chebyshev多項式-文庫吧資料
2025-08-01 07:00本頁面
【正文】 式項數(shù) 可提高計算效率和改善其整體逼近效果。 則 ()npx推論 設(shè) 是首項系數(shù)為 1的 n次多項式， 1| | 1m a x | ( ) | 2 .nnnxp p x????( ) c o s c o s ( a r c c o s ) , 0 , 1 , .nT x n n x n?? ? ?—— Chebyshev多項式 第 10頁 /共 20頁 性質(zhì) 3 Chebysh ev 多項式序列0{ ( ) } ,nkTx在區(qū)間[ 1 , 1 ]? 上關(guān)于 權(quán)函數(shù)211 x?正交，且有 1210, ,( ) ( )/ 2, 0,1, 0.mnmnT x T xdx m nxmn??????? ? ??? ?????性質(zhì) 4 ()nTx 在區(qū)間 [ 1 , 1 ]? 上恰有 n 個不同的實根 ( 2 1 )c o s , 1 , 2 , , .2kkx k nn????第 11頁 /共 20頁 代數(shù)插值多項式余項的極小化 二、 Chebyshev多項式的兩個重要應(yīng)用 函數(shù) ()fx 關(guān)于 [ 1 , 1 ]? 上彼此互異的節(jié)點 01 , , , nx x x的n 次插值多項式 ( ) ,npx 有 下列 余項估計式 ( 1 )0| | 1ma x | ( ) ( ) | .( 1 ) !nnn xff p x x x xn??? ? ? ??所謂代數(shù)插值多項式余項的極小化問題是： 第 12頁 /共 20頁 , 0 , 1 , , ,ix i n?01| | 1m ax | ( ) ( ) ( ) |nx x x x x x x? ? ? ?使 盡可能地小。 由 Chebyshev定理知 ： 是 nx 在 [ 1 , 1 ]? 上的 1n ? 次最佳逼近多項式 。 進一步，我們還可給出函數(shù)系0{ ( ) } nkTx 和冪函數(shù)系 0{} knx 的互為表示式 。 則上述最佳逼近問題等價于問題： 求 *1,nnpP? 使之滿足 * 0 mi n 0 .nnnnpPpp ??? ? ?因此，常稱上述最佳逼近問題為與零偏差最小問題。第 1頁 /共 20頁
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