【正文】 ?u對(duì)于ＢＯ段， 1* ??u? ?,1,1* ???u 切換點(diǎn)為Ｂ A[10,0) *u =1 *u =1 ftB ts 當(dāng) t=ts時(shí) 122)(12)(221 btbtxbtxsstst??????010)0(2)0(1??xx102121 2122)(1)(2?????????ssststtbtbtxtxssBO段： u*=+1 12212221 atatxatx?????當(dāng) 時(shí)， X1=X2=0 ，則： ftt ?212 , ff tata ???22122121fffttttxttx?????在 B點(diǎn)應(yīng)有： sfssfsfstttttttt???????? 10212121 222聯(lián)立求解： 102,10 ??fs ttfsfsfstttxttttxs?????222)(1 2121習(xí)題 2分析：設(shè)線性狀態(tài)方程為： 邊界條件： 1221xxuxx??????20)0(210)0(1xxxx??00)(2)(1??ffttxx容許控制為： 求最短時(shí)間控制 u*(t)及開關(guān)曲線（做出大致圖形） 1?u分析 : 根據(jù)最小值原理： 1221 )(1 xuxH ?? ?????122221????????????????xHxH??? ?)(1s g n* tu ???則： ? ?)s i n (,0, 111121 ??????? ???????? tC?????? ?...1,1,1,1* ?????u 切換周期為 ?當(dāng) u*=+1時(shí)， 1221 1xxxx??????1221 1xxdxdx ???12221 22121 cxxx ????Cxx ??? 2221 )1(是一組同心圓，圓心為（ 0， 1） 同理，當(dāng) u*=1時(shí)，可得： Cxx ??? 2221 )1(只有 NO右半圓及 MO坐半圓弧能夠到達(dá)原點(diǎn)， u*的切換周期為 ，曲線如圖。 奇異：不能用極小值，死區(qū)函數(shù)。因襲燃料消耗的性能指標(biāo) ： 也可以以升降機(jī)系統(tǒng)分析，只是 相應(yīng)于時(shí)間最優(yōu)控制，要求到達(dá)地于所用時(shí)間最小， 相應(yīng)于燃料最優(yōu)控制，要求達(dá)到目的地時(shí)所用燃料最小 dtuJ ft?? 0?? ft dtJ 0dtuJ ft?? 0數(shù)學(xué)描述 [以二階級(jí)分模型的燃料最優(yōu)控制為例 ] 系統(tǒng)： 約束： uxxx??221?? 1?u要求：系統(tǒng)從初始狀態(tài) 轉(zhuǎn)移到（ 0， 0） 使 最小， 給定。在空中攜帶的燃料是有限的，要保證長(zhǎng)時(shí)間的飛行計(jì)劃，就希望空中的控制系統(tǒng)消耗的燃料最小，而燃料的消耗一般是和控制力 u的大小成正比的。 二、燃料最優(yōu)控制問(wèn)題 節(jié)約能源，減少燃料消耗在國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門中都是一項(xiàng)重要的技術(shù)經(jīng)濟(jì)課題。 ⅲ u*的取值僅在開管曲線上切換。 ,*,0 MuRX ??? ??rMu ??*Mu ??*Mu ??*N r?從上例可以看出：快速最優(yōu)控制有如下特點(diǎn)： ⅰ u*要么最大，要么最小。 Rx ??0 rx ??0)0( ?Nb 當(dāng) 即開始以最大推力向下最用， 使升降機(jī)盡快下降。 ? ? Rxx ??0201 ,? ?xx 0201 , r? r?Mu ??*Mu ??* r? 馬上切換 r?Mu ??*〈 ⅳ 〉 當(dāng) 時(shí)， ，沿相應(yīng)的實(shí)拋物線運(yùn)動(dòng)到 時(shí)， ? ? Rxx ??0201 ,Mu ??* r?馬上切換 總之： ? ?? ?? ?????????????????????????????????xxxxxrrxxxxxRxxxxxR22121221212212121,21,21,Mu ??* ，沿 回到原點(diǎn)。 即： ??? t dtJ f t f0 最小， 自由 tf? ? 0?t fx ? ? 0?t fx?W u g X(t) 解：建立升降機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型， F=ma 即： Xdt xdgu t ????? 22)(令： )(2)(1ttxxxx???即： guxxx???221??02)0(201)0(1xxxx??00)(2)(1??ffttxx哈密頓函數(shù)： ? ?guxH ???? 2211 ??顯然，為了使 H為最小，則 ? ?2s g n* ?Mu ??即： ?????***uMuMu不確定 000)(2)(2)(2???ttt???協(xié)狀態(tài)方程： 即： 常數(shù) 12221?????????????xHxH??21211CtCC???????相應(yīng)于 的 4種可能， u*的取值有 4種可能 {+M}， {M}， {+M,M}， {M， +M} 因此，下面只研究 u=177。 