【正文】 例 4： (直接利用混合水平正交表 )某農(nóng)科站進行品種試驗，共有 4個因素： A(品種 )、 B(氮肥量 )、C(氮、磷、鉀比例 )、 D(規(guī)格 )。因素 A是 4水平的，另外 3個因素是 2水平的。試驗指標是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計解：分析結(jié)果見下表。第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計例 5： (擬水平法 )今有一試驗，試驗指標只有一個，它的數(shù)值越小越好，這個試驗有 4個因素，其中因素 C是 2水平的，其余 3個因素都是 3水平的，試安排試驗。解：我們從第 第 2兩個水平中選一個水平讓它重復(fù)一次作為第 3水平，這就叫虛擬水平。一般應(yīng)根據(jù)實際經(jīng)驗，選取一個較好的水平。第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計分析結(jié)果見下表。第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計總結(jié)：擬水平法是將水平少的因素歸入水平數(shù)多的正交表中的一種處理問題的方法。在沒有合適的混合水平的正交表可用時，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗的方法。它不僅可以對一個因素虛擬水平，也可以對多個因素虛擬水平。第三節(jié)：混合水平的正交試驗設(shè)計什么是交互作用：在多因素試驗中，各因素不僅各自獨立地在起作用，而且各因素還經(jīng)常聯(lián)合起來起作用。也就是說，不僅各個因素的水平改變時對試驗指標有影響，而且各因素的聯(lián)合搭配對試驗指標也有影響。這后一種影響就叫做因素的交互作用。因素 A和因素B的交互作用記為 A X B.第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計 單個單個 因子因子 的影的影 響響 與其與其 交互作用交互作用 的影的影 響響 比較比較 30 m50Kg 磷磷25 m50Kg 鉀鉀20kg 磷磷30kg 鉀鉀40 m交互作用交互作用 = 總總 效果效果 (20kg 磷的效果磷的效果 + 30kg 鉀鉀 的效果的效果 )交互作用表（ 以正交表 L8(27)為例）：用正交表安排有交互作用的試驗時，我們把兩個因素的交互作用當成一個新的因素來看，讓它占有一列，叫交互作用列。第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計例 6： (水平數(shù)相同 )我們用一個 3因素 2水平的有交互作用的例子來說明某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于 3個因素 A， B， C， 每個因素都有兩個水平。每兩個因素之間都有交互作用，試驗指標為產(chǎn)量，越高越好。具體如下：第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計解：這是 3因素 2水平的試驗。 3個因素 A, B, C要占 3列，它們之間的交互作用 A x B, B x C, A x C 又占 3列?？捎谜槐?L8(27).第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計分析：從極差大小看，影響最大的因素是 C， 以 2水平為好；其次是AxB， 以 2水平為好，第 3是因素 A， 以 1水平為好，第 4是因素 B以 1水平為好。列出 A和 B進行組合的幾種效果表：從此表可知， A和 B的最佳組合為 A1B2。AxC 和 BxC的極差很小，對試驗的影響很小，忽略不計。綜合分析，最好的方案應(yīng)是 A1B2C2，這與 試驗 4相吻合 。第四節(jié)：有交互作用的正交試驗設(shè)計作 業(yè) 要 求1. 按照正交試驗 (直觀分析法 )的原理，解決你實際工作中的一個問題，并總結(jié)成實驗分析報告。2. 補充作業(yè) (另附 )第一節(jié)：問題的提出第二節(jié)：單因素試驗的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析第二講：方差分析 （ ANOVA）第一節(jié)：問題的提出先看一個例子：考察溫度對某一化工廠產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗，測得結(jié)果如下：要分析溫度的變化對得率的影響總平均得率總平均得率 =%第一節(jié)：問題的提出從平均得率來看，溫度對得率的影響 ?1) 同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差異的原因是由于試驗過程中各種偶然性因素的干擾及測量誤差等所致，這一類誤差統(tǒng)稱為試驗誤差；2) 兩 種溫度的得率在不同的試驗中的傾向有所差別。如 65oC 與 70oC相比較，第一次 65oC比 70oC 好，而后二次 70oC比65oC 好。產(chǎn)生這種矛盾的現(xiàn)象也是由于試驗誤差的干擾。由于試驗誤差的存在，對于不同溫度下得率的差異自然要提出疑問，這差異是試驗誤差造成的，還是溫度的影響呢 ?第一節(jié)：問題的提出1) 由于溫度的不同引起得率的差異叫做條件變差； 例中的全部 15個數(shù)據(jù)，參差不齊，它們的差異叫做總變差(或總離差 )。產(chǎn)生總變差的原因一是試驗誤差，一是條件變差。2) 方差分析解決這類問題的思想是：a. 由數(shù)據(jù)的總變差中分出試驗誤差和條件變差，并賦予它們的數(shù)量表示；b. 用條件變差和試驗誤差在一定意義下進行比較，如兩者相差不大，說明條件的變化對指標影響不大；反之，則說明條件的變化影響是很大的，不可忽視；c. 選擇較好的工藝條件或確定進一步試驗的方向；第一節(jié)：問題的提出變差的數(shù)量表示：有 n個參差不齊的數(shù)據(jù) x1, x2, …, x n, 它們之間的差異稱為變差。