【正文】 相應節(jié)點 稱為 Gauss型點。于是有 ? ? ? ? ? ?1nbm k m kakx P x d x A P x??? ??即 ? ? ? ? ? ?10b b bmm a a aa x x dx a x x dx a x dx? ? ?? ? ?? ? ?11 1 01()n mmk m k m k kkA a x a x a x a???? ? ? ? ?? （ ） 令 ? ?b i ia x x dx????則（ ）成為 1 1 0 0mma a a? ? ?? ? ? ?（ ） 11 1 01 1 1 1n n n nmmm k k m k k k k kk k k ka A x a A x a A x a A??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?由于系數(shù) 是任意的，故使（ ）成立的充要條件是 1 1 0, , , ,mma a a a?1 2 01 1 2 2 12 2 21 1 2 2 21 1 2 2nnnnnm m mn n mA A AA x A x A xA x A x A xA x A x A x????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??（ ） 這是一個具有 個未知數(shù)， 個方程的方程組 ， 2n 1m?21mn??kx 當 時，方程組（ ）是可解的。因為這樣可以用同等的代價，獲得較高近似度的計算結果。 對于（ ）中的 ，用 個不等距節(jié)點 作插值，則可得到 12, , , nx x x其中 ? ? ? ?? ? ? ?b nk ak n kxA x d xx x x???? ??? 它不依賴于函數(shù) ,但可以依賴于權函數(shù) 。積分的近似值為 . 11 0 . 0 0 0 0 2 0 . 0 0 0 1 ,CR? ? ?六 Gauss型求積公式 （一）問題的提出 為了一般性，考慮積分 ? ? ? ?baI x f x dx?? ? （ ) 何普通積分 ，都可寫成 其中， 為權函數(shù)，當 時，即為普通積分。當表中對角線上的最后兩相鄰元素之差小于允許誤差時，即可停止計算，并取最后的一個元素作為近似值。 令 ()baI f x dx? ?由復化梯形公式的余項 ? ? 32() ()12Tnn baE f I T fn ?? ??? ? ? ?? ? 322 2() ()1 2 ( 2 )T nn baE f I T fn ?? ??? ? ? ?可以得到 240TTnnEE??即 24( ) ( ) 0nnI T I T? ? ? ?2 24 414 1 3 3nn nnTTI T T?? ? ?? 這就是復化 公式（ ） . Simpson同樣，由復化 公式的誤差表達式 Simpson? ? 5 ( 4 )4() ( ) ,2880Snn baE f I S fn ??? ? ? ?? ? 5 ( 4 )22 4() ( ) .2 8 8 0 ( 2 )S nn baE f I S fn ??? ? ? ?可以得到 ? ? ? ?2 240SSnnE f E f??即 ? ?2 2 224 1 6 1 5 . 34 1 1 5 1 5nn n n nSSI S S C?? ? ? ??n 容易驗證 () 實際上是復化 公式，即把區(qū)間 等分后，在每個小區(qū)間上使有 公式的結果。形如（ ）的公式稱為逐次分半加速公式。 顯然，它要比“老序列” 的收斂速度快。 Romberg五 方法 Romberg 得出一個新序列 稱為 值序列。 2nT 對于 Simpson 公式， 也可以同樣進行區(qū)間逐次分半，并可由不等式 2 nnSS ??? () 來控制計算過程。則 與積分精確值之差大約是允許誤差的三分之一，因此計算可以至此為止。 2nT 現(xiàn)在我們來分析為什么可以通過（ ）式來控制計算過程。 4n? 首先在整個區(qū)間 上應用梯形公式，算出積分近似值 ；然后將 分半，對 應用復化梯形公式算出 ；再將每個小區(qū)間分半，對 應用復化梯形公式算出 ；一般地，每次總是在前一次的基礎上再將小區(qū)間分半，然后利用遞推公式（ ）進行計算，直至相鄰兩個值之差小于允許誤差為止。 ? ?,ab n 區(qū)間逐次分半法是根據(jù)規(guī)定的精度要求 ， 在計算過程中把積分區(qū)間逐次分半，并利用前后兩次計算結果來判別誤差的大小，從而得到滿足精度要求的近似值。 例 2 若用復化梯形公式計算積分 10 xe dx? ， 問積分區(qū)間要多少 等分才能保證使誤差 不超過 41 102 ?? ? 解 由估計式 ()有 232()[ ] ( ) ( ) ( )1 2 1 2Tnh b aE f b a f fn????? ??? ? ? ? ?當 其中 ( ) , ( ) , 1 ,xxf x e f x e b a??? ? ? ?01x??時有 ( ) ,f x e?? ?? ? 212Tn eEf n?從而 若使近似積分的誤差不超過 41 102 ?? ， 只需取 n滿足 42 1 101 2 2en ??? 或 2416 10ne?兩邊取對數(shù)有 l g 6 2 l g 4 l gne? ? ? 整理得 4 l g l g 6l g 1 . 8 2 6 6 .2en ????所以只要取 n=68，即將區(qū)間 [0， 1]分 68等分，就可使誤差 ? ? 41 1 0 .2TnEf ??? 四 區(qū)間逐次分半法 利用復化梯形公式和復化 Simpson公式來進行定積分的近似計算既簡便， 又可以達到滿意的計算精度。 復化梯形公式 將區(qū)間 [a,b]分成 n等分，節(jié)點 , ( ) / , 0 , 1 , ,kx a k h h b a n k n? ? ? ? ?1[ , ]kkxx?對每一小區(qū)間 采用梯形公式，然后相加，則得 111100( ) ( ) [ ( ( ) ( ) ) ]2kknnbxkkaxkkhI f x d x f x d x f x f x??????? ? ? ?????11[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2 n knkh f a f b f x T??? ? ? ??（ ） 稱為復化梯形公式，下標 n表示將區(qū)間 n等分。 167。如果 (6)()fx在 [a,b]上連續(xù) , 則公式 ()的誤差估計是 ? ? ? ?7 ( 6 )8 ,945cE f h f a b??? ? ? ?() 從誤差分析來考慮，好象 n越大，精度越高。 公式 類似于前面的討論，當 n=3時，有 NewtonCotes公式為 ? ?3( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )8ba f x d x h f a f a h f b h f b? ? ? ? ? ?? () 1 ()3h b a??其中 。 ? ?定理 2 若 在 上有四階連續(xù)導數(shù) , ()fx Simpson? ?,ab公式的誤差估計 為 ? ? 5 ( 4 )1( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( )6 2 9 0bs a b a a bE f f x d x f a f f b h f ?????? ? ? ? ? ??????ab??? ()證明 由插值理論有 于是 公式有誤差 Simpson? ? 2( ) ( )bbS aaE f f x d x p x d x????1 ( ) ( ) ( ) ( )3! 2baabf x a x x b dx? ????? ? ? ??4 20 ( ) ( 1 ) ( 2 )3!h f t t t d t????? ? ?? ()2()( ) ( ) ( ) ( ) ( )3! 2f a bf x p x x a x x b???? ?? ? ? ? ?? ? 3( ) ( )bbS aaE f f x dx p x dx????推導梯形公式的誤差那樣應用積分中值定理 上不保持常號， 因為 ( 1)( 2 )t t t??在區(qū)間 ? ?0,2? ? Simpson因此，在 中即使 ? ? ()fx??? 連續(xù)，也不能像 來估計積分值 。其幾 Simpson何意義就是用拋物線 圍成的曲邊梯形面積 2 ()y p x?()y f x?近似代替由 所圍成的曲邊梯形面積。 ()y f x?1 ()y p x?