【正文】 大。解 : 對于第一種情況。第四節(jié)：因子設(shè)計(jì)的一般概念例 :設(shè)某一試驗(yàn)有兩個(gè)因子 A和 B，因子 A有兩個(gè)水平 A1， A2，因子 B兩個(gè)水平 B1， B2，試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)如表。完成全部試驗(yàn)應(yīng)包含所有的 ab個(gè)組合。使用因子設(shè)計(jì)方法，在每一個(gè)完全的試驗(yàn)或試驗(yàn)的多次重復(fù)中，各個(gè)因子的各個(gè)水平的所有可能的組合都要考慮。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析有交互作用的方差分析 (2):簡化公式第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析有交互作用的方差分析 (3):方差分析表第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析為什么要進(jìn)行因子設(shè)計(jì) :很多試驗(yàn)包含著兩個(gè)、三個(gè)或更多的因子。SB的自由度為 ( b 1)。第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析有交互作用的方差分析 (分析過程略 ):自由度 :ST的自由度為 ( abn 1)。SAxB的自由度為 (a1)(b1):SE的自由度為 ab(n1)。SA的自由度為 ( a 1)。從而有如下判斷：若 F 1 Fα (a 1, (a1)(b1))， 則拒絕 HA0， 否則就接受；若 F2 Fα (b 1, (a1)(b1))， 則拒絕 Hbo， 否則就接受；為了方便計(jì)算，我們采用下面的簡便計(jì)算公式：第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析方差分析表 :第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析例 2： (雙因素?zé)o交互作用的方差分析 )使用 4種燃料， 3種推進(jìn)器作火箭射程試驗(yàn)，每一種組合情況做一次試驗(yàn)，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料 (Ai)與各種推進(jìn)器 (Bj)對火箭射程有無顯著影響 (α=)第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析解 :設(shè)火箭的射程為 : xij =μ+αi+βj+εij, i =1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3原假設(shè) HA0: α１ =α２ =α３ =α４ =0 HB0: β１ =β２ =β３ =0備擇假設(shè) HA1:αi=0, 至少一個(gè) i HB1:βj=0, 至少一個(gè) j這里 a=4, b=3, ab=12第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析解 (2):給出的 α=, 查出 (3, 6)=, (2, 6) = 因?yàn)?F1=, F2=所以接受原假設(shè) HA0, HB0故不同的燃料、不同的推進(jìn)器對火箭射程均無顯著影響。SE的自由度為 ( a 1)(b1)。SA的自由度為 ( a 1)。可以取得下面的線性統(tǒng)計(jì)模型：xij = μ+αi +βj+εij , i = 1, 2, … …, a。第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析無交互作用的方差分析 :設(shè)兩因素 A， B。 每個(gè)水平中測 5個(gè)抗拉強(qiáng)度的值，列于下表。從而有如下判斷：若 F Fα (a 1, n a)， 則拒絕 H0；若 F Fα(a 1, n a)， 則接受 H0為了方便計(jì)算，我們采用下面的簡便計(jì)算公式：記 i= 1, 2, … … , a, 則有第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析方差分析表 :第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析例 1： (單因素的方差分析 )人造纖維的抗拉強(qiáng)度是否受摻入其中的棉花的百分比的影響是有疑問的。均方 :MSA = SA/ (a1)。SE的自由度為 ( n a)。一個(gè)直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，但應(yīng)把項(xiàng)數(shù)加以修正，這個(gè)修正的數(shù)就叫自由度。