如何給變差一個數(shù)量表示呢 ?1) 一個最直觀的想法是用這 n個數(shù)中最大值與最小值之差，即極差來表達，用 R記之；2) 變差平方和，以 S記之。S是每個數(shù)據(jù)離平均值有多遠的一個測度，它越大表示數(shù)據(jù)間的差異越大。其中其中第一節(jié)：問題的提出對變差平方和的進一步討論：例：測得某高爐的六爐鐵水含碳量為 : ， ， ， ， ，求其變差平方和。第一節(jié)：問題的提出對變差平方和的進一步討論 (2)：我們看到 S的計算是比較麻煩的，原因是計算 x時有效位數(shù)增加了因而計算平方時工作量就大大增加。另外，在計算 x時由于除不盡而四舍五入，在計算 S時，累計誤差較大。為此常用以下公式 :對于前面的例子對于前面的例子第一節(jié)：問題的提出自由度的提出：例 2：在上例的基礎(chǔ)上在同樣的工藝條件下又測了四爐鐵水，它們是： , , , , 加上原來的六爐共十爐，求其變方和。第一節(jié)：問題的提出自由度的提出 (2)：平均數(shù)與過去的結(jié)果是相近的，但平方和是顯著地變大了。我們要設(shè)法消除數(shù)據(jù)個數(shù)的多少給平方和帶來的影響。一個直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項數(shù)，但從數(shù)學(xué)理論上推知這不是一個最好的辦法，而應(yīng)把項數(shù)加以修正，這個修正的數(shù)就叫做自由度。第一節(jié)：問題的提出自由度的提出 (3)：設(shè)有 n個數(shù) y1, y2, … , y n, 它們的平方和 的自由度是多少呢 ? 這就看 {yi} 之間有沒有線性約束關(guān)系，如果有 m個 (0mn)線性約束方程 a11y1+a12y2+… +a 1nyn = 0 a21y1+a22y2+… +a 2nyn = 0 … am1y1+am2y2+… +a mnyn = 0并且這 m個方程相互獨立，即方程系數(shù)矩陣的秩等于 m, 則 S的自由度是 n m.第一節(jié)：問題的提出自由度的提出 (4)：根據(jù)這個定義，如令 yi = xi x (i=1, 2, … , n)則顯然 {yi}之間有一個線性約束關(guān)系，即即 m = 1, a11 = a12 = … = a 1n = 1所以變差平方和的自由度 = n m = n 1第一節(jié)：問題的提出均方的概念：平均平方和 (簡稱均方 )等于變差平方和除以相應(yīng)的自由度 f.平均平方和以 MS表示，它的開方叫做均方差對例 MS = , 均方差為 對例 MS = ，均方差為 我們看到六爐和十爐的 MS是很相近的，這與工藝條件相同是吻合的，說明用 MS反映波動的大小是更為合理的。假設(shè)：單因素 A有 a個水平 A1， A2, … … , A a，在水平 Ai (i=1, 2, … … , a) 下，進行ni次獨立試驗，得到試驗指標的觀察值列于下表：我們假定在各個水平 Ai下的樣本來自具有相同方差 σ2，均值分別為 μi的正態(tài)總體 Xi~N(μi , σ2 )，其中 μi , σ2均為未知，并且不同水平 Ai下的樣本之間相互獨立。第二節(jié)：單因素試驗的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得第二節(jié)：單因素試驗的方差分析總離差平方和的分解 (2):上面展開式中的第三項為 0若記 SA= SE=則有： ST = SA + SEST表示全部試驗數(shù)據(jù)與總平均值之間的差異SA表示在 Ai水平下的樣本均值與總平均值之間的差異 , 是組間差SE表示在 Ai水平下的樣本均值與樣本值之間的差異 , 是組內(nèi)差， 它是由隨機誤差引起的。第二節(jié)：單因素試驗的方差分析自由度的概念 :在實際計算中，我們發(fā)現(xiàn)在同樣的波動程度下，數(shù)據(jù)多的平方和要大于數(shù)據(jù)少的平方和，因此僅用平方和來反映波動的大小還是不夠的。我們要設(shè)法消去數(shù)據(jù)個數(shù)的多少給平方和帶來的影響。為此引入了自由度的概念。一個直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項數(shù)，但應(yīng)把項數(shù)加以修正，這個修正的數(shù)就叫自由度。ST的自由度為 ( n 1)。SA的自由度為 ( a 1)。SE的自由度為 ( n a)。均方 :MSA = SA/ (a1)。 MSE = SE/ (na)第二節(jié)：單因素試驗的方差分析F檢驗法：統(tǒng)計量 F = MSA/MSE ~ F (a 1, n a) ， 對于給出的 α， 查出 Fα(a 1, n a)的值， 由樣本計算出 SA和 SE， 從而算出 F值。從而有如下判斷：若 F Fα (a 1, n a)， 則說明試驗條件的變化對試驗結(jié)果有顯著影響；若 F Fα(a 1, n a)， 則說明試驗條件的變化對試驗結(jié)果無顯著影響；為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式：記 i= 1, 2, … … , a, 則有第二節(jié)：單因素試驗的方差分析方差分析表 :第二節(jié)：單因素試驗的方差分析例 1： (單因素的方差分析 )人造纖維的抗拉強度是否受摻入其中的棉花的百分比的影響是有疑問的?，F(xiàn)確定棉花百分比的 5個水平 : 15%, 20%, 25%, 30%, 35%。 每個水平中測 5個抗拉強度的值，列于下表。問：抗拉強度是否受摻入棉花百分比的影響 (α＝ )?第二節(jié)：單因素試驗的方差分析解 : a = 5, ni = 5 (i = 1, 2, … … , 5), n = 25ST, SA, SE的自由度分別為 24， 4， 20第二節(jié)：單因素試驗的方差分析解 (2):已給出 α=， 查表得 Fα(a1, na)=(4,20)= 這里 F==(4, 20)說明棉花的百分比對人造纖維的抗拉強度有影響。第二節(jié)：單因素試驗的方差分析無交互作用的方差分析 :設(shè)兩因素 A， B， A有 a個水平 A1， A2, … … , A a，