【正文】 s]平面的 軸映射到 [GH]平面上的開環(huán) Nyquist軌跡 即可 。 ( ) 1 ( ) ( )F s G s H s?? ( ) ( ) ( ) 1G s H s F s??2022/9/20 機(jī)械工程 由于任何物理上可實(shí)現(xiàn)的開環(huán)系統(tǒng)，其的分母的階 次 n必不小于分于的階系，故有： 和 當(dāng)然， ，均指其模而言。所以，在 [GH]平面上，包圍點(diǎn)（ 1,j0）的圈數(shù) N，就等于在 [F]平在上 LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù) N，其關(guān)系如圖(b)， (c)所示。因 ，即 [GH]平面只不過是將 [F]平面的虛軸右移了 1個(gè)單位之后所構(gòu)成的新復(fù)平面 。另外，由已知的F(s)函數(shù)，可以先求得 F(s)位于 [s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù) P，從而可求得 Z=N+P，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)使 Z=0，即 N=ZP=P 也就是， 當(dāng) [F]平面的 Nyquist軌跡 LF逆時(shí)針包圍原點(diǎn)的圈數(shù) N等于 F(s)函數(shù)位于 [s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù) P時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。判別 Z=0，不是在 [s]平面上進(jìn)行，而是轉(zhuǎn)化到[F]平面上進(jìn)行。 注意：這里所說的 Z， P是指包圍于圖 (a)上 Ls曲線中的 F(s)位于 [s]平面的右半平面的零、極點(diǎn)數(shù)，不是指 F(s)函數(shù)所有的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù) 。 ???? ??? ?? ??2022/9/20 機(jī)械工程 [F]平面上的 Nyquist軌跡 [F]平面上的 Nyquist軌跡 （ [F]平面即 [F(s)]平面的簡定） 按 F(s)函數(shù)作出 。這一 LS封閉曲線即為 [s]平面上的 Nuquist軌跡 。所以 當(dāng)函數(shù)F(s)有若干個(gè)極點(diǎn)處于 [s]平面的虛軸或原點(diǎn)上時(shí)， LS應(yīng)被認(rèn)為是以這些點(diǎn)為圓心，以無窮小為半徑的圓弧按反時(shí)針方向從這些點(diǎn)的右側(cè)繞過 ，如小段圓弧 (4)與(4’) 所示。 設(shè)在 [s]平面上有封閉曲線 LS， 其中 (1)， (2)兩段是由 到 的整個(gè)虛軸組成的， (3)段是由半徑 R趨于無窮大的圓弧組成的 。 ()KGs()KGs()BGs2022/9/20 機(jī)械工程 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程 1+G(s)H(s)=0的全部根具有負(fù)實(shí)部 ，即在 [s]平面的右半平面 系統(tǒng)沒有極點(diǎn) ，亦即 F(s)在 [s]平面的右半平面 沒有零點(diǎn) （ Z=0）。 曲線 LSLF的形狀對于 N， Z， P的數(shù)值是沒有關(guān)系的，即 LF繞原點(diǎn)的圈數(shù) N僅取決于 LS所包圍的 F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)目 ，而與 LS的形狀無關(guān)。 的極點(diǎn)就等于 F（ s）函數(shù)的極點(diǎn)， 因此 ，若已知系統(tǒng)的 ，就可直接求得 P。 幅角原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式 即 : N=ZP N0，表示 LF按 順時(shí)針 方向包圍原點(diǎn) N次； N0，表示 LF按 逆時(shí)針 方向包圍原點(diǎn) N次； N=0，表示 LF不包圍原點(diǎn)。 當(dāng) s從 [s]平面上的點(diǎn) A開始，繞著 F（ s）的一個(gè) 極點(diǎn) 順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈（即此圈內(nèi)中含有一個(gè)極點(diǎn) 而不含有零點(diǎn)與其他極點(diǎn)）時(shí)， [F(s)]平面上的對應(yīng)軌跡繞原點(diǎn) 反時(shí)針 轉(zhuǎn)了一圈。由圖 知，當(dāng) LS內(nèi)只含有零點(diǎn) 而不含極點(diǎn)與其他零點(diǎn)時(shí)，除了 等于 之外， 和 的值均為零，所以 1 2 39。 F(s)= 1+G(s)H(s)也相應(yīng)地從點(diǎn) B出發(fā)沿 LF回到點(diǎn) B的閉曲線。 令： Z為包圍于 LS內(nèi)的 F(s)函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)； P為包圍于 LS內(nèi)的 F(s)函數(shù)的極點(diǎn)數(shù)，則 : N=ZP 。 1212( ) ( ) . . . ( )( ) ( ) . . . ( )msnK s z s z s zFs p s p s p? ? ??? ? ?（ ） ??s sj????()Fs ? ?()Fs ()F s u jv??2022/9/20 機(jī)械工程 函數(shù)為 s多項(xiàng)式的分式 ，它在 [s]平面上（除有限個(gè) 奇點(diǎn) 外）為 單值的連續(xù)正則函數(shù)， 并設(shè)[s]平面上解析點(diǎn) s映射到 [F(s)]平面上為點(diǎn)F(s)，或?yàn)閺脑c(diǎn)指向此映射點(diǎn)的向量 F(s)。 幅角原理（ Cauchy定理） 設(shè)有一復(fù)變函數(shù) s為復(fù)變量，以 復(fù)平面上的 表示。 由于 F(s)溝通了 GK(s)與 GB(s)之間的關(guān)系，故可通過 F(s)，利用 GK(s)來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 F(s)函數(shù)的分母與 GK(s)的分母相同， 故 F(s)函數(shù)的極點(diǎn)即為 GK(s)的極點(diǎn) , F(s)函數(shù)的分子即為 GB(s)的分母 ， 故 F(s)函數(shù)的零點(diǎn)即為 GB(s)的極點(diǎn) , ( 1 , . . . )is p i n??