數(shù)學(xué)分析上冊(cè)-華東師范大學(xué)-文庫(kù)吧資料
2024-10-08 15:51本頁(yè)面
【正文】 一個(gè)上界.而對(duì)，取，但. 故數(shù)集S無(wú)下界.4．求下列數(shù)集的上、下確界，并依定義加以驗(yàn)證：（1）解 ，. 下面依定義加以驗(yàn)證（可類似進(jìn)行）.，有，即是S的一個(gè)上界，是S的一個(gè)下界.，若，則，都有；若，則由實(shí)數(shù)的稠密性，必有實(shí)數(shù) r ，使得，即，不是上界，所以.（2）解 S無(wú)上界，故無(wú)上確界，非正常上確界為.下面證明：.① ，有，即 1 是S的一個(gè)下界；② ，因?yàn)?，即不是S的下界. 所以 .(3)解 ，可以驗(yàn)證：. ⑷ 解 ，首先驗(yàn)證. ① ，有，即 1 是S的一個(gè)上界；② ，取正整數(shù)，使得，于是取. 從而，且.所以5．設(shè)S為非空有下界數(shù)集，證明：證明：）設(shè)，則對(duì)一切，有，而，故是數(shù)集S中的最小的數(shù)，即.）設(shè)，則；下面驗(yàn)證；⑴ 對(duì)一切，有，即是數(shù)集S的下界；⑵ 對(duì)任何，只須取，則. 所以.6．設(shè)S為非空數(shù)集，定義. 證明：⑴ ⑵ 證 ⑴ 設(shè)，下面證明：.① 對(duì)一切，有. 因?yàn)?，所以有，于是，即是?shù)集S的上界；② 對(duì)任何，有. 因?yàn)?，所以存在，使? 于是有，使得. 由①，②可知.7．設(shè)A、B皆為非空有界數(shù)集，定義數(shù)集證明：（1）； （2）證明 （1）因?yàn)锳、B皆為非空有界數(shù)集，所以和都存在. ，由定義分別存在，使得. 由于，故，即是數(shù)集的一個(gè)上界. ，（要證不是數(shù)集的上界），由上確界的定義，知存在，使得. 于是，再由上確界的定義，知存在，使得. 從而，且. 因此是數(shù)集的上確界，即另證 ，由定義分別存在，使得. 由于，故，于是. ①由上確界的定義，使得，使得，從而， 例2，可得 ②由①、②，可得 類似地可證明： 習(xí)題9．試作函數(shù)的圖象解 是以2π為周期，定義域?yàn)?，值域?yàn)榈姆侄尉€性函數(shù)，其圖象如圖. 11．試問(wèn)是初等函數(shù)嗎？解 因?yàn)?，可看成?
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