【正文】 元函數(shù)無約束優(yōu)化問題 : mi n ()fx 21 xxx ?? 其中等式（ 3）、（ 4）、（ 5）的右邊可選用（ 1）或（ 2）的等式右邊 . 函數(shù) fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部最優(yōu)解 . 常用格式如下： （ 1） x= fminbnd (fun,x1,x2) （ 2） x= fminbnd (fun,x1,x2 ， options) （ 3） [x， fval]= fminbnd（ …） （ 4） [x， fval， exitflag]= fminbnd（ …） （ 5） [x， fval， exitflag， output]= fminbnd（ …） 運行結果： xm in = 3 .9 2 70 y mi n = 0 . 027 9 xm ax = 0 .7 854 ym ax = 0 . 644 8 MATLAB(wliti1) 例 1 求 f = 2 e si nx x? 在 0 x 8 中的最小值與最大值 . 主程序為 : f=39。,value1,39。,value2,...) 創(chuàng)建一個名稱為選項的優(yōu)化選項參數(shù) ,其中指定的參數(shù)具有指定值 ,所有未指定的參數(shù)取默認值 . (3) options= optimset(oldops, 39。,value1,39。) 創(chuàng)建一個含有所有參數(shù)名 ,并與優(yōu)化函數(shù) optimfun相關的默認值的選項結構 . （ 2） options=optimset(39。, TolFun參數(shù)設為 1e8. 控制參數(shù)選項可以通過函數(shù) optimset創(chuàng)建或修改 .命令的格式如下： (1) options=optimset(39。,1e8) 該語句創(chuàng)建一個稱為選擇的優(yōu)化選項結構 ,其中顯示參數(shù)設為 39。, 39。, 39。. (2) MaxFunEvals: 允許進行函數(shù)評價的最大次數(shù) ,取值為正整數(shù) . 例： opts=optimset(39。時 ,顯示最終結果 .默認值為 39。取值為39。iter39。時 ,不顯示輸出 。 否則 , x 不是最終解 , 它只是迭代停 止時優(yōu)化過程的值 所有優(yōu)化函數(shù) fval 解 x 處的目標函數(shù)值 linpro g,qu adpr og ,f goal a ttain , fminco n ,fm inim ax,l sqcu r vefit, lsqnon lin , fmi nbnd exitfl ag 描述退出條件 : ? ex i tf la g 0, 表 示 目標函數(shù)收斂于解 x處 ? ex i tf la g =0, 表 示 已達到函數(shù)評價或迭代的最大次數(shù) ? ex i tf la g 0 , 表 示 目標函 數(shù)不收斂 output 包含優(yōu)化結果信息的輸出結構 . ? It e ra ti on s : 迭代次數(shù) ? Al g or it hm : 所采用的算法 ? Fu n cC ou nt : 函數(shù)評價次數(shù) 所有優(yōu)化函數(shù) 4．控制參數(shù)選項的設置 (3) MaxIter: 允許進行迭代的最大次數(shù) ,取值為正整數(shù) . 選項中常用的幾個參數(shù)的名稱、含義、取值如下 : (1) 陳列 : 顯示水平 .取值為 39。 MATLAB優(yōu)化工具箱簡介 類 型 模 型 基本函數(shù)名 一元函數(shù)極小 m in F （ x ） . x1 x x 2 x=fmin bnd ( ‘ F ’ ,x1,x2) 無約束極小 m in F ( X ) X=fminu nc ( ‘ F ’ ,X0) X=fmins earch ( ‘ F ’ ,X0) 線性規(guī)劃 m in Xc T . AX ≤ b X=l inprog (c,A,b) 二次規(guī)劃 m in 21xTHx + cTx . Ax ≤ b X=q uad p rog (H,c, A,b) 約束極小 （非線性規(guī)劃） m in F ( X ) . G ( X ) ≤ 0 X= fmincon ( ‘ FG ’ ,X0) 達到目標問題 m in r . F ( x ) wr ≤ goal X= fgoalattain ( ‘ F ’ ,x, goal,w) 極小極大問題 m in m ax { F i ( x )} x { Fi( x )} . G ( x ) ≤ 0 X= f min i max( ‘ FG ’ ,x0) 使用優(yōu)化函數(shù)或優(yōu)化工具箱中其他優