【正文】 0xF ??( ) ( ) ( )0yxx z xx y x z x xy x z xd x d y d z d y d z d x d z d x d y d y d zxyzd z d x d x d y???? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ??????0yxx z xx y z??????? ? ?? ? ?000yxx zxx y y zyyzxz zx y zx y zx y z???? ? ??? ?? ???? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ????? ?? ? ? ?? ? ? ?? （ 411）式是求解塑性成形問題的基本方程。由于物體是連續(xù)的，應(yīng)力的變化也應(yīng)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。 圖 418 主應(yīng)力狀態(tài)圖 第一排：?jiǎn)蜗驊?yīng)力狀態(tài)；第二排：兩向應(yīng)力狀態(tài)；第三排：三向應(yīng)力狀態(tài) 8） 一點(diǎn)鄰區(qū)的（靜力）微分平衡方程 設(shè)物體內(nèi)有一點(diǎn) Q，坐標(biāo)為 x， y，z。3 1 2 3( ) ( ) ( ) 0()1( ) ( ) ( )6x m y m z mx y y z z x x y y z zxJJJ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ???????問題 ： 應(yīng)力球張量也存在三個(gè)不變量，其形式如何？ 7）主應(yīng)力狀態(tài)圖 定義：用主應(yīng)力的個(gè)數(shù)和符號(hào)來描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的簡(jiǎn)圖稱為主應(yīng)力狀態(tài)圖，簡(jiǎn)稱主應(yīng)力圖。 39。 2 2 22 2 21 2 2 3 3 139。 39。 39。 39。因此，應(yīng)力偏張量與應(yīng)力張量類似也具有三個(gè)不變量，它們是： （ 410） 1239。ij? 歸結(jié)起來，物體在應(yīng)力張量作用下所發(fā)生的變形，包括體積變化和形狀變化；前者取決于應(yīng)力球張量，而后者取決于應(yīng)力偏張量；體積變化只能是彈性的，當(dāng)應(yīng)力偏張量滿足一定的數(shù)量關(guān)系時(shí)，則物體發(fā)生塑性變形。因此，應(yīng)力偏張量完全包含了應(yīng)力張量作用下的形狀變化因素，物體是否發(fā)生塑性變形只與應(yīng)力偏張量有關(guān)。在應(yīng)力偏張量中不再包含各向等應(yīng)力的成分，應(yīng)力偏張量不會(huì)引起物體體積變化。 需要指出，應(yīng)力球張量雖然不能使物體發(fā)生形狀變化和塑性變形，但對(duì)物體的塑性變形能力（即塑性）卻有重大的影響。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)處于球應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，過該點(diǎn)的任意方向均為主方向，且各方向的主應(yīng)力相等，而任何切面上的剪應(yīng)力均為零。 ( ) 0 0( ) 0 0( ) 0 0x x y x z x m x y x z mij y x y y z y x y m y z mz x z y z z x z y z m m? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ?1 2 311( ) ( )33m x y z? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?（ 410）式可簡(jiǎn)寫為： 問題：什么是靜水壓力？靜水壓力與平均應(yīng)力或靜水應(yīng)力有何關(guān)系？通常靜水壓力用什么符號(hào)來表示？其正負(fù)號(hào)是如何規(guī)定的？ 39。主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力為： 2 3 2 31 ()2? ? ??? 3 1 3 11 ()2? ? ??? 12 1 21 ()2? ? ???（ 2）最大剪應(yīng)力 定義：絕對(duì)值最大的主剪應(yīng)力，即受力質(zhì)點(diǎn)所有方向的切面上剪應(yīng)力最大值稱為最大剪應(yīng)力。 角。 4）主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力 （ 1）主剪應(yīng)力 定義：剪應(yīng)力達(dá)到極值的平面稱為主剪應(yīng)力平面，其面上作用的剪應(yīng)力為主剪應(yīng)力。 問題：既然 J J2 、 J3為應(yīng)力張量不變量，用主應(yīng)力應(yīng)如何表示呢？ （ 3）應(yīng)用舉例 設(shè)某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖 418a所示，試求其主應(yīng)力和主方向 圖 416 某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)、主應(yīng)力和主方向 解： 圖 418a所示的應(yīng)力張量為： 將各應(yīng)力分量代入式（ 48），得： J1 =15； J2 =60； J3 =54 代入式（ 49）得： 分解因式 解得： 4 2 32 6 1315ij????????????321 5 6 0 5 4 0? ? ?? ? ? ?2( 9 ) ( 6 6 ) 0? ? ?? ? ? ?1 9? ? 2 33? ?? 3 33? ?? 為求主方向，將應(yīng)力分量代入式（ 45），并與式（ 46）一起寫成： 將三個(gè)主應(yīng)力值代入前三式任意兩式，與第四式聯(lián)解，得到三個(gè)主方向的方向余弦為： 2 2 2( 4 ) 2 3 02 ( 6 ) 03 ( 5 ) 01l m nl m nl m nl m n???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?1 1 1 1 / 3 0 .5 7 7 3 5l m n? ? ? ?2 0 .2 1 1 3 2l ? 2 0 .7 8 8 6 7m ?? 20 .5 7 7 3 5n ?3 0 .7 8 8 6 7l ? 3 0 .2 1 1 3 2m ?? 3 0 .5 7 7 3 5n ?? 人們常根據(jù)三個(gè)主應(yīng)力的特點(diǎn)來區(qū)分各種應(yīng)力狀態(tài)。我們把 J J2 、 J3稱為應(yīng)力張量第一、第二和第三不變量。特征方程（ 47）的系數(shù) J J2 、J3是單值的，不隨坐標(biāo)而變?？梢宰C明，這三個(gè)主方向是彼此正交的。 12 2 222 2 23()2 ( )x y zx y y z z x x y y z zxx y z x y y z zx x y z y zx z x yJJJ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 將求得的主應(yīng)力代入式（ 45）中任意兩個(gè)方程式，與式（ 46）聯(lián)解，即可求得該主應(yīng)力的方向余弦。展開行列式并考慮應(yīng)力張量的對(duì)稱性，則得 : (47) ? ?? ?( ) 000x y x z xx y y z yx z y z zl m nl m nl m n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ??32 1 2 3 0J J J? ? ?? ? ? ?2 2 2 1l m n? ? ?式中： （ 48） （ 47）式稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程。 。設(shè)該斜面法線為 N， N的方向余弦為： ； ； x x y x z x x y x zij y x y y z y y zzx zy z z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ?????????? ??????c o s ( , )l N x? c o s ( , )m N y? c o s ( , )n N z?圖 415 斜切微分面上的應(yīng)力 由靜力平衡條件 、 、 可得： （ 41） 又有： （ 42） （ 43） （ 44） 0xF ??