多項式的整除-文庫吧資料
2024-08-28 21:24本頁面
【正文】 的前一部分。若 f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么 f(x)=cg(x),其中 0 ?c ? F. 證明：由 f(x)|g(x) ? ? ?(x) ?F[x],使 g(x)=f(x) ?(x) …… （ 1） 由 g(x)|f(x) ? ? ?(x) ?F[x],使 f(x)=g(x) ? (x) …… （ 2） 由（ 1），（ 2）得： f(x)=f(x) ?(x) ?(x) 若 f(x)=0,則由（ 1）知 g(x)=0,從而 f(x)=g(x). 若 f(x)=0,則由（ 1）知 ?(x) ?(x)=1， 于是， ??（ ?(x) ?(x)） =0，從而 ??（ ?(x)） =0， ??（ ? (x)） =0， 令 ? (x)=c,(0 ?c ?F) 則有： f(x)=cg(x). 說明：若 f(x)與 g(x)均有首項系數(shù)為 1的多項式，則有 c=1,f(x)=g(x).從而可用此性質(zhì)判定兩首項系數(shù)為 1的多項式是否相等。 f(x)與 cf(x) (0 ? c ?F)有相同的倍式。每一個多項式 f(x)都能整除 cf(x),其中 c ?F. 2。 每一個多項式 f(x)都能被 cf(x)整除，其中0 ? c ?F. 證明：由 f(x)= (cf(x)),可得。. 有 h(x)|f(x)g(x),但 h(x) ? g(x)且 h(x) ? f(x). 4。 例 h(x)=(x2)(x3),g(x)=(x2) 178。 +1,有 h(x)|(f(x) +g(x))， 但 h(x) ? f(x),h(x) ? g(x). 3。 例 h(x)=x,g(x)=x 178。 如果 f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么 f(x)|h(x). 證明： f(x)|g(x) ? ?h1(x) ?F[x] 使 g(x)=f(x) h1(x) …… （ 1） g(x)|h(x) ? ? h2(x) ?F[x] 使 h(x)=g(x) h2(x) …… （ 2） 由 （ 1） ， （ 2） 得 h(x)=f(x)(g(x) h2(x)) 即 f(x)|h(x) 2。零次多項式整除任一多項式。零次
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