高一數(shù)學(xué)解三角形-文庫(kù)吧資料
2024-11-19 05:59本頁(yè)面
【正文】 (2)正弦定理 、 余弦定理往往在一道題目中交叉使用 ， 以達(dá)到 “ 知三求三 ” 的目的 ， 應(yīng)予以重視 ． 利用正 、 余弦定理解決實(shí)際測(cè)量問題 【 例 4】 (2020年高考海南 、 寧夏卷 )為了測(cè)量?jī)缮巾?M， N間的距離 ， 飛機(jī)沿水平方向在 A， B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量 ， A， B， M， N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi) (如示意圖 )． 飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和 A， B間的距離 ， 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案 ， 包括： ① 指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù) (用字母表示 ， 并在圖中標(biāo)出 )； ② 用文字和公式寫出計(jì)算 M， N間的距離的步驟 ． 思路點(diǎn)撥： 要根據(jù)實(shí)際 ， 弄清楚哪些量是可以測(cè)量的 ， 哪些量是不可測(cè)量的 ， 再進(jìn)行方案的設(shè)計(jì) ． 解：法一： ① 需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有 ： A 點(diǎn)到 M ， N 點(diǎn)的俯角 α 1 ， β 1 ； B 點(diǎn)到 M ， N 點(diǎn)的俯角 α 2 ， β 2 ； A ， B 間的距離 d ( 如圖所示 ) ． ② 第一步 ： 計(jì)算 AM .由正弦定理得 AM ＝d si n α 2si n ? α 1 ＋ α 2 ?； 第二步 ： 計(jì)算 AN .由正弦定理得 AN ＝d si n β 2si n ? β 2 － β 1 ?； 第三步 ： 計(jì)算 MN . 由余弦定理得 MN ＝ AM2＋ AN2－ 2 AM AN c os ? α 1 － β 1 ? . 法二： ① 需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有 ： A 點(diǎn)到 M ， N 點(diǎn)的俯角 α 1 ， β 1 ； B 點(diǎn)到 M ， N 點(diǎn)的俯角 α 2 ， β 2 ； A ， B 間的距離 d ( 如圖所示 ) ． ② 第一步 ： 計(jì)算 BM .由正弦定理得 BM ＝d s i n α 1s i n ? α 1 ＋ α 2 ?； 第二步 ： 計(jì)算 BN .由正弦定理得 BN ＝d s i n β 1s i n ? β 2 － β 1 ?； 第三步 ： 計(jì)算 MN . 由余弦定理得 MN ＝ BM2＋ BN2＋ 2 BM BN cos ? β 2 ＋ α 2 ? . 解此類問題 ， 首先根據(jù)題意合理畫出示意圖是解題關(guān)鍵；合理將條件歸結(jié)到某一三角形中處理問題是常見策略；合理運(yùn)用正 、 余弦定理并注意與平面幾何相關(guān)知識(shí)的結(jié)合 ． 【例題】 ( 2 010 年高考陜西卷 ) 如圖 ， A ， B 是海面上位于東西方向相距 5 ( 3 ＋ 3 ) 海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn) ． 現(xiàn)位于 A 點(diǎn)北偏東 45176。 ， ∴ B ＝ C ， 根據(jù)函數(shù)值及角的范圍求得 B ＝ C 所以 △ A BC 是等腰的鈍角三角形 ． 結(jié)合 ( 1 ) 中 A 的大小，形成結(jié)論 依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形形狀時(shí) ， 主要有如下兩條途徑： (1)利用正 、 余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系 ， 通過因式分解 、 配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系 ， 從而判斷三角形的形狀 ． (2)利用正 、 余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系 ， 通過三角恒等變形 ，得出內(nèi)角的關(guān)系 ， 從而判斷三角形的形狀 ． 此時(shí)要注意應(yīng)用 A＋ B＋ C＝ π這個(gè)結(jié)論 ． 正、余弦定理與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用 【例 3 】 ( 2020 年高考浙江卷 ) 在 △ A BC 中 ， 角 A ， B ， C 所對(duì)的邊分別為 a ， b ， c ， 且滿足 c os A2＝2 55， AB ― → . 根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想余弦定理，求出 A ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 ， a2＝ b2＋ c2＋ bc ， ∴ si n2A ＝ si n2B ＋ si n2C ＋ si n B si n C ， 為與條件 si n B ＋ si n C ＝ 1 建立聯(lián)系，化邊為角 又 si n B ＋ si n C ＝ 1 ， 所以 si n B ＝ si n C ＝12， 又 0176。 解析： ∵ s i n C ＝ 2 3 s i n B ， ∴ 由正弦定理得 c ＝ 2 3 b ， 又由余弦定理得 cos A ＝b2＋ c2－ a22 bc＝－ 3 bc ＋ c22 bc＝－ 3 b ＋ c2 b ＝－ 3 b ＋ 2 3 b2 b＝32. ∴ 在 △ A BC 中， A ＝ 30176。 ( C ) 1 20 176。 ， 即 c2－ 5 c － 24 ＝ 0 ， 解得 c ＝ 8 ( c ＝－ 3 舍去 ) ． (1)三角形有三角三邊六元素 ， 只要知道三元素 (至少有一邊 )就可求出其余元素 ． (2)已知兩邊和一邊的對(duì)角解三角形時(shí) ， 可有兩解 、 一解 、 無解三種情況 ， 應(yīng)根據(jù)已知條件判斷解的情況 ， 主要是根據(jù)圖形或由 “ 大邊對(duì)大角 ” 作出判斷 ． (3)應(yīng)熟練掌握余弦定理及其推論 ． 解三角形時(shí) ， 有時(shí)可用正弦定理 ， 也可用余弦定理 ， 應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便 ． 變式探究 11 ： ( 20 10 年高考天津卷 ) 在 △ ABC 中 ， 內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別是 a ， b ， c .若 a 2 － b 2 ＝ 3 bc ， s i n C ＝ 2 3 s i n B ， 則 A 等于 ( ) ( A ) 30176。 ＋ 45176。， ∴ a ＝ 2si n 105176。 ， 再由正弦定理可得asi n 105176。 . 從而 A ＝ 1 80176。＝1si n C， ∴ si n C ＝12. 由于 b c ， ∴ B
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