變量間的相關(guān)關(guān)系231變量之間的相關(guān)關(guān)系232兩個變量的線性相關(guān)-文庫吧資料
2025-08-07 18:04本頁面
【正文】 ( 1 ) 定義 ： 如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近 ， 我們稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系 ， 這條直線叫做回歸直線 ． ( 2 ) 回歸直線的特征 如果能夠求出這條回歸直線的方程 ， 那么我們就可以比較清楚地了解對應(yīng)兩個變量之間的相關(guān)性 ， 這條直線可以作為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表 ． 首頁 末頁 上一頁 下一頁 要點突破 典例精析 演練廣場 瞻前顧后 2 ． 用最小二乘法求回歸方程 記回歸方程為 y^＝ b^x ＋ a^， b^叫做回歸方程的斜 率 ， 利用最小二乘法可以求得 a^、 b^的值 ． ????? b^＝?i ＝ 1n ? xi－ x ?? yi－ y ??i ＝ 1n ? xi－ x ?2＝?i ＝ 1nxiyi－ n x y?i ＝ 1nxi2－ n x 2，a^＝ y － b^x . 其中 x ＝1n?i ＝ 1nxi， y ＝1n?i ＝ 1nyi， 對回歸方程的推導(dǎo) ， 注意以下兩點 ： ( 1 ) 回歸直線是數(shù)據(jù)點最貼近的直線 ， 反映貼近程度的數(shù)據(jù)是 ： 偏差的平方和 ， 即 Q ＝ ?i ＝ 1n ( yi－ a － bxi)2， 這樣 ， 回歸直線就是所有直線中 Q 取最小值的那一條 ， 這種 使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法 ． ( 2 ) 利用最小二乘法求 a 、 b 時 ， 是將 Q 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a 或 b 的二次函數(shù) ， 利用二次函數(shù)知識求得的 ． 首頁 末頁 上一頁 下一頁 要點突破 典例精析 演練廣場 瞻前顧后 3 ． 回歸方程的求法 根據(jù)最小二乘法的思想和公式 ， 通過計算就可以方便地求出回歸方程 ． 第一步 ， 先求 x ， y ， x 2 ， x y . 第二步 ， 求 ∑ni ＝ 1x i y i . 第三步 ， 求 ∑ni ＝ 1x i2. 第四步 ， 代入公式求 b^＝∑ni ＝ 1x i y i－ n x y∑ni ＝ 1x i2－ n x 2. 第五步 ， 代入公式求 a^＝ y － b^x ， 得回歸方程 y^＝ b^x ＋ a^. 首頁 末頁 上一頁 下一頁 要點突破 典例精析 演練廣場 瞻前顧后 首頁 末頁 上一頁 下一頁 要點突破 典例精析 演練廣場 瞻前顧后 相關(guān)關(guān)系的判斷 【例 1 】 某公司利潤 y ( 單位 ： 千萬元 ) 與銷售總額 x ( 單位 ： 千萬元 ) 之間有如表對應(yīng)數(shù)據(jù) ： x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1 . 3 1 . 8 2 2 . 6 2 . 7 3 . 3 ( 1 ) 畫出散點圖 ； ( 2 ) 判斷 y 與 x 是否具有線性相關(guān)關(guān)系 ． 思路點撥： 涉及兩個變量：利潤與銷售總額，以銷售總額為自變量，考察利潤的變化趨勢，從而做出判斷 ． 解： ( 1 ) 散點圖如下 ， ( 2 ) 由圖知 ， 所有數(shù)據(jù)點接近直線排列 ， 因此 ， 認為 y 與 x 有線性相關(guān)關(guān)系 ． 首頁 末頁 上一頁 下一頁 要點突破 典例精析 演練廣場 瞻前顧后 判斷變量間有無相關(guān)關(guān)系，一種常用的簡便可行的方法就是繪制散點圖，如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量是線性相關(guān)的 ． 變式訓(xùn)練 11 ： 對于 x 與 y 有如表觀測數(shù)據(jù) ： x 18 25 30 39 41 42 49 52 y 3 5 6 7 8 8 9 10 ( 1 ) 作出散點圖 ； ( 2 ) 判斷 y 與 x 是否具有線性相關(guān)關(guān)系 ． 解： ( 1 ) 作出散點圖 ， 如圖所示 ． ( 2 ) 由圖可知 ， 所有數(shù)據(jù)點接近直線排列 ， 因此 ， 認為 y 與 x 有線性相關(guān)關(guān)系 ． 首頁 末頁 上一頁 下一頁 要點突破 典例精析 演練廣場 瞻前顧后 求回歸直線方程 【例 2 】 隨著我國經(jīng)濟的快速發(fā)展 ， 城鄉(xiāng)居民的生活水平不斷提高 ， 為研究某市家庭平均收入與月平均生活支出的關(guān)系 ， 該市統(tǒng)計部門隨機調(diào)查 10 個家庭 ， 得數(shù)據(jù)如表 ： 家庭編號 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i ( 收入 ) / 千元 0 . 8 1 . 1 1 . 3 1 . 5 1 . 5 1 . 8 2 . 0 2 . 2 2 .4 2 . 8 y i ( 支出 ) / 千元 0 . 7 1 . 0 1 . 2 1 . 0 1 . 3 1 . 5 1 . 3 1 . 7 2 . 0 2 . 5 ( 1 ) 判斷家庭平均收入與月平均生活支出是否相關(guān) ； ( 2 ) 若二者線性相關(guān) ， 求回歸直線方程 ． 思路點撥： 利用散點圖觀察平均收入 x 和月平均生活支出 y 是否線性相關(guān)，若呈線性相關(guān)關(guān)系，可利用公式來求回歸系數(shù)，然后獲得回歸直線方程 ． 首頁 末頁 上一頁 下一頁 要點突破 典例精析 演練廣場 瞻前顧后 解： ( 1 ) 作出散點圖 ： 觀察發(fā)現(xiàn)各個數(shù)據(jù)對應(yīng)的點都在一條直線附近 ， 所以二者有線性相關(guān)關(guān)系 ． ( 2 ) x ＝110( 0 . 8 ＋ 1 . 1 ＋ 1 . 3 ＋ 1 . 5 ＋ 1 . 5 ＋ 1 . 8 ＋ 2 . 0 ＋ 2 . 2 ＋ 2 . 4 ＋ 2 . 8 ) ＝ 1 . 7 4 ， y ＝110( 0 . 7 ＋ 1 . 0 ＋ 1 . 2 ＋ 1 . 0 ＋ 1 . 3 ＋ 1 . 5 ＋ 1 . 3 ＋ 1 . 7 ＋ 2 . 0 ＋ 2 . 5 ) ＝ 1 . 4 2 ， b^＝?i ＝ 1nxiyi－ n x y?i ＝ 1nxi2－ n x 2≈ 0 . 8 1 3 6 ， a^＝ 1
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