( 1 , . . . 39。 Nyquist判據(jù)還能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定性儲備 —— 相對穩(wěn)定性 ，指出進(jìn)一步提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能（包括穩(wěn)定性）的途徑， 若系統(tǒng)不穩(wěn)定， Nyquist判據(jù)還能如 Routh判據(jù)那樣，指出 系統(tǒng)不穩(wěn)定的閉環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即具有正實(shí)部的特征根的個(gè)數(shù)； ()kGj? ( ) ( )G j H j??()kGj?2022/9/20 機(jī)械工程 函數(shù) F（ s）與開環(huán)、閉環(huán)的傳遞函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系 如圖 ，其傳遞函數(shù)為： 開環(huán)函數(shù)為： 特征方程為： 令 它可以寫成一般的形式為： ()()1 ( ) ( )BGsGsG s H s??( ) ( ) ( )KG s G s H s?1 ( ) ( ) 0G s H s??( ) 1 ( ) ( )F s G s H s??（ ） 11 1 0 1 2 39。 1 ( ) ( ) 0G s H s??1 ( ) ( )G s H s?( ),kGj? ( ) ( )G j H j???()kGj?2022/9/20 機(jī)械工程 Nyqusist判據(jù)也 不需要求取閉系統(tǒng)的特征根 ，而是應(yīng)用開環(huán)頻率特性 ，即 曲線，進(jìn)而分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 Nyquist（乃奎斯特）穩(wěn)定判據(jù) 由 H. Nyquist于 1932年提出的穩(wěn)定性判據(jù)，在1940年以后得到了廣泛的應(yīng)用 . 判據(jù)所提出的判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件仍然是以特征方程 的根全部具有負(fù)實(shí)部為基礎(chǔ)的，但是它將函數(shù) 與開環(huán)頻率特性 即 聯(lián)系起來，從而將系統(tǒng)特性由復(fù)域引入頻域來分析，具體地說， 它是通過 的 Nyquistl圖，利用圖解法來判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的 。 422 4 8 5 0 0ss? ? ?1 。 解輔助方程 得 即得出兩組數(shù)值相同、符號相異的根。這 兩對根通過解 F（ s）＝ 0可得到。 2022/9/20 機(jī)械工程 例 設(shè)系統(tǒng)特征方程為 試用 Routh表判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這樣， Routh表中其余各元的計(jì)算才可能繼續(xù)進(jìn)行下去。 2022/9/20 機(jī)械工程 （ 2）如果當(dāng) Routh表的 任意一行中的所有元 均為零時(shí)，系統(tǒng)的特征根中，或存在 兩個(gè)符號相異 、絕對值相同的 實(shí)根 ；或存在 一對共軛純虛根 ；或上述兩種類型的根同時(shí)存在；或存在實(shí)部符號相異、虛部數(shù)值相同的兩對 共軛復(fù)數(shù)根 。 2022/9/20 機(jī)械工程 2. Routh穩(wěn)定判據(jù) 根據(jù) Routh所表述條件， “ Routh判據(jù)”即表示為：“系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件是， Routh表中第一列各元的符號均為正，且值不為零。 ia1 1 00 , 0 , . . . . . . , 0 , 0 .nna a a a?? ? ? ?（ ） 0ia ? 12, , , ns s s2022/9/20 機(jī)械工程 （ 1）將系統(tǒng)的特征方程式（ ）的系數(shù)按下 列形式排成兩行： （ 2）列 Routh計(jì)算表：如以六階特征方程為例，設(shè)： 則有： 2 4 6n n n na a a a??? 1 3 5 7n n n na a a a? ? ? ?6 5 4 3 26 5 4 3 2 1 0( ) 0sD s a s a s a s a s a s a a? ? ? ? ? ? ? ?2022/9/20 機(jī)械工程 2022/9/20 機(jī)械工程 高于 6階時(shí) (一般不會 )，見課本上通式 。 （ 2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù) 的符號都相同，這樣才能滿足式（ ）中各式。( 2 1 ) 。 必要條件 設(shè)系統(tǒng)特征方程為： 將式（ ）中各項(xiàng)同除以 an并分解因式，得 式中， 為系統(tǒng)的特征根，再將式（ ） 右邊展開，得 : 11 1 0( ) 0nnnnD s a s a s a s a??? ? ? ? ? ?110 112( ) ( ) ( ) ,nn nnn n naa as s s s s s s s sa a a??? ? ? ? ? ? ? ?12, , , ns s s1 2 1( ) ( ) ( ) ( )nns s s s s s s s?? ? ? ?121 112( ) ( ) ( 1 )nnnn n n ni j ii i j iijs s i s s s s s???? ???? ? ? ? ? ??? ?（ ） （ ） （ ） 2022/9/20 機(jī)械工程 比較式（ ）與式（ ）可看出根與系數(shù)有 如下的關(guān)系： 11221 2 1 331 2 3 1 2 4012( ) 。 其中最重要的一個(gè)判據(jù)就是 1884年由 Routh判據(jù) 。 Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù) 判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也就