【正文】 niixhnJ11 () ? ? ? ?????????????????? ????212122 1111niiniihJ xhnxhnnn ??() 2h? 蒙特卡羅方法的誤差 ? 上述式 ()揭示了蒙持卡羅近似法中的兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)問題：第一，誤差隨著 n的增大以 n1/2的速度減?。坏诙?，近似方法的精度隨著 的減小而提高。 ? 對(duì)數(shù)值蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)不確定度、可以根據(jù)關(guān)于大數(shù)的中心極限定理來討論。由數(shù)字計(jì)算機(jī)提供的隨機(jī)數(shù)，不但不是真正的互不相關(guān)，同時(shí)還表現(xiàn)出周期性。對(duì)此，哈密頓量可由下式給出， () ? ? ,1,2, ,1,i nt qSJH iji SSP ot t s ji ????? ? ?? ? 自旋蒙特卡羅模型 ? 由式 ()可以看出，對(duì)于 δ型哈密頓量．當(dāng)近鄰格座上是相同自旋的粒子時(shí)其交換相互作用能為零；而當(dāng)近鄰為不同自旋的粒子時(shí)則有非零的交換相互作用能。 自旋蒙特卡羅模型 ? q態(tài)波茨自旋模型 ? 在介觀尺度關(guān)于相變問題的預(yù)測研究方面， q態(tài)波茨模型具有特別的意義和作用。若 J⊥ ＝ 0，則又返回到經(jīng)典伊辛模型，也就是方程式 ()。 ? 然而，在實(shí)際系統(tǒng)中，自族偏離量子化軸的漲落總是在一定程度上必然存在。對(duì)于每一種原子，比如 A，其總原子數(shù)的表達(dá)式為： () ? ?? ? ? ?????????????????????????????????????????kkkCCCkkkBBBkkkAAAkCCkBBkBCkBCkCCkAAkACkACkBBkAAkABkABnzVNzVNzVNVVVNVVVNVVVNH222 } 22 2{21A B CkABN() ? ?kACkABAAkA NNNzN ??? 21 自旋蒙特卡羅模型 ? 海森堡自旋模型 ? 伊辛模型只能應(yīng)用于自旋矢量與磁場引起的量子化方向平行或反平行的倩況。 自旋蒙特卡羅模型 ? 對(duì)鐵磁有序化的經(jīng)典伊辛系綜，由最近鄰相互作用能推導(dǎo)的哈密頓量可表示為： ? 式中， J為有效相互作用能； B代表某個(gè)強(qiáng)度熱力學(xué)場變量，例如磁場； i， j表示對(duì)所有最近鄰進(jìn)行一對(duì)一對(duì)的求和；Si為自旋變量，其指向?yàn)楦褡?i處局域磁矩的方向。因?yàn)槊總€(gè)格座的自旋可假設(shè)只有兩個(gè)狀態(tài)，所以伊辛模型適宜于研究具有周期結(jié)構(gòu)的二元臺(tái)金的原子組態(tài)。這較好的描述了 1/2自旋的情況，盡管自旋被賦予了經(jīng)典自由度以及沒有結(jié)出量子角動(dòng)量的對(duì)易規(guī)則。 自旋蒙特卡羅模型 ? 原始的伊辛模型是研究固體中分子磁矩鐵磁性有序化的較為恰當(dāng)?shù)姆椒ā? ? 原始的伊辛自旋模型僅考慮最近鄰相互作用。 ? 1/2自旋伊辛模型 ? 在 1/2自旋伊辛模型中，由在規(guī)則晶格格點(diǎn)上的原子或分子之間的對(duì)相互作用能求和，就可計(jì)算出系統(tǒng)內(nèi)能。在介觀尺度的計(jì)算材料學(xué)領(lǐng)域，基于波茨自旋模型的模擬方法具有特別重要的實(shí)用價(jià)值。 q態(tài)波茨 (Potts)模型是原始伊辛模型的推廣或考慮多自旋之后的改進(jìn)形式。這對(duì)于通過在晶格格點(diǎn)配置特性粒子而預(yù)測多體系統(tǒng)綜合特性來說，具有重要意義。 自旋蒙特卡羅模型 ? 在固體物理學(xué)和材料科學(xué)等領(lǐng)域，當(dāng)處理離散空間晶格和局域相互作用等問題時(shí)，必須引進(jìn)考慮其他自由度的模型和方法。同理，根據(jù)方程式 ()確定新的組態(tài)是否被接受。對(duì)新的組態(tài)可按照下列標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷：如果得到的新的能量小于原來的能量，則組態(tài)的這一變更被接受，如果新能量大于原來的能量，則這一變更將以某一概率被接受。 ? 同樣，組態(tài)的變更將以一定的概率被接受。這樣，就可任意選擇一個(gè)原子并通過改變一次原子種類而得到一個(gè)新的組態(tài) j。e x p。 ? 