彈性力學(xué)第6章---用有限單元法求平面問(wèn)題-文庫(kù)吧資料
2024-12-14 09:18本頁(yè)面
【正文】 ( e )1 1 1 1002 2 2 2Eμ a????? ? ? ??????? ??? ? ???? ? ? ?????S. 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 可得該單元的 應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 為 21 0 0 10 0 1 1 ( e )( 1 )1 1 1 1002 2 2 2Eμ a????? ? ? ????? ??? ? ??? ? ? ???????S . 應(yīng)用教材式 (637)及式 (638)可得該單元的 單元?jiǎng)偠染仃?為 2110211022 ( f )0 0 12( 1 )1 1 312 2 21 1 1 312 2 2 2Etμ????? ? ??? ? ? ?????????????????? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???k對(duì)稱第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 現(xiàn)考察結(jié)點(diǎn)力與單元中的應(yīng)力之間的關(guān)系。 即 ,k中每一行（或列）元素之和為 0（其中第 5元素之和 (對(duì)應(yīng) x向 )或 6元素之和 (對(duì)應(yīng) y向 )也為 0）。 1,i j mu u u? ? ?(4)由 (3)可導(dǎo)出行列式 (即 k為 奇異矩陣 )。 (2)由反力互等定理， 所以 k是對(duì)稱矩陣，以對(duì)角線為對(duì)稱軸。 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 ( 6 37)ii ij imji jj jmm i m j m m?????????k k kk k k kk k k? ?2 221122= ,114 ( 1 )22 , , , 。 ? ? TA d x d y t? ??eFB ζ .b第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 式 (c)是 由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)力的一般公式， k稱為單元的 勁度矩陣 . 其中 , 再將應(yīng)力公式代入上式，得 單元?jiǎng)哦染仃? ? ?[ ] ce T e eA d x d y t????F B D B δ k δ? ? dTA d x d y t? ??k B D B式 (b)是 由應(yīng)力求結(jié)點(diǎn)力的一般公式 。 (1)結(jié)點(diǎn)作用于單元上的力 ，稱為 結(jié)點(diǎn)力 ， (2)單元作用于結(jié)點(diǎn)的力， 為： 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 。 iF以沿正坐標(biāo)向?yàn)檎?故單元內(nèi)已沒(méi)有外荷載。 (2)單元與周?chē)膯卧谶吔缟弦褯](méi)有聯(lián)系 ,只在結(jié)點(diǎn) i,j,m互相聯(lián)系。 ( ) , ( e)i j m?S S S S2( , , ) ( f )2( 1 )1122iii i i iiib μ cEμ b c i j mμ Aμ μcb?????? ?????????S D B .()ox?再應(yīng)用 物理方程， 求出 單元的應(yīng)力列陣： 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 167。???????????iB其中 , B 稱為 應(yīng)變矩陣 ，用分塊矩陣表示， , (d )? ? ?eeζ D ε DB δ S δ再應(yīng)用 物理方程， 求出 單元的應(yīng)力列陣： 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 應(yīng)變 ,應(yīng)力 其中 , S稱為 應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣 ， 寫(xiě)成分塊形式為 , (d )? ? ?eeζ D ε DB δ S δ 對(duì)于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為 常應(yīng)變（應(yīng)力）單元 。 64 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣： ?????????。 (1)和 (2)是必要條件 ，而加上 (3)就為充分條件。則為了保證 FEM收斂性 ,位移模式應(yīng)滿足下列條件： 0, ??? yx(1)位移模式必須能反映單元的剛體位移。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界 ij 上， 之間均為線性變化，也為連續(xù)。 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 (3)位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。xxyvyyxu22,22353564353521???????????????????,00xvvyuu??可見(jiàn)剛體位移項(xiàng)在式 (a)中均已反映。 (2)位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。則為了保證 FEM收斂性 ,位移模式應(yīng)滿足下列條件： 0, ??? yx 因?yàn)楫?dāng)單元尺寸趨于 0時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量－－ 剛體位移和常量位移。則為了保證 FEM收斂性 ,位移模式應(yīng)滿足下列條件： FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。 )。? ?0 0 0 0 0 0iii j m ji j m jmmuvN N N uuN N N vvuv????????????? ? ????????? ?? ??????????edN δ .c( ) 2 , ( , , )i i i iN a b x c y A i j m? ? ?11, , , ( , , )j j j ji i im m m mx y y xa b c i j mx y y x? ? ? ?N 稱為 形函數(shù)矩陣 ,其非零元素為 其中， A為△ ijm的面積 (圖示坐標(biāo)系中 ,i,j,m按逆時(shí)針編號(hào) ),有： imjxyoi11121iijjmmxyA x yxy? 。及 ?? , iiii vuyx61 ~??第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 將式 (a)按未知數(shù) 歸納為 : ?, ii vu? ?, bi i j j m mi i j j m mu N u N u N uv N v N v N v? ? ? ???? ? ? ??。),(, mjiyx ii , ( , , )iiu v i j m。 63 單元的位移模式與解答的收斂性 位移模式 d插值公式 (a)在結(jié)點(diǎn) 應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)位移值 。 T?? mjie δδδδ (?iδ( ( , ) ( , ) Tu x y v x y??d 。問(wèn)題是如何求應(yīng)變、應(yīng)力。 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 復(fù) 習(xí) 基本物理量與基本方程的矩陣表示 (2)物理方程 : Tu v u vx y x y??? ? ? ?????? ? ? ???ε(1)幾何方程 : (3)虛功方程 : ?ζ Dε( ) ( )TTA d x d y t? ??**δ F ε ζ ： 位移模式 應(yīng)變列陣 結(jié)點(diǎn)力列陣 等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣 應(yīng)力列陣 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 應(yīng)用插值公式 ,可由 求出位移 。 第六章 用有限單元法解平面問(wèn)題 求解方法 歸納起來(lái)， FEM分析的主要步驟 ： （ 1）單元的位移模式 （ 2）單元的應(yīng)變列陣 （ 4） 單元的結(jié)點(diǎn)力列陣 （ 5）單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣 建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，求解各結(jié)點(diǎn)的位移。 ( Ti i x i yFF??F FEM的分析過(guò)程 (2) (1)應(yīng)用插值公式 , 由單元結(jié)點(diǎn)位移 , 求單元的位移函數(shù) Tmjie )(
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