20xx高中數(shù)學(xué)北師大版必修5第3章3基本不等式第1課時基本不等式ppt同步課件-文庫吧資料
2024-11-25 03:38本頁面
【正文】 (1) 本題若由 1 ＝ x ＋ 2 y ≥ 2 2 xy ，得 1xy≥ 2 2 ， ∴1x＋1y≥ 21xy＝2xy≥ 4 2 則是錯誤的，因?yàn)榇藭r等號取不到：前一個不等式成立的條件是 x ＝ 2 y ＝12，后一個不等式則是在 x ＝ y 時成立． (2) 也可以直接將1x＋1y的分子 1 代換為 x ＋ 2 y ，和乘以 “1” 是相同的． 已 知 x ＞ 0 ， y ＞ 0 ，且 1x ＋ 9y ＝ 1 ，求 x ＋ y 的最小值． [ 分析 ] 要求 x ＋ y 的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個積為定值．這需要對條件進(jìn)行必要的變形，考慮條件式可進(jìn)行“ 1 的代換 ” ，也可以 “ 消元 ” 等． [ 解析 ] 解法一： (1 的代換 ) ∵1x＋9y＝ 1 ， ∴ x ＋ y ＝ ( x ＋ y )3 x ＝ 2 36 ＝ 12. 當(dāng) 且僅當(dāng)12x＝ 3 x ，即 x ＝ 2 時，等號成立． 所以當(dāng) x ＝ 2 時， f ( x ) 取得最小值 12. (2) 因?yàn)?x 0 ，所以－ x 0 ， 所以－ f ( x ) ＝??????－12x＋ ( － 3 x ) ≥ 2??????－12x3 x (1 － 3 x ) ≤13????????3 x ＋ ? 1 － 3 x ?22＝112， 當(dāng)且僅當(dāng) 3 x ＝ 1 － 3 x ，即 x ＝16時，等號成立． ∴ 當(dāng) x ＝16時，函數(shù)取 得最大值112. (2) f ( x ) ＝ 4 x ＋ax≥ 2 4 x ( 3 ) 5 ＝ 18 3 ，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ y ＝52 時等號成立． 課堂典例講練 利用基本不等式比較代數(shù)式的大小 已知 0 ＜ a ＜ 1,0 b 1 ，則 a ＋ b, 2 ab ， a 2 ＋ b 2, 2 ab中哪一個最大？ [ 分析 ] 由已知 a ， b 均為正數(shù)，且四個式子均為基本不等式中的式子或其變形，可用基本不等式來加以解決． [ 解析 ] 方法一： ∵ a 0 ， b 0 ， ∴ a ＋ b ≥ 2 ab ， a2＋ b2≥ 2 ab ， ∴ 四個數(shù)中最大數(shù)應(yīng)為 a ＋ b 或 a2＋ b2. 又 ∵ 0 ＜ a ＜ 1,0 b 1 ， ∴ a2＋ b2－ ( a ＋ b ) ＝ a2－ a ＋ b2－ b ＝ a ( a － 1) ＋ b ( b － 1)0 ， ∴ a2＋ b2 a ＋ b ， ∴ a ＋ b 最大． [方法總結(jié) ] 運(yùn)用基本不等式比較大小應(yīng)注意等號成立的條件 ． 特殊值法是解決不等式的一個有效方法 ， 但要使特殊值具有一般性 ． 方法二：令 a ＝ b ＝12， 則 a ＋ b ＝ 1,2 ab ＝ 1 ， a2＋ b2＝12， 2 ab ＝ 2 1212＝12，再令 a ＝12， b ＝
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