【正文】 ??????????????hxx A ????0hxx A )1(3 ?????AAA xThxThTT?????????????????????22220 2??AAA xThxThTT???????????????????????22223 2)1()1( ??從式中消去： 并求出 TA AxT??????????220 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h h?A 1??? ?AxqAAA xThxThTT?????????????????????22220 2??AAA xThxThTT???????????????????????22223 2)1()1( ??從式中消去 : 并求出 TA，有 AxT??????????22?????? ?????????????? AA xThTTT )1()1(2113202 ?????（ d） 由： ? ? AxAqxT ?????????? ? 得： ? ?AxAqxT ?1?????????? 代入上式，有： ? ? ?????? ?????? AxA qhTTT ?????? )1()1(21 1 3202ATTTTT )1(212)11(24320 ???? ???????（ 715） 0 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h h?A 1??? ?Axq? ? ?????? ?????? AxA qhTTT ?????? )1()1(21 1 3202代入式（ 715）右端的 TA ： 并整理、簡(jiǎn)化得： AxqhTTTT )(212212)21)1(44320 ??????????????10 ???（ 717） A 0 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h?1,1 ?? ??B h ? 對(duì)于圖示 不規(guī)則節(jié)點(diǎn) 0的差分方程 ，由類似的推導(dǎo)，有： ? ?Axq? ?Byq430 211211211211 TTT???? ?????????????????????????? ByAx qqh )(211)(211???10 ,10 ???? ??（ 718） （ 3）第三類邊界 ： )( essTTnT ??????????? ??0 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h h?A 10 ?? ?eT)( eAATTxT ????????????? 將其代入式（ d）： ?????? ?????????????? AA xThTTT )1()1(2113202 ????? （ d） 0 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h h?A 10 ?? ?eT（ 3）第三類邊界 : )( essTTnT ??????????? ??)( eAATTxT ?????????????將其代入式（ d）： ?????? ?????????????? AA xThTTT )1()1(2113202 ?????(d) 得到： ? ??????? ??????? eAA TThTTT )1()1(21 1 3202 ???????（ e） 由式（ e）求出 TA ： ?????? ???????? eA ThTThT )1()1()1(21(13202 ???????????將上式代入式（ 715）右端 TA ， ? ??????? ??????? eAA TThTTT )1()1(21 1 3202 ???????(e) 由式（ e）求出 TA : ?????? ???????? eA ThTThT )1()1()1(21(13202 ???????????ATTTTT )1(212)11(24320 ???? ???????（ 715） 整理即得 節(jié)點(diǎn) 0的差分方程。 解： 劃分網(wǎng)格： 4 3, 編排節(jié)點(diǎn)號(hào)： a ~ i 列節(jié)點(diǎn)差分方程： 節(jié)點(diǎn) a： 035324 ?????bca TTT節(jié)點(diǎn) b： 024164 ?????adb TTT節(jié)點(diǎn) c： 0304 ?????adec TTTT節(jié)點(diǎn) d： 0144 ????? cbfd TTTT節(jié)點(diǎn) e： 0254 ????? cfge TTTT節(jié)點(diǎn) f： 0124 ????? edif TTTT內(nèi)節(jié)點(diǎn) 邊界節(jié)點(diǎn)： 節(jié)點(diǎn) g： 02024 ???? eig TTT節(jié)點(diǎn) i： 聯(lián)立求解方程組，得： ,?aT ,?bT,?cT ,?dT,?eT ,?fT,?gT ?iT4. 不規(guī)則邊界條件的處理 0 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h h?A （ 1）第一類邊界 ： ? ? ),( yxTTs ?將溫度 T 在 節(jié)點(diǎn) 0鄰近處沿 x方向展開為 Taylor級(jí)數(shù)，略去 (xx0) 的三次方以上項(xiàng)，有 20022000 )(21)( xxxTxxxTTT ???????????????????????hxx ?? 03 hxx A ??? 0 hxx ?? 01 10 ?? ?0222003 2 ?????????????????????xThxThTT0222200 2 ?????????????????????xThxThTTA??