求 及 ts 在 AQB段 ,u=1, 切換次數(shù)為 1 1,+1 tf*tf????????????bbtxbxtt12212221 ? ?? ? ???????110x?121 ??? bb到達(dá) B點(diǎn)： t=ts, ? ?? ? 1211212???????tttxttxsssssBO段： u=+1， 12212221 atatxatx?????當(dāng) 時(shí)， ，則 ftt ? 0)(2)(1 ?? ff tt xx 21221fftata???2212121ff ttttx ???fttx ??222)(1)(22121fsfstfstttttxttxss?????在 B點(diǎn)應(yīng)有： 22)(1221211211fsfstssfsttttxtttts?????????聯(lián)立求解： 即： 2321231????fstt2321* ??ft??????11*u23212312310??????tt ?例題分析 2：二階積分系統(tǒng)的最小時(shí)間控制系統(tǒng) ?????uxx x??2 1?u最小時(shí)間控制問(wèn)題：求 u*(t),使系統(tǒng)由初態(tài) ? ? ???????? xxxx201000轉(zhuǎn)移到末端狀態(tài) 的時(shí)間為最小，且滿足 ???????00)(tfx1?u解：⑴列寫哈密頓函數(shù)： uH x ?? 2211 ??? ? ?? 2* s g n??u ⑵求解協(xié)狀態(tài)方程 ?????????????????????122110xxHH?? 設(shè) ????022011)0()0(?? ，則： c o n s tt ?? ?? 011 )( tt ??? 01022 )( ??⑶確定控制序列： 顯然，由⑵知， 為一條直線，其形式有可能為 4種 ? ?)(s g n* 2 tu ???)(2 t?因此， u相應(yīng)的控制序列為： {1}， {+1， 1}， {1， +1} {+1} 2? 2?2?2?2? 2?2? 2?1 1 u u u u +1 0,0 0201 ?? ?? 0,0 0201 ?? ??0,0 0201 ?? ??0,0 0201 ?? ??⑷狀態(tài)軌線： 由⑶知， u有 4種可能的取值，其值為 177。 12)(2 ,0CCtst ???21xx??t2?tt001?1?ts tf 由 uxxx??221??設(shè) u=1，則 1221??xxx??則： 22 atx ??1221 21 atatx ???)2()(2122122aaat ????22221 Kx ??如圖 (a)所示，為一組拋物線， 當(dāng) K=0時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn) [pos] 22212 aaK ??其中 t s p 0 X2 若 u=1，則 1221???xxx??22 btx ???1221 21 btbtx ????12221 Kx ???2111 21 bbK ??為一組拋物線，如圖 (b)，當(dāng) K1=0時(shí)過(guò)原點(diǎn) [NOT] X1 X2 u=1 N T o 顯然：若 初始狀態(tài)在 NO或在 PO上，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)移到目標(biāo)原點(diǎn)，稱 NOP為開關(guān)曲線 )0(2)0(1 , xx 由題意假設(shè) 它落在 u=1相應(yīng)拋物線組中的一條上，即 AQB，這時(shí)在 u=1的作用下， 狀態(tài)由 沿 AQB 轉(zhuǎn)移到 B，進(jìn)行切換，B位于 PO上，一步可到達(dá)原點(diǎn)。通常采用的方法是： )(* tu o?o?先設(shè)一個(gè) ，求出 ，求出 ，判定 若為０，則 即為所求；否則修正 重復(fù)上述過(guò)程 o?)(t? )(tX ?0)( ?ftX)(t?0?⑶開關(guān)次數(shù)定理： 設(shè)線性系統(tǒng) 是正常的（不存在非奇異問(wèn)題），若矩陣 A的特征值均為實(shí)數(shù)，假定時(shí)間最優(yōu)控制存在，并令其為 則 u*(t)的切換次數(shù)最多不超過(guò)（ n1）次，n為系統(tǒng)的維數(shù)。若問(wèn)題正常 (非奇異 )，則 這是一個(gè)繼電器控制方式，稱為砰一砰控制 )(* t?? ?? ?)(*),(s g n)(* tttxBtu T ???線性定常系統(tǒng)的最小時(shí)間控制問(wèn)題的解法： ⑴如何確定最優(yōu)控制 u*(t) 設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 0)0(),()()( XXtButAXtX ????其中， X： n 1維狀態(tài)向量 u：控制變量 A， B分別為 n n， n 1矩陣 約束條件： 末端條件： 1)( ?tu ? ?0?ftX求 ，使系統(tǒng)狀態(tài)從 轉(zhuǎn)移到 所用時(shí)間最短，即使 為最小 )(* tu 00 )( XtX ? 0)( ?? f