我們要設(shè)法消去數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的多少給平方和帶來的影響。 j = 1, 2, … … , ni, εij ~ N (0, σ2)其中 δi = μi μ第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析方差分析的任務(wù)就是檢驗(yàn)線性統(tǒng)計(jì)模型中 a個(gè)總體 N(μi,σ2)中的各 μi的相等性，即有 :原假設(shè) H0: μ1 =μ2 = … … =μa對立假設(shè) H1: μi =μj 至少有一對這樣的 i, j, 也就是下面的等價(jià)假設(shè)：H0: δ1 =δ2 =… … =δa = 0H1 : δi = 0 至少有一個(gè) i第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析總離差平方和的分解 (2):上面展開式中的第三項(xiàng)為 0若記 SA= SE=則有： ST = SA + SEST表示全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)與總平均值之間的差異SA表示在 Ai水平下的樣本均值與總平均值之間的差異 , 是組間差SE表示在 Ai水平下的樣本均值與樣本值之間的差異 , 是組內(nèi)差， 它是由隨機(jī)誤差引起的。假設(shè)：單因素 A有 a個(gè)水平 A1， A2, … … , Aa，在水平 Ai (i=1, 2, … … , a) 下，進(jìn)行 ni次獨(dú)立試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值列于下表：我們假定在各個(gè)水平 Ai下的樣本來自具有相同方差 σ2，均值分別為 μi的正態(tài)總體 Xi~N(μi , σ2 )，其中 μi , σ2均為未知，并且不同水平 Ai下的樣本之間相互獨(dú)立。一個(gè)直觀的想法是用平方和除以相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，但從數(shù)學(xué)理論上推知這不是一個(gè)最好的辦法，而應(yīng)把項(xiàng)數(shù)加以修正，這個(gè)修正的數(shù)就叫做自由度。將數(shù)據(jù)減去 100得第一節(jié)：問題的提出自由度的提出 (2)：平均數(shù)與過去的結(jié)果是相近的，但平方和是顯著地變大了。如在此例中令 ，則相應(yīng)數(shù)據(jù)變?yōu)?9, 6, 3, 2, 22, 5, 這時(shí)把原來的平方和 S放大了 1002倍。如在此例中令 ，即每個(gè)數(shù)同減去 ，這時(shí)與以上結(jié)果是完全一樣的。另外，在計(jì)算 x時(shí)由于除不盡而四舍五入，在計(jì)算 S時(shí)，累計(jì)誤差較大。其中其中第一節(jié)：問題的提出對變差平方和的進(jìn)一步討論：例：測得某高爐的六爐鐵水含碳量為 : ， ， ， ， ，求其變差平方和。如何給變差一個(gè)數(shù)量表示呢 ?1) 一個(gè)最直觀的想法是用這 n個(gè)數(shù)中最大值與最小值之差，即極 差來表達(dá)，用 R記之；2) 變差平方和，以 S記之。產(chǎn)生總變差的原因一是試驗(yàn)誤差，一是條件變差。產(chǎn)生這種矛盾的現(xiàn)象也是由于試驗(yàn)誤差的干擾。2. 補(bǔ)充作業(yè) (另附 )第一節(jié)：問題的提出第二節(jié)：單因素試驗(yàn)的方差分析第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析第四節(jié)：因子設(shè)計(jì)的一般概念第五節(jié)： 2k 因子設(shè)計(jì)第六節(jié)： 3k 因子設(shè)計(jì)第二講：方差分析和 2k因子、 3k因子設(shè)計(jì)第一節(jié)：問題的提出先看一個(gè)例子：考察溫度對某一化工廠產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的度，同一溫度做了三次試驗(yàn)，測得結(jié)果如下：要分析溫度的變化對得率的影響 總平均得率總平均得率 =%第一節(jié)：問題的提出從平均得率來看，溫度對得率的影響 ?1) 同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差異的原因是由于試驗(yàn)過程中各種偶然性因素的干擾及測量誤差等所致，這一類誤差統(tǒng)稱為試驗(yàn)誤差；2) 兩 種溫度的得率在不同的試驗(yàn)中的傾向有所差別。從試驗(yàn)結(jié)果看出，這個(gè)方案確實(shí)是 8個(gè)試驗(yàn)中最好的一個(gè)試驗(yàn)。