【正文】 為 Q點(diǎn)的全應(yīng)力。 0limFF d FSA d A???問題 : ① 如何完整地描述變形體內(nèi)一點(diǎn)的受力情況也即應(yīng)力狀態(tài)呢？ ② 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是標(biāo)量？矢量？ 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不同于物理量的標(biāo)量和矢量，它需要用過該點(diǎn)的三個(gè)互相垂直截面上的三個(gè)應(yīng)力矢量才能完整地確定。這樣的物理量又稱為二階張量。因此點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是二階張量。 2）直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 圍繞直角坐標(biāo)系一承受任意力系作用物體的任意點(diǎn) Q切取無限小單元體，棱邊平行于三根坐標(biāo)軸。各微分面均有應(yīng)力矢量作用，這些矢量沿坐標(biāo)軸分解為三個(gè)分量，一是正應(yīng)力分量，兩個(gè)剪應(yīng)力分量?？梢姡稽c(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)需用九個(gè)應(yīng)力分量來描述。 圖 414 單元體的受力情況 a）物體內(nèi)的單元體 b）單元體上的應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力分量符號帶有兩個(gè)下角標(biāo)，第一個(gè)下角標(biāo)表示該應(yīng)力分量作用面的法線方向，第二個(gè)下角標(biāo)表示它的作用方向。兩個(gè)下角標(biāo)相同的是正應(yīng)力分量，例如 σxx 即表示 x面上平行于 x軸的正應(yīng)力分量，簡寫為 σx ；兩個(gè)下角標(biāo)不同的是剪應(yīng)力分量，例如 τxy 即表示 x面上平行于 y軸的剪應(yīng)力分量。 應(yīng)力分量正負(fù)號規(guī)定：單元體外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負(fù)面；對于正面，指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量為正，指向負(fù)向的為負(fù)；負(fù)面情況正好相反。椐此，正應(yīng)力以拉為正，以壓為負(fù)，而圖中各應(yīng)力分量均為正。 單元體處于靜力平衡狀態(tài)，故繞單元體各軸合力矩必為零。由此可導(dǎo)出剪應(yīng)力互等關(guān)系式： ； ； 因此，表示點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的九個(gè)應(yīng)力分量中只有六個(gè)是獨(dú)立的，也即點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是二階對稱張量 。 x y y x??? y z z y??? z x x z??? 應(yīng)力分量用符號 σ ij （ i、 j=x、 y、z）表示，使下角標(biāo) i、 j分別依次等于x、 y、 z，即可得到九個(gè)應(yīng)力分量，表示成矩陣形式為： x x y x z x x y x zij y x y y z y y zzx zy z z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ?????????? ??????3）主應(yīng)力和應(yīng)力張量不變量 （ 1） 主應(yīng)力 定義：切應(yīng)力為零的面為主平面，主平面上作用的應(yīng)力為主應(yīng)力。 定義： 存在著唯一的三個(gè)相互垂直的方向，與此三個(gè)方向相垂直的微分面上的剪應(yīng)力為零，只存在著正應(yīng)力。此正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，一般用 σ σ σ 3表示，而相應(yīng)的三個(gè)相互垂直的方向稱為主方向，與主方向一致的坐標(biāo)軸叫做主軸。 已知單元體的應(yīng)力狀態(tài)為： 與其斜切的任意斜面上的應(yīng)力分量亦可求出。設(shè)該斜面法線為 N， N的方向余弦為： ； ； x x y x z x x y x zij y x y y z y y zzx zy z z? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ???? ?????????? ??????c o s ( , )l N x? c o s ( , )m N y? c o s ( , )n N z?圖 415 斜切微分面上的應(yīng)力 由靜力平衡條件 、 、 可得： （ 41） 又有： （ 42） （ 43） （ 44） 0xF ?? 0yF ?? 0zF ??x x y x z xy x y y z yz x z y z zS l m nS l m nS l m n? ? ?? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ?2 2 2 2x y zS S S S? ? ?2 2 2 2 ( )x y zx y z x y y z z xS l S m S nl m n lm m n n l?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? 122 2S???? 假定圖 417中法線方向余弦為 l、 m、n的斜切微分面 ABC正好就是主平面，面上的剪應(yīng)力 τ=0 ，則由式（ 44）可得 σ=S 。于是主應(yīng)力 σ 在三個(gè)坐標(biāo)正方向上的投影 S x、 S y、 S z分別為 : 。 。 xSl?? ySm?? zSn??將式（ 41）代入上列諸式，經(jīng)整理后可得 : （ 45） 又有： (46) 式（ 45）存在非零解的條件是方程組的系數(shù)所組成的行列式等于零。展開行列式并考慮應(yīng)力張量的對稱性，則得 : (47) ? ?? ?( ) 000x y x z xx y y z yx z y z zl m nl m nl m n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ??32 1 2 3 0J J J? ? ?? ? ? ?2 2 2 1l m n? ? ?式中： （ 48） （ 47）式稱為應(yīng)力狀態(tài)特征方程?？梢宰C明，它存在三個(gè)實(shí)根，即主應(yīng)力 σ σ σ 3。 12 2 222 2 23()2 ( )x y zx y y z z x x y y z zxx y z x y y z zx x y z y zx z x yJJJ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 將求得的主應(yīng)力代入式（ 45）中任意兩個(gè)方程式，與式（ 46）聯(lián)解，即可求得該主應(yīng)力的方向余弦。這樣，便可最終求得三個(gè)主方向?？梢宰C明，這三個(gè)主方向是彼此正交的。 （ 2） 應(yīng)力張量不變量 一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，三個(gè)主應(yīng)力是唯一的。特征方程（ 47）的系數(shù) J J2 、J3是單值的，不隨坐標(biāo)而變?？梢?，盡管應(yīng)力張量各分量會隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)動而變化，但式（ 48）組合的函數(shù)值是不變的。我們把 J J2 、 J3稱為應(yīng)力張量第一、第二和第三不變量。判別兩個(gè)應(yīng)力張量是否相同時(shí)，可以通過三個(gè)應(yīng)力張量不變量是否對應(yīng)相等來確定。 問題：既然 J J2 、 J3為應(yīng)力張量不變量，用主應(yīng)力應(yīng)如何表示呢？ （ 3）應(yīng)用舉例 設(shè)某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)如圖 418a所示，試求其主應(yīng)力和主方向 圖 416 某點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)、主應(yīng)力和主方向 解： 圖 418a所示的應(yīng)力張量為： 將各應(yīng)力分量代入式（ 48），得： J1 =15； J2 =60； J3 =54 代入式（ 49）得： 分解因式 解得： 4 2 32 6 1315ij????????????321 5 6 0 5 4 0? ? ?? ? ? ?2( 9 ) ( 6 6 ) 0? ? ?? ? ? ?1 9? ? 2 33? ?? 3 33? ?? 為求主方向，將應(yīng)力分量代入式（ 45），并與式（ 46）一起寫成： 將三個(gè)主應(yīng)力值代入前三式任意兩式，與第四式聯(lián)解，得到三個(gè)主方向的方向余弦為： 2 2 2( 4 ) 2 3 02 ( 6 ) 03 ( 5 ) 01l m nl m nl m nl m n???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??