【正文】 ,22??????????????????nZxnZx????我們可以 95％ 的概率保證該種零件的平均長度在 ～ mm之間 【 例 】 某種零件長度服從正態(tài)分布 ， 從該批產(chǎn)品中隨機抽取 ９ 件， 測得其平均長度為 mm。 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得： 。 已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布 ， 且 總體標(biāo)準(zhǔn)差為 10克 。 直觀地說 ， 較寬的區(qū)間會有更大的可能性包含參數(shù) 2. 但實際應(yīng)用中 ， 過寬的區(qū)間往往沒有實際意義 ? 比如 ， 天氣預(yù)報說 “ 在一年內(nèi)會下一場雨 ” ， 雖然這很有把握 ， 但有什么意義呢 ？ 另一方面 ， 要求過于準(zhǔn)確 (過窄 )的區(qū)間同樣不一定有意義 ， 因為過窄的區(qū)間雖然看上去很準(zhǔn)確 ， 但把握性就會降低 ， 除非無限制增加樣本量 ，而現(xiàn)實中樣本量總是有限的 3. 區(qū)間估計總是要給結(jié)論留點兒余地 置信區(qū)間的表述 (confidence interval) 總體均值的區(qū)間估計 正態(tài)總體、方差已知 或非正態(tài)總體、大樣本 正態(tài)總體、方差未知、小樣本 第 4 章 抽樣與參數(shù)估計 正態(tài)總體、方差已知 或非正態(tài)總體、大樣本 總體均值的區(qū)間估計 4 77 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本 ) 1. 假定條件 ? 總體服從正態(tài)分布 ,且方差 (?２ ) 已 知 ? 如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n ? 30) 2. 使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z 構(gòu)造置信區(qū)間 3. 總體均值 ? 在 1? 置信水平下的 置信區(qū)間為 )1,0(~ Nnxz ? ???)(22 未知或 ?? ??nszxnzx ??4 78 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 總體均值的區(qū)間估計 (正態(tài)總體、方差已知或非正態(tài)總體大樣本 ) 【 例 】 一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主 ， 為對產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測 ， 企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢 ， 以分析每袋重量是否符合要求 。同樣，其他置信水平的區(qū)間也可以用類似的方式進(jìn)行表述 置信區(qū)間的表述 (confidence interval) 4 71 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 1. 總體參數(shù)的真值是固定的 ， 而用樣本構(gòu)造的區(qū)間則是不固定的 ， 因此置信區(qū)間是一個隨機區(qū)間 ， 它會因樣本的不同而變化 ， 而且不是所有的區(qū)間都包含總體參數(shù) 2. 實際估計時往往只抽取一個樣本 ， 此時所構(gòu)造的是與該樣本相聯(lián)系的一定置信水平 (比如 95%)下的置信區(qū)間 。 estimated value) ?? 點估計與區(qū)間估計 參數(shù)估計的基本原理 4 65 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 點估計 (point estimate) 1. 用樣本的估計量的某個取值直接作為總體參數(shù)的估計值 ? 例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計；用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計 2. 無法給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息 ? 由于樣本是隨機的 ， 抽出一個具體的樣本得到的估計值很可能不同于總體真值 ? 一個點估計量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量的 ， 這表明一個具體的點估計值無法給出估計的可靠性的度量 ? 可在對總體指標(biāo)準(zhǔn)確性要求不高時使用 。 正態(tài)分布的特征 4 51 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 樣本均值的抽樣分布 與中心極限定理 ? = 50 ? =10 X 總體分布 n = 4 抽樣分布 X n =16 5?x?50?x??x?當(dāng)總體服從正態(tài)分布 N~(μ,σ2)時 ， 來自該總體的所有容量為 n的樣本的均值 ?X也服從正態(tài)分布 ， ?X 的數(shù)學(xué)期望為 μ， 方差為 σ2/n。 ??? xx??x??x正態(tài)分布的特征 4 48 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 正態(tài)分布的位置及形狀由總體平均數(shù)和總體標(biāo)準(zhǔn)差決定，總體平均數(shù)決定正態(tài)分布中心的位置； ax ?? 0?x ax?