AxC 和 BxC的極差很小，對試驗(yàn)的影響很小，忽略不計(jì)?？捎谜槐?L8(27).第五節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)分析：從極差大小看，影響最大的因素是 C， 以 2水平為好；其次是AxB， 以 2水平為好，第 3是因素 A， 以 1水平為好，第 4是因素 B以 1水平為好。具體如下：第五節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)解：這是 3因素 2水平的試驗(yàn)。第五節(jié)：有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)例 6： (水平數(shù)相同 )我們用一個(gè) 3因素 2水平的有交互作用的例子來說明某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于 3個(gè)因素 A， B， C， 每個(gè)因素都有兩個(gè)水平。這后一種影響就叫做因素的交互作用。第四節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)什么是交互作用：在多因素試驗(yàn)中，各因素不僅各自獨(dú)立地在起作用，而且各因素還經(jīng)常聯(lián)合起來起作用。在沒有合適的混合水平的正交表可用時(shí)，擬水平法是一種比較好的處理多因素混合水平試驗(yàn)的方法。第四節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)分析結(jié)果見下表。解：我們從第 第 2兩個(gè)水平中選一個(gè)水平讓它重復(fù)一次作為第 3水平，這就叫虛擬水平。第四節(jié)：混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)解：分析結(jié)果見下表。因素 A是 4水平的，另外 3個(gè)因素是 2水平的。但要注意，每兩列不同水平的搭配的個(gè)數(shù)是不完全相同的。譬如： L8(41 x 24)就是一種混合水平的正交表。第三節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法利用正交表進(jìn)行試驗(yàn)的步驟：1) 明確試驗(yàn)?zāi)康模_定要考核的試驗(yàn)指標(biāo)；2) 根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康?，確定要考察的因素和各因素的水平；要通過對實(shí)際問題的具體分析選出主要因素，略去次要因素；3) 選用合適的正交表，安排試驗(yàn)計(jì)劃；4) 根據(jù)安排的計(jì)劃進(jìn)行試驗(yàn)，測定各試驗(yàn)指標(biāo)；5) 對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算分析，得出合理的結(jié)論；以上這種方法一般稱為直觀分析法。 A， D 兩個(gè)因素的極差都很大，是對試驗(yàn)影響較大的兩個(gè)因素；3) 分析出來的最好方案，在已經(jīng)做過的 9個(gè)試驗(yàn)中是沒有的。 試驗(yàn)結(jié)果如表。有影響的因素有 4個(gè)，各有 3個(gè)水平。對抗壓強(qiáng)度和裂紋度來講，堿度取 ；對落下強(qiáng)度，取 ，但取，綜合考慮堿度取 ；3) 水分 A對裂紋度來講是最大的因素，以取 9為最好；但對抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來講，水分的極差都是最小的，是影響最小的因素。第三節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法解：我們選用正交表 L9(34)來安排試驗(yàn)。它們各有 3個(gè)水平。要檢驗(yàn) 3項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度 和裂紋度，前 2個(gè)指標(biāo)越大越好，第 3個(gè)指標(biāo)越小越好。為了最終確定上面找出的試驗(yàn)方案是不是最好的，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，并同第 9號試驗(yàn)相比，取效果最佳的方案。極差最大的那一列，就是那個(gè)因素的水平改變時(shí)對試驗(yàn)指標(biāo)的影響最大，那個(gè)因素就是我們要考慮的主要因素 .通過分析可以得出：各因素對試驗(yàn)指標(biāo) (鐵水溫度 )的影響按大小次序應(yīng)當(dāng)是 C (底焦高度 ) A (焦比 ) B (風(fēng)壓 )；最好的方案應(yīng)當(dāng)是 C2A3B2。