【正文】 車型 β3 地區(qū) βA 地區(qū) βB 地區(qū) βC 例 ：邊際總和法 ?由此得到各組純保費(fèi)的擬合值見表 。 ?為簡(jiǎn)便起見，假設(shè)只有 2個(gè)分類變量： ?令純保費(fèi)邊際總和等于經(jīng)驗(yàn)賠付成本： ?由如下遞推公式求出相對(duì)費(fèi)率： 12( ) , ( )jk?? * 0 1 2 * 0 2 1( ) ( ) , ( ) ( )j jk k jkkjC j n k C k n j? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???0 2 0 1( ) , ( )( ) ( )jkjkjkjk jkkjCCjkn k n j? ? ? ???? ? ? ?????例 ：邊際總和法 ?應(yīng)用邊際總和法對(duì)例 。 ?令下式最小進(jìn)行求解： 0 1 1 2 2i i i iy x x? ? ? ?? ? ? ? ? 20 1 1 2 2{ ( ) }i i i iQ y x x? ? ? ?? ? ? ? ? ???例 ：線性回歸法 ?某保險(xiǎn)公司承保的 400份汽車保險(xiǎn)單根據(jù)兩個(gè)變量 “地區(qū) ”和 “車型 ”分組的結(jié)果見表 －表 ： 類別 地區(qū) A 地區(qū) B 地區(qū) C 合計(jì) 車型 1 80 52 20 152 車型 2 136 60 24 220 車型 3 4 8 16 28 合計(jì) 220 120 60 400 表 各組的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)（保單年數(shù)， nij） 例 ：線性回歸法 類別 地區(qū) A 地區(qū) B 地區(qū) C 合計(jì) 車型 1 8400 7020 3600 19020 車型 2 17340 7200 4590 29130 車型 3 825 1140 2640 4605 合計(jì) 26565 15360 10830 52755 表 各組的賠付成本（千元， Cij） 例 ：線性回歸法 類別 地區(qū) A 地區(qū) B 地區(qū) C 合計(jì) 車型 1 車型 2 車型 3 合計(jì) 表 各組的經(jīng)驗(yàn)純保費(fèi)（ yij） 例 ：線性回歸法 ?根據(jù)下式對(duì)各組的純保費(fèi)進(jìn)行擬合： ?為簡(jiǎn)便，令 ?則有： 0 1 1 2 2( ) ( )Y X X? ? ? ?? ? ? ? ?1 1 2 1 3 1 2 2 2( 1 ) , ( 2) , ( 3 ) , ( ) , ( ) , ( )A B CA B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 1 2 301020400 152 220 28 220 120 60 5275 5152 152 80 52 20 19020220 220 136 60 24 2 913028 28A B CA B CA B C? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??30 1 2 30 1 2 30 1 2 3 4 8 16 4605220 80 136 4 220 2656 5120 52 60 8 120 1536 060 20 24 16 A B CAB? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 60 1083 0C???例 ：線性回歸法 ?為保證參數(shù)估計(jì)結(jié)果的唯一性，令： ?解方程組，可得各組的相對(duì)費(fèi)率： ?根據(jù)相對(duì)費(fèi)率，得到各組的純保費(fèi)擬合值見表 。 ?列 (7)：各個(gè)類別關(guān)于基礎(chǔ)類別的新的相對(duì)數(shù)，計(jì)算方法： ? 類別 2關(guān)于類別 1的新的相對(duì)數(shù) =? 類別 3關(guān)于類別 1的新的相對(duì)數(shù) =2. 線性回歸法 ?最常見的多元回歸模型是加法線性回歸模型，即線性回歸法，將因變量（索賠頻率、索賠強(qiáng)度、純保費(fèi)等）表示為若干個(gè)自變量（分類變量）的線性組合 。 例 ：損失率法 ?列 (5)：已知的各個(gè)類別的經(jīng)驗(yàn)賠款。 ?列 (3)：通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)擴(kuò)展法或平行四邊形法得到的經(jīng)驗(yàn)期內(nèi)的均衡已賺保費(fèi)。 例 ：損失率法 ?