由此可解得： ?????? ??????????????0320)1()1()1( 11 TTThxT A ?????????? ???????????????032022 1)1(1)1(12 TTThxTA ????0 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h h?A 10 ?? ?由此可解得 : ?????? ??????????????0320)1()1()1( 11 TTThxT A ?????????? ???????????????032022 1)1(1)1(12 TTThxTA ????? ?042202221 TTThy T ?????????????由： 0022022??????????????????????yTxT 得： ATTTTT )1(212)11(24320 ???? ???????（ 715） 10 ???04 43210 ????? TTTTT （ 711） 0 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h h ?B 10 ???2 0 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h h?A 10 ?? ?ATTTTT )1(212)11(24320 ???? ???????（ 715） 10 ???04 43210 ????? TTTTT （ 711） 類似地，對(duì)于 y 方向網(wǎng)格線上的 不規(guī)則邊界點(diǎn) B， 有： BTTTTT )1(212)11(24310 ???? ???????（ 715`） 10 ???1,1 ?? ??0 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h?A B h ?對(duì)于圖中 不規(guī)則邊界節(jié)點(diǎn) A、 B， 有： 430 1111)11( TTT???? ?????BA TT )1(1)1(1???? ????（ 716） （ 2）第二類邊界 ： ? ?snsqnT ?????????? ?0 2 4 3 1 邊界外 邊界內(nèi) x y h h h h?A 10 ?? ?? ?Axq將第一類邊界情形中的 TA 用 ? ?Axq表示。 8m a b c d e f g i 10 12 14 16 18 40 32 24 35 30 25 20 解： 劃分網(wǎng)格： 4 3, 編排節(jié)點(diǎn)號(hào)： a ~ i 列節(jié)點(diǎn)差分方程： 節(jié)點(diǎn) a： 0 1 2 3 4 04 43210 ????? TTTTT035324 ????? bca TTT節(jié)點(diǎn) b： 024164 ?????adb TTT節(jié)點(diǎn) c： 0304 ?????adec TTTT節(jié)點(diǎn) d： 0144 ????? cbfd TTTT節(jié)點(diǎn) e： 0254 ????? cfge TTTT節(jié)點(diǎn) f： 0124 ????? edif TTTT內(nèi)節(jié)點(diǎn) 邊界節(jié)點(diǎn)： 節(jié)點(diǎn) g： 絕熱邊界： 024 4320 ???? TTTT內(nèi)節(jié)點(diǎn)： 0 2 3 4 02024 ???? eig TTT節(jié)點(diǎn) i： 02104 ???? gfi TTT8m a b c d e f g i 10 12 14 16 18 40 32 24 35 30 25 20 0 1 2 3 4 0 2 3 4 02104 ???? gfi TTT例： 圖示矩形薄板，右邊界為 絕熱邊界 ，其余三邊界上的 已知節(jié)點(diǎn)溫度 值標(biāo)于圖中各節(jié)點(diǎn)上（單位： ℃ ）。 邊界外 邊界內(nèi) x y 0 1 4 2 3 eT 對(duì)于與 y 軸垂直的 邊界節(jié)點(diǎn) ，有： eThTTTTh ????22244310 ??????????? ?（ 714`） )(2 042 eTTh TT ???????? ?? ?? )(2 042 eTThTT ??? ??將上式代入差分方程（ 711），并整理得 邊界節(jié)點(diǎn) 0點(diǎn)的差分方程： 04 43210 ????? TTTTT(711) 例： 圖示矩形薄板，右邊界為 絕熱邊界 ，其余三邊界上的 已知節(jié)點(diǎn)溫度 值標(biāo)于圖中各節(jié)點(diǎn)上（單位： ℃ ）。 04 43210 ????? TTTTT (711) （ 4）第四類邊界條件 已知物體和與之接觸的另一物體以熱傳導(dǎo)方式進(jìn)行熱交換的情況。 3. 邊界條件的引入 （ 1）第一類邊界條件 ? ? ),( yxTT s ?由于邊界點(diǎn)的 T 值已知， 因此，只需建立每 一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的差分方程即可求解。 72 穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解 1. 熱傳導(dǎo)方程 一般情形下，熱傳導(dǎo)方程： ,0??? t? ,0???zT 0???tTtTatT??????? ?2對(duì) 無(wú)熱源、平面、穩(wěn)定 的溫度場(chǎng)，有 其熱傳導(dǎo)方程變成二維的調(diào)和方程： 022222 ????????yTxTT （ a） 2. 熱傳導(dǎo)方程的差分方程 2 4 y x 0 1 3