正態(tài)分布的特征 4 49 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 總體標(biāo)準(zhǔn)差決定正態(tài)分布的寬窄的形狀。 正態(tài)分布的特征 X4 46 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 在總體平均數(shù)處，正態(tài)分布的概率密度最大，當(dāng)遠(yuǎn)離總體平均數(shù)時，概率密度的值隨著距離的增加而遞減。 正態(tài)分布 4 45 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 正態(tài)分布是鐘型對稱分布，對稱線為總體平均數(shù)，整個曲線下的面積等于 1。 正態(tài)分布基本指這樣的分布： 在總體平均數(shù)及其附近，總體單位數(shù)最多；相反地，越遠(yuǎn)離總體平均數(shù)，總體單位數(shù)越少。 ?由于正態(tài)分布特有的數(shù)學(xué)性質(zhì)，使之成為許多概率分布的極限分布，其他一些分布的概率可由正態(tài)分布來近似計算，如當(dāng)試驗次數(shù) n很大時 ， 二項分布 可用正態(tài)分布來近似。 大數(shù)定律 4 43 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 正態(tài)分布 正態(tài)分布在抽樣理論中占有非常重要的地位： ?大千世界中許多常見的隨機現(xiàn)象服從或近似服從正態(tài)分布，如 測量誤差，同齡男性的身高、體重、智商和肺活量，設(shè)備使用壽命，一定條件下某種農(nóng)作物的產(chǎn)量等 。 注意： 第一、抽樣必須遵循隨機原則。 并給出樣本均值的抽樣分布 3 2 4 4 3 2 1 1 第二個觀察值 第一個 觀察值 16個樣本的均值 (x) X 樣本均值的抽樣分布 0 P (X ) 4 39 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 樣本均值的分布與總體分布的比較 (例題分析 ) ? = σ2 = 總體分布 樣本均值分布 ?? ?? nx?? 22 6 2 ??01 2 3 4x 的取 值P(x)4 40 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 大數(shù)定律 在對某一現(xiàn)象觀察過程中，由大量相互獨立的隨機變量構(gòu)成的總體，由于受偶然因素的影響，每次所得到的結(jié)果不同，但經(jīng)過大量觀察并加以綜合平均后，消除了偶然因素引起的差異，而接近于總體的平均值，使現(xiàn)象總體某一方面的 規(guī)律 在數(shù)量上、質(zhì)量上顯示出來?？傮w的均值 、 方差及分布如下 總體分布 1 4 2 3 0 .1 .2 .3 均值和方差 ????NxNii?)(122 ?????NxNii ??4 37 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 樣本均值的抽樣分布 (例題分析 ) ? 現(xiàn)從總體中抽取 n＝ 2的簡單隨機樣本 ， 在重復(fù)抽樣條件下 ， 共有 42=16個樣本 。 抽樣分布 抽樣與抽樣分布 4 32 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 抽樣的數(shù)理基礎(chǔ) 抽樣調(diào)查 數(shù)理基礎(chǔ) 抽樣分布 大數(shù)定律 正態(tài)分布 中心極限定理 4 33 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 抽樣分布的形成過程 總體 計算樣本統(tǒng)計量 如：樣本均值 、比例、方差 樣本 樣本統(tǒng)計量的概率分布 4 34 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 1. 在重復(fù)選取容量為 n的樣本時，由每一個樣本算出的該統(tǒng)計量數(shù)值的相對頻數(shù)分布或概率分布 2. 是一種理論分布 3. 樣本統(tǒng)計量是 隨機變量 ? 樣本均值 , 樣本比例，樣本方差等 4. 結(jié)果來自 容量相同 的 所有 可能樣本 5. 樣本統(tǒng)計量為我們提供了長遠(yuǎn)穩(wěn)定的信息，是進(jìn)行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù) 抽樣分布 (sampling distribution) 4 35 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 1. 容量相同的所有可能樣本的樣本均值的概率分布 2. 一種理論概率分布 3. 進(jìn)行推斷總體總體均值 ?的理論基礎(chǔ) 樣本均值的抽樣分布 4 36 統(tǒng)計學(xué) 基礎(chǔ) 2022年 樣本均值的抽樣分布 (例題分析 ) 【 例 】 設(shè)一個總體 ， 含有 4個元素 (個體 ) ， 即總體單位數(shù) N=4。所以整群抽樣的誤差主要取決于 群間方差 的大小，而與 群內(nèi)方差 無關(guān)。 例如：對農(nóng)民的人均收入進(jìn)行調(diào)查，可以先將總體分群，如農(nóng)村的鄉(xiāng)、村、組等，然后進(jìn)行整群抽樣； 對某工廠生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量調(diào)查，在規(guī)定時間內(nèi)，每隔 24小時抽取 1小時的全部產(chǎn)品加以檢查。 例如，農(nóng)產(chǎn)品調(diào)查時，農(nóng)作物的抽樣間隔不宜和垅的長度相等；