新的相對(duì)數(shù)的計(jì)算如下表： (1) (2) (3) (4)=(3)/(2) (5) (6)=(5)/(4) (7) 類別 對(duì)類別 1的相對(duì)數(shù) 均衡已賺保 費(fèi) 基礎(chǔ)費(fèi)率水平的均衡已賺保費(fèi) 經(jīng)驗(yàn)賠款 賠付率 對(duì)類別 1新的相對(duì)數(shù) 1 14,370,968 14,370,968 11,003,868 2 9,438,017 6,508,977 6,541,840 3 8,002,463 4,445,813 5,618,043 合計(jì) － 31,811,448 25,325,758 23,163,751 － － 例 ：損失率法 表中計(jì)算如下： ?列 (1)：三個(gè)類別，其中類別 1為基礎(chǔ)類別。將各類別的等水平已賺保費(fèi)調(diào)整到基礎(chǔ)類別水平上，再分別計(jì)算經(jīng)驗(yàn)賠付率，各類別的經(jīng)驗(yàn)賠付率除以基礎(chǔ)類別經(jīng)驗(yàn)賠付率得到相對(duì)費(fèi)率。 ?兩種方法： ? 純保費(fèi)法 ：根據(jù)最終賠款與風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)之比計(jì)算相對(duì)費(fèi)率。 分類費(fèi)率 類別相對(duì)數(shù)的計(jì)算方法 ?1. 單項(xiàng)分析法 ?2. 線性回歸法 ?3. 邊際總和法 ?4. 廣義線性模型 1. 單項(xiàng)分析法 ?單項(xiàng)分析法 (oneway analysis)，每次僅計(jì)算一個(gè)分類變量的不同水平所對(duì)應(yīng)相對(duì)費(fèi)率。 ?通常假設(shè) 50個(gè)區(qū)域和 200個(gè)分類之間是相互獨(dú)立的。如：駕駛員的性別有兩個(gè)類別：男、女；駕駛員的年齡有三個(gè)類別：青年、中年、老年。 分類費(fèi)率 ?例如：汽車保險(xiǎn)中，某個(gè)地區(qū)多達(dá) 50個(gè)區(qū)域。 ?類別相對(duì)數(shù)的兩種形式： ? 相加關(guān)系 ：基礎(chǔ)類別的費(fèi)率為 0，其他類別的費(fèi)率在此基礎(chǔ)上增加一定的量。 ?分類費(fèi)率 (class relativities)，也稱為 相對(duì)費(fèi)率 或 級(jí)別費(fèi)率 ，是將具有同一成本的被保險(xiǎn)人分為同一類或同一組，訂立價(jià)格。 12. 應(yīng)用樣本數(shù)據(jù)檢查費(fèi)率厘定方案運(yùn)行情況并進(jìn)行修正。 10. 確定保費(fèi)調(diào)整的上限。 個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)率厘定方案設(shè)計(jì) 8. 確定風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)，包括風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)的類型和時(shí)期等。 6. 設(shè)計(jì)費(fèi)率厘定方案中的表定費(fèi)率。 4. 確定費(fèi)率厘定方案是使用前瞻法、追溯法，還是它們的組合。 2. 確定需要分?jǐn)偟母鞣N成本項(xiàng)目。 表 預(yù)付保費(fèi) (1) (2) (3) 參保單位 期望車年數(shù) 根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)分?jǐn)偟钠谕ｋU(xiǎn)成本 A 350 28000 B 500 40000 C 1200 96000 D 850 68000 E 2100 168000 合計(jì) 5000 400000 注： (3)合計(jì)項(xiàng) 400000是預(yù)付保費(fèi)，根據(jù) (2)分?jǐn)偨o各個(gè)參保單位。 ?假設(shè)追溯保費(fèi)的調(diào)整每年只進(jìn)行一次，且根據(jù)保險(xiǎn)期限開始后第 18個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，未規(guī)定保費(fèi)調(diào)整的上下限。 追溯費(fèi)率 ?以某汽車車損險(xiǎn)應(yīng)用追溯法為例。 ?追溯費(fèi)率法在保險(xiǎn)期限開始時(shí)確定一個(gè)預(yù)付保費(fèi)，預(yù)付保費(fèi)是對(duì)最終保費(fèi)的一個(gè)估計(jì)值，可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率法確定。