導數的應用(1)(理)-文庫吧資料
2024-10-08 17:25本頁面
【正文】 1x2)(a+ ), 亦即 1 af(ex1)x1(a+ )f(ex2)x2(a+ ) 恒成立 . 1 a 1 a∴ 函數 h(x)=f(ex)x(a+ ) 是增函數 . 1 a∴ h?(x)=f?(ex)(a+ )≥ 0 恒成立 . 1 a∴ a+ ≤ (2ex2)ex=2(ex )2 恒成立 . 1 a 1 2 1 2 而 2(ex )2 當 x=ln 時取最小值 , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a ∴ a+ ≤ . 1 2 2a2+a+2 a 即 ≤ 0. 故 a 的取值范圍是 (∞ , 0). 解 : (1)由已知 f?(x)=3ax2+2bx3, 依題意得 f?(1)=f?(1)=0. 解得 a=1, b=0. ∴ 3a2b3=0 且 3a+2b3=0. ∴ f?(x)=3x23. 由 f?(x)0 得 1x1。 (2)證明 : 對任意 x1, x2?(1, 1), 不等式 |f(x1)f(x2)|4 恒成立 . (2)證 : 由 (1) 知 f(x)=x33x 在 [1, 1] 上是減函數 , 且 f(x) 在 [1, 1] 上的最大值 M=f(1)=2, f(x) 在 [1, 1] 上的最小值 m=f(1)=2, ∴ 對任意 x1, x2?(1, 1), 不等式 |f(x1)f(x2)|4 恒成立 . 典型例題 6 若二次函數 f(x) 滿足 : ① 在 x=1 處有極值 。 由 f?(x)0 得 x1 或 x1. ∴ f(x) 在 (∞ , 1) 上是增函數 , 在 (1, 1) 上是減函數 , 在 (1, +∞ ) 上是增函數 . ∴ 當 x=1 時 , f(x) 取得極 大 值 f(1)=2. 故 函數 f(x) 的單調遞減區(qū)間是 (1, 1), 單調遞增區(qū)間是 (∞ , 1) 和 (1, +∞ )。 若 t0, 則 tx . 3 t 3 t ∵ 函數 y=f(x)g(x) 在 (1, 3) 上單調遞減 , ∴ (1, 3) ( , t) 或 (1, 3) (t, ). 3 t 3 t ∴ t≥ 3 或 ≥ 3. 3 t ∴ t≥ 3 或 t≤ 9. ∴ t 的取值范圍是 (∞ , 9]∪ [3, +∞ ). (2)方法二 y=f(x)g(x)=x3tx2t2x+t3. y?=(3x+t)(xt). ∵ 函數 y=f(x)g(x) 在 (1, 3) 上單調遞減 , y?=(3x+t)(xt)的圖象是開口向上的拋物線 , ∴ y?=(3x+t)(xt)≤ 0 對于 x?(1, 3) 恒成立 . 則 y?|x=1≤ 0 且 y?|x=3≤ 0. 即 (3+t)(1t)≤ 0 且 (9+t)(3t)≤ 0. 解得 t≥ 3 或 t≤ 9. ∴ t 的取值范圍是 (∞ , 9]∪ [3, +∞ ). 典型例題 5 已知函數 f(x)=ax3+cx+d (a?0) 是 R 上的奇函數 , 當 x=1 時 , f(x) 取得極值 2. (1)求 f(x) 的單調區(qū)間和極大值 。 當 xa 時 , F?(x)0, F(x) 在 (a, +∞ ) 上為增函數 . 從而當 x=a 時 , F(x) 取極小值 F(a)=0. ∵ ba, ∴ F(b)0. ∴ 0g(a)+g(b)2g( ). a+b 2 又設 G(x)=F(x)(xa)ln2, 則 G?(x)= lnxln(a+x). ∵ 當 x0 時 , G?(x)0, ∴ G(x) 在 (0, +∞ ) 上為減函數 . 而 ba, G(a)=0, ∴ G(b)0. ∴ F(b)(ba)ln2. 即 g(a)+g(b)2g( )(ba)ln2. a+b 2 a+b 2 ∴ 0g(a)+g(b)2g( )(ba)ln2. 典型例題 4 設 t?0, 點 P(t, 0) 是函數 f(x)=x3+ax與 g(x)=bx2+c 的圖象的一個公共點 , 兩函數的圖象在點 P 處有相同的切線 . (1)用 t 表示 a, b, c。 當 x0 時 , f?(x)0. 又 f(0)=0, 故當且僅當 x=0 時 , f(x) 取得最大值 , 最大值為 0. (2)由題設 g?(x)=lnx+1. 設 F(x)=g(a)+g(x)2g( ), a+x 2 已知函數 f(x)=ln(1+x)x, g(x)=xlnx. (1)求 函數 f(x) 的最大值 。 (2)若 f?(1) =0, 求 f(x) 在 [2, 2] 上的最大值和最小值 。 2 a 由 f?(x)0 得 0x . 2 a ∴ f(x) 的單調遞減區(qū)間為 (∞ , 0) 和 ( , +∞ )。 2 a 2
教學教案相關推薦
鄂ICP備17016276號-1