然而，如果新的能量值大于前一個(gè)能量值，則該變更僅以一 定概率 ρens(Γi) /ρens(Γj)被接受，在正則系統(tǒng)中這個(gè)概率由玻耳茲曼因子給出 () () ? ?? ? ? ?? ?jiie nsje ns H??? ??????? e xp Metropolis蒙特卡羅方法 ? 當(dāng) ΔH(Гi→j ) 取正值時(shí)，接受組態(tài)變化的概率可表示為 ? 根據(jù) Metropolis等人 (1953年 )的理論，若假定在 0和 1之間有一個(gè)隨機(jī)數(shù) ξ，則新的組態(tài)可按照下列定則確定： ? 如果新的組態(tài)被駁回，亦即沒有被接受，則把原位置記為新位置并記數(shù)一次，然后采用其他隨機(jī)選定的原子重復(fù)上述過程。 Metropolis蒙特卡羅方法 ? 在這一變化過程中系統(tǒng)的哈密頓量變化 ? ΔH(Гi→j ) = H(Гj) H(Гi) ? 如果新的能量值比變化前的能量值小，則該位移使得系統(tǒng)處于較低能量狀態(tài)。根據(jù)所考慮的粒子之間的具體相互作用，這一位移將使系統(tǒng)能量由 H(Γi)變?yōu)?H(Γj)。 ? 在蒙特卡羅模型中，通過任意地或系統(tǒng)地改變粒子位置可以給出新的組態(tài)。 () N1?? Metropolis蒙特卡羅方法 ? 正則和微正則系綜的 Metropolis方法 ? 在 Metropolis蒙特卡羅方法中，若對(duì)于系綜的 N個(gè)原子，都安排一個(gè)初始位置．就可以計(jì)算這種組態(tài)的哈密頓量。 () 1??jij?? ? ? ? jije n sijie n s ?????? ? () Metropolis蒙特卡羅方法 ? Metropolis算法可由隨機(jī)地 (或系統(tǒng)地 )選擇并更新試探狀態(tài)Γi來執(zhí)行計(jì)算任務(wù)，并按照下式抽樣隨機(jī)矩陣： ? 式中， N是粒子可能的位置數(shù)，并根據(jù) ρens(Γi) /ρens(Γj) 。方程式 ()表明了微觀可逆性原理。由在 ρens(Γi) ρens(Γj)情況下計(jì)算 π矩陣元的定則可知， Metropolis算法 ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ????????????????????jijiajiaie n sje n sjiijie n sje n sie n sje n sijie n sje n sijij, , 1, , ?????????????????? () Metropolis蒙特卡羅方法 ? 只需要知道比例系數(shù) ρens(Γi) /ρens(Γj)，而沒必要知道系統(tǒng)配分函數(shù) ZNVT。系統(tǒng)第 i個(gè)、第 j個(gè)狀態(tài)的概率密度函數(shù)分別由 ρens(Γi) 和 ρens(Γj)給出。在化學(xué)組分恒定的系統(tǒng) (正則、微正則和等溫等壓系綜 )中，其概率分布是系統(tǒng)哈密頓量的函數(shù)；而在化學(xué)組分變化的系統(tǒng) (巨正則系綜 )中，概率分布則是其化學(xué)勢的函數(shù)。 Metropolis蒙特卡羅方法 ? Metropolis蒙特卡羅算法是一種權(quán)重方法 (或稱重要隨機(jī)抽樣方法 )。在這些經(jīng)典情況下，通常假定其權(quán)重函數(shù)具有玻耳茲曼標(biāo)準(zhǔn)型的農(nóng)達(dá)形式。如果 y的取值是一個(gè)恰當(dāng)?shù)姆植?，則對(duì)于接近于 1的函數(shù) h(x)／ g(x)的積分將會(huì)相對(duì)簡單一些。 200 xxdxxdxxgxy xx ????? ??? ?yx ??? 112 () ? ?? ?dyyydxxJ yyxx ?????? ??????????? ?? 43010 111e xp2e xp() 重要抽樣 ? 變量代換修改了積分區(qū)間，同時(shí)也改變了被積函數(shù)的表達(dá)形式。139。0 dxxgxy x??() ? ?? ?? ?? ?? ?? ? dyxygxyhJ bxyaxy????? 重要抽樣 ? 即： ? 權(quán)重函數(shù)引入到蒙特卡羅方法的過程： ? 函數(shù) h(x)在 a和 b之間的積分 J可以表示為 ? 假定 h(x)=exp(x/2)，根據(jù)其級(jí)數(shù)展開式 1x/2+x3/2x3/6+… ≈1x/2， 則原來的基本表達(dá)式可以表示為： () ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ??????? ni iixygxyhnaxybxyJ 11() ? ?dxxhJ ba?? 重要抽樣 ? 利用 ? 和 ? 則 () ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? dyxxdyygyhdxxg