m個因素的試驗，試驗總次數(shù)為 n, 試驗的結(jié)果分別為 x1, x2, … … , x n. 假定每個因素有 na個水平，每個水平做 a次試驗，則 n = ana.1) 總離差的平方和 ST記記為 其中ST反映了試驗結(jié)果的總差異，它越大，說明各次試驗的結(jié)果之間的差異越大。SB的自由度為 ( b 1)。第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (分析過程略 ):自由度 :ST的自由度為 ( abn 1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析F檢驗法 :統(tǒng)計量對于給出的 α， 查出 Fα(a 1, (a 1)(b1)), Fα(b 1, (a 1)(b1))的值， 由樣本計算出 F1, F2值。SB的自由度為 ( b 1)。第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為記在水平 Bj 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得記為 ST = SA (效應(yīng)平方和 )+ SB (效應(yīng)平方和 )+ SE (誤差平方和 )第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析自由度 :ST的自由度為 ( ab 1)。問：抗拉強度是否受摻入棉花百分比的影響 (α＝ )?第二節(jié)：單因素試驗的方差分析解 : a = 5, ni = 5 (i = 1, 2, … … , 5), n = 25ST, SA, SE的自由度分別為 24， 4， 20第二節(jié)：單因素試驗的方差分析解 (2):已給出 α=， 查表得 Fα(a1, na)=(4,20)= 這里 F==(4, 20)說明棉花的百分比對人造纖維的抗拉強度有影響。現(xiàn)確定棉花百分比的 5個水平 : 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。 MSE = SE/ (na)第二節(jié)：單因素試驗的方差分析F檢驗法：統(tǒng)計量 F = MSA/MSE ~ F (a 1, n a) ， 對于給出的 α， 查出 Fα(a 1, n a)的值， 由樣本計算出 SA和 SE， 從而算出 F值。SE的自由度為 ( n a)。ST的自由度為 ( n 1)。為此引入了自由度的概念。第二節(jié)：單因素試驗的方差分析自由度的概念 :在實際計算中，我們發(fā)現(xiàn)在同樣的波動程度下，數(shù)據(jù)多的平方和要大于數(shù)據(jù)少的平方和，因此僅用平方和來反映波動的大小還是不夠的。假設(shè)：單因素 A有 a個水平 A1， A2, … … , A a，在水平 Ai (i=1, 2, … … , a) 下，進(jìn)行ni次獨立試驗，得到試驗指標(biāo)的觀察值列于下表：我們假定在各個水平 Ai下的樣本來自具有相同方差 σ2，均值分別為 μi的正態(tài)總體 Xi~N(μi , σ2 )，其中 μi , σ2均為未知，并且不同水平 Ai下的樣本之間相互獨立。一個直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項數(shù)，但從數(shù)學(xué)理論上推知這不是一個最好的辦法，而應(yīng)把項數(shù)加以修正，這個修正的數(shù)就叫做自由度。第一節(jié)：問題的提出自由度的提出 (2)：平均數(shù)與過去的結(jié)果是相近的，但平方和是顯著地變大了。另外，在計算 x時由于除不盡而四舍五入，在計算 S時，累計誤差較大。其中其中第一節(jié)：問題的提出對變差平方和的進(jìn)一步討論：例：測得某高爐的六爐鐵水含碳量為 : ， ， ， ， ，求其變差平方和。如何給變差一個數(shù)量表示呢 ?1) 一個最直觀的想法是用這 n個數(shù)中最大值與最小值之差，即極差來表達(dá)，用 R記之；2) 變差平方和，以 S記之。產(chǎn)生總變差的原因一是試驗誤差，一是條件變差。產(chǎn)生這種矛盾的現(xiàn)象也是由于試驗誤差的干擾。2. 補充作業(yè) (另附 )第一節(jié)：問題的提出第二節(jié)：單因素試驗的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析第二講：方差分析 （ ANOVA）第一節(jié)：問題的提出先看一個例子：考察溫度對某一化工廠產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗，測得結(jié)果如下：要分析溫度的變化對得率的影響總平均得率總平均得率 =%第一節(jié)：問題的提出從平均得率來看，溫度對得率的影響 ?1) 同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差異的原因是由于試驗過程中各種偶然性因素的干擾及測量誤差等所致，這一類誤差統(tǒng)稱為試驗誤差；2) 兩 種溫度的得率在不同的試驗中的傾向有所差別。綜合分析，最好的方案應(yīng)是 A1B2C2，這與 試驗 4相吻合 。列出 A和 B進(jìn)行組合的幾種效果表：從此表可知， A和 B的最佳組合為 A1B2。 3個因素 A, B, C要占 3列，它們之間的交互作用 A x B, B x C, A x C 又占 3列。每兩個因素之間都有交互作用，試驗指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。因素 A和因素B的交互作用記為 A X B.第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計 單個單個 因子因子 的影的影 響響 與其與其 交互作用交互作用 的影的影 響響 比較比較 30 m50Kg 磷磷25 m50Kg 鉀鉀20kg 磷磷30kg 鉀鉀40 m交互作用交互作用 = 總總 效果效果 (20kg 磷的效果磷的效果 + 30kg 鉀鉀 的效果的效果 )交互作用