圓錐曲線與方程知識點總結-文庫吧資料
2024-11-18 23:44本頁面
【正文】 軸長是短軸長的 3倍，并且橢圓經(jīng)過點 A（ 3 變式訓練 1：根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程 (1) 和橢圓 1x2y2 共準線，且離心率為． 22420 42 5和，過 P33 (2) 已知 P 點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點 P到兩焦點的距離分別為作長軸的垂線恰好過橢圓的一個焦點 ． 例 2. 點 P(3, 4)是橢圓 x2a 2 11 故以 PF2為直徑的圓必和以長軸為直徑的圓相運用橢圓 的定義結合三角形中位線定理，使題目得證。1．掌握橢圓的定義、標準方程、簡單的幾何性質、了解橢圓的參數(shù)方程． 2．掌握雙曲線的定義、標準方程、簡單的幾何性質． 3．掌握拋物線的定義、標準方程、簡單的幾何性質． 的初步應用． 3．有關直線與圓錐曲線位置關系問題，是高考的重熱點問題，這類問題常涉及圓錐曲線的性質和直線的基本知識以及線段中點、弦長等，分析這類問題時，往往要利用數(shù)形結合思想和 “設而不求 ”的方法、對稱的方法及韋達定理，多以解答題的形式出現(xiàn)． 4．求與圓錐曲線有關的參數(shù)或參數(shù)范圍問題，是高考命題的一大熱點，這類問題綜合性較大，運算技巧要求較高；尤其是與平面向量、平面幾何、函數(shù)、不等式的綜合，特別近年出現(xiàn)的解析幾何與平面向量結合的問題，是?？汲Ｐ碌脑囶}，將是今后高考命題的一個趨勢． 第 1課時 橢圓 1．橢 圓的兩種定義 (1) 平面 ， 之間的距離叫做焦距． 注： ① 當 2a＝ |F1F2|時， P． ② 當 2a＜ |F1F2|時， P 點的軌跡不存在． (2) 橢圓的第二定義：到的距離的距離之比是常數(shù) e，且 定點 F是橢圓的，定直線 的點的軌跡叫橢圓． 常數(shù) e是 ． 2．橢圓的標準方程 (1) 焦點在 x軸上，中心在原點的橢圓標準方程是： y2a 圓錐曲線是高中數(shù)學的一個重要 0，且 (2) 焦點在 y軸上，中心在原點的橢圓標 準方程是 其中 a， b滿足： ． ， 3．橢圓的幾何性質 (對 x2a2 進行討論 ) (1) ≤ x ≤y ≤(2) 對稱性：對稱軸方 ；對稱中心為 (3) 焦，長半軸短半軸長準線方程： ． e越接近 1， e (4) 離心率： ， ，； 越接近 0，橢圓越接近于 ． (5) 焦半徑公式：設 F1,F2 分別為橢圓的左、右焦點， P(x0,y0)是橢圓上一點，則 ． ∵ 點 P（ 3， 4）在橢圓上， ∴ (6) 橢圓的參數(shù)． 4．焦點三角形應注意以下關系： (1) 定義： r1＋ r2＝ 2a (2) 余弦定理： r12＋ r22－ ＝ (2c)2 (3) 面積： ＝ ＝ 2c| y0 |(其中 P(x0,y0)為橢圓上一點， |PF1|＝ r1， |PF2|＝ r2， ∠ F1PF2＝ 例 1. 求適合下列條件的橢圓的標準方程： （ 1）兩個焦點的坐標分別是（－ 4， 0），（ 4， 0），橢圓上一點 P 到兩焦點距離之和等于 10； （ 2）兩個焦點的坐標分別是（ 0，－ 2）、（ 0， 2），并且橢圓經(jīng)過點 1 2 12 解得 a2＝ 45或 a2＝ 5 又 a＞ c， ∴ a2＝ 5舍去 . 故所求橢圓的方程為 x2y2 法二：利用 △ PF1F2是直角三角形，求得 c＝ 5(以下同方法一 ) （ 2）由焦半徑公式： | PF1 |＝ a＋ ex＝ 3＋ | PF2 |＝ a－ ex＝ 3－ 12 535535 3＝ 4 3＝ 2 12 ∴ ＝ | PF1 | 2 例 3. 如圖，橢圓的中心在原點，其左焦點 F，過 F1與拋物線 的焦點重合 1的直線 y2b 2 ＝ 1 (ab0) 上的一點， F F2是它的兩焦點，若 PF1⊥ PF2求： l與橢圓交于 A、 B兩點，與拋物線交于 C、 D兩點．當直線 l與 x（ 1）求橢圓的方程； （ 2）求過點 O、 F左準線相切的圓的方程； 1，并且與橢圓的 CDAB (1) 橢圓的方程； (2) △ PF1F2的面積． 解：（ 1）法一：令 F1(－ C， 0)， F2(C， 0) ∵ PF1⊥ PF2， ∴ ＝－ 1即 x2y2 ∴ 橢圓的方程為 2 44 ，解得 c＝ （ 3）求 的最大值和最小值． 解：（ 1）由拋物線方程，得焦點 ． x2y2 設橢圓的方程： ． 解方程組 得 C（ 1， 2）， D（ 1， 2）． 由于拋物線、橢圓都關于 x軸對稱， ∴ 19 所求圓的方 程為 分 24 （ 3） 由點 ① 若 AB 垂直于 x軸，則 22 ， 22 |FC|CD|1|， ∴ A(1, ． …………2 分 22|F1A||AB| 11222 又 ， 22a2b 11 ，解得 并推得 ． 22 ， 22 ∴ 分 22 ② 若 AB 與 x軸不垂直，設直線 AB 的斜率為 k，則直線 AB 的方程為 因此， x22 故橢圓的方程為 ． …………4 分 2 （ 2 ） ， 由 2 得 ， 方程有兩個不等的實數(shù)根． 設 A(x1,y1)， B(x2,y2). 圓過點 O、 F1， 1 圓心 M在直線 上． 2 設 分 22 1 ,t),則圓半徑，由于圓與橢圓的左準線相切， 2 2 2 2 ∴ 123. 2 3 由 ,解得 2 3 2 1 整理， 得 ① 2 因為直線 l與橢圓有兩個不同的
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