N ? 其中： M=經(jīng)驗(yàn)期的調(diào)整保費(fèi)； N=調(diào)整綜合風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)。 ?(5) 調(diào)整綜合風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)： N=PQR ? 其中： P=經(jīng)驗(yàn)期的綜合風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)； Q=風(fēng)險(xiǎn)趨勢(shì)因子； R=反映其他各種變化的因子。 美國(guó)保險(xiǎn)服務(wù)局 (Insurance Service Office, ISO) 的一個(gè)綜合費(fèi)率方案（續(xù)） ?(4) 經(jīng)驗(yàn)期的調(diào)整保費(fèi)： M=HI247。如果數(shù)據(jù)有限，最短的經(jīng)驗(yàn)期也應(yīng)有三年。 ?不同的保險(xiǎn)公司可以使用各種不同的因子，包括賠款和直接理賠費(fèi)用因子、賠款趨勢(shì)因子、風(fēng)險(xiǎn)趨勢(shì)因子和期望賠付率因子等。 綜合費(fèi)率 ?綜合費(fèi)率 (posite rating)，對(duì)所有的保險(xiǎn)責(zé)任在同一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)上厘定費(fèi)率，而不需要對(duì)不同的保險(xiǎn)責(zé)任選擇不同的風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)。期望損失是風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)的函數(shù)，反映了風(fēng)險(xiǎn)基礎(chǔ)的大小。期限越短，對(duì)于影響損失經(jīng)驗(yàn)的變化越敏感。 ?經(jīng)驗(yàn)費(fèi)率法將個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)在以前時(shí)期的經(jīng)驗(yàn)損失（和直接理賠費(fèi)用）與期望損失進(jìn)行比較，通過(guò)這兩項(xiàng)的加權(quán)平均估計(jì)個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)的費(fèi)率。 ?表定費(fèi)率采用在基礎(chǔ)費(fèi)率上增加或減少一定百分比 ，其費(fèi)率增加或減少的百分比一般不超過(guò)一定限度 ， 增減的幅度通常需要承保人的經(jīng)驗(yàn)判斷 。 ?表定費(fèi)率 (schedule rating)， 是唯一一種不直接反映個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)索賠經(jīng)驗(yàn)的費(fèi)率 。 ?一般采用線性模型或指數(shù)模型來(lái)擬合數(shù)據(jù) 。 ?反映損失變化的方法是對(duì)觀察數(shù)據(jù)擬合適當(dāng)曲線 。 例 （ 3） 根據(jù)選定值 ， 計(jì)算出各個(gè)事故年的最終賠款 。 ?已知某險(xiǎn)種累積已付賠款流量三角形如下： 事故年 進(jìn)展年 0 1 2 3 4 5 2023 1024 2350 3264 4122 4516 4939 2023 1469 3190 4520 5185 5676 2023 1421 2960 4278 5718 2023 1248 2768 4113 2023 1540 3152 2023 2405 表 累積已付賠款的流量三角形 例 （ 1） 計(jì)算相鄰兩個(gè)進(jìn)展年之間的已付賠款的增長(zhǎng)比率， 即損失進(jìn)展因子 。 損失進(jìn)展法 ?損失發(fā)展法的基本假設(shè)：過(guò)去損失經(jīng)驗(yàn)會(huì)重復(fù)發(fā)生在未來(lái) ， 因此可從過(guò)去損失經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)未來(lái)的損失 。 ?預(yù)測(cè)最終損失的方法： 損失進(jìn)展法 /賠款進(jìn)展法 （ loss development method） 。 最終賠款的預(yù)測(cè)和趨勢(shì)分析 ?1. 最終賠款的預(yù)測(cè) ?2. 損失趨勢(shì)分析 1. 最終賠款的預(yù)測(cè) ?