k1, k2, k3這 3行的 3 個(gè)數(shù)，分別是 K1, K2, K3這 3行中的 3個(gè)數(shù)的平均值；極差是同一列中， k1, k2, k33個(gè)數(shù)中的最大者減去最小者所得的差。K2這一行的 3個(gè)數(shù)分別是因素 A, B, C的第 2水平所在的試驗(yàn)中對應(yīng)的鐵水溫度之和 。另外，由于鐵水溫度數(shù)值較大，我們把每一個(gè)鐵水溫度的值都減去 1350，得到 9個(gè)較小的數(shù)，這樣使計(jì)算簡單?，F(xiàn)在我們使用 L9(34)正交表來安排試驗(yàn)。例 1： (單指標(biāo)的分析方法 )某煉鐵廠為提高鐵水溫度，需要通過試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案經(jīng)初步分析，主要有 3個(gè)因素影響鐵水溫度，它們是焦比、風(fēng)壓和底焦高度， 每個(gè)因素都 考慮 3個(gè)水平，具體情況見表。第三節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法第三節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法正交試驗(yàn)所需要的正交試驗(yàn)所需要的試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù) .普通試驗(yàn)所需要的普通試驗(yàn)所需要的試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)為什么說正交試驗(yàn)節(jié)約成本 ,提高效率 :正交表的兩條重要性質(zhì) :1) 每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如 L9(34)中，每列中不同的 數(shù)字是 1， 2， 3，它們各出現(xiàn) 3次；第三節(jié)：正交試驗(yàn)、正交表及其用法2) 在任意兩列中，將同一行的兩個(gè) 數(shù)字看成有序數(shù)對時(shí)，每種數(shù)對 出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如 L9(34)中 有序數(shù)對共有 9個(gè) : (1,1), (1,2), (1,3) (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), 它 們各出現(xiàn)一次。k 是表中的列數(shù)，表示因素的個(gè)數(shù)； m 是各因素的水平數(shù)；常見的正交表 :2水平的有 L4(23), L8(27), L12(211), L16(215)等；3水平的有 L9(34), L27(313)等；4水平的有 L15(45)。正交設(shè)計(jì)的主要工具是正交表。我們應(yīng)當(dāng)在不影響試驗(yàn)效果的前提下，盡可能地減少試驗(yàn)次數(shù)。在多因素、多水平試驗(yàn)中，如果對每個(gè)因素的每個(gè)水平都互相搭配進(jìn)行全面試驗(yàn)，需要做的試驗(yàn)次數(shù)就會很多 .比如對兩 個(gè) 7水平的因素，如果兩因素的各個(gè)水平都互相搭配進(jìn)行全面試驗(yàn)，就要做 73=343次試驗(yàn)，對 6個(gè) 7水平的因素，進(jìn)行全面試驗(yàn)要做 76=117649次試驗(yàn)。他把信噪比設(shè)計(jì)和正交表設(shè)計(jì)、方 差分析相結(jié)合，開辟了更為重要、更為廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域。以日本的田口玄一為代表；3. 信噪比試驗(yàn)設(shè)計(jì)法與三階段設(shè)計(jì)法。這種方法是在本世紀(jì) 20年代由英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué) 家、數(shù)學(xué)家費(fèi)歇 (Fisher)提出的，開始主要應(yīng)用于農(nóng)業(yè)、生物學(xué)、遺 傳學(xué)方面，取得了豐碩成果。它在開發(fā)新工序中亦有著廣泛的應(yīng)用。它的主要內(nèi)容是討論如何合理地安排試驗(yàn)、取得數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行綜合的科學(xué)分析，從而達(dá)到盡快獲得最優(yōu)方案的目的?，F(xiàn)在常被用于以下領(lǐng)域：1)可靠性：為改進(jìn)的低溫設(shè)計(jì)可靠性而進(jìn)行的設(shè)備的熱工設(shè)計(jì)；2)可維修性：工件位置，可達(dá)到距離及其它與設(shè)計(jì)相關(guān)的人體需要 圖解；3)