無(wú)論是純保費(fèi)法還是損失率法 ， 都需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)資料估計(jì)未來(lái)的損失 。 ?設(shè) 2023年承保的業(yè)務(wù)是均勻分布的，則在 2023年的已賺保費(fèi)中，有 %的已賺保費(fèi)（左上三角形的面積 *＝ ）按相對(duì)費(fèi)率 1 計(jì)算，另外的 % 應(yīng)按相對(duì)費(fèi)率 計(jì)算。 ?過(guò)去幾年的費(fèi)率調(diào)整情況如下： 2023年 2023年 2023年 1200 1400 1500 例 答案 ?將費(fèi)率變化情況繪成下圖，其中橫軸表示保單生效日期，縱軸表示保單已經(jīng)歷風(fēng)險(xiǎn)的比例。若不符合假設(shè)，則計(jì)算結(jié)果不正確。 ? 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)單、省時(shí)，尤其適用于滿期風(fēng)險(xiǎn)單位不易得到時(shí)。 ? 優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算精確 ? 缺點(diǎn)：花費(fèi)大量時(shí)間 例 ?已知過(guò)去經(jīng)驗(yàn)期承保的滿期風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)為： 等級(jí) 1 等級(jí) 2 地區(qū) 1 1200 2300 地區(qū) 2 1800 2850 地區(qū) 3 2500 2100 ?當(dāng)前的費(fèi)率水平為（單位：元）： 等級(jí) 1 等級(jí) 2 地區(qū) 1 150 180 地區(qū) 2 200 240 地區(qū) 3 300 360 ?試用風(fēng)險(xiǎn)單位擴(kuò)展法計(jì)算均衡保費(fèi)。 ?求均衡保費(fèi)的方法有： （ 1） 風(fēng)險(xiǎn)單位擴(kuò)展法 （ 2） 平行四邊形法 (1) 風(fēng)險(xiǎn)單位擴(kuò)展法 ?風(fēng)險(xiǎn)單位擴(kuò)展法 （ extending exposure method）：將過(guò)去經(jīng)驗(yàn)期內(nèi)所承保的風(fēng)險(xiǎn)單位，按照當(dāng)前費(fèi)率水平重新計(jì)算保費(fèi)。此時(shí)，如果應(yīng)用賠付率法厘定保險(xiǎn)費(fèi)率，則需要將整個(gè)經(jīng)驗(yàn)期的費(fèi)率都調(diào)整 當(dāng)前費(fèi)率，并在此基礎(chǔ)上計(jì)算等水平已賺保費(fèi)。 ?在責(zé)任保險(xiǎn)的費(fèi)率分析中，應(yīng)該 將不同限額下的保費(fèi)和賠款等數(shù)據(jù)調(diào)整到限額水平上。用基本限額的費(fèi)率乘以增高限額的費(fèi)率系數(shù)，可得到增高限額的費(fèi)率。 ? 職業(yè)責(zé)任保險(xiǎn)費(fèi)率中，不同承?；A(chǔ)（如以索賠提出為基礎(chǔ)或以事故發(fā)生為基礎(chǔ)）的保單也應(yīng)分開分析。 ?對(duì)于不同保險(xiǎn)責(zé)任的保單，其保費(fèi)、賠款 和風(fēng)險(xiǎn)單位等數(shù)據(jù)一定要分開分析。 ?如果再保險(xiǎn)的成本很高，則可以將其作為獨(dú)立的費(fèi)用項(xiàng)目進(jìn)行分析。 2. 再保險(xiǎn) ?再保險(xiǎn)指原保險(xiǎn)人通過(guò)向再保險(xiǎn)人支付再保險(xiǎn)費(fèi)，將部分損失轉(zhuǎn)嫁給再保險(xiǎn)人的一種風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移方式。 ?導(dǎo)致數(shù)據(jù)出現(xiàn)不一致性的因素有： ? 1. 經(jīng)驗(yàn)期 ? 2. 再保險(xiǎn) ? 3. 保險(xiǎn)責(zé)任 ? 4. 責(zé)任限額 ? 5. 保險(xiǎn)費(fèi)率 1. 經(jīng)驗(yàn)期 ?經(jīng)驗(yàn)期的選擇，要保證對(duì)未來(lái)的損失趨勢(shì)具有良好 預(yù)測(cè)能力。如果該險(xiǎn)種在經(jīng)驗(yàn)期的費(fèi)率變化較大，計(jì)算等水平已賺保費(fèi)很困難時(shí)，純保費(fèi)法更合適。 ?賠付率法需要已知當(dāng)前的費(fèi)率及保費(fèi)的歷史記錄，因此賠付率法不適用于新業(yè)務(wù)的費(fèi)率厘訂。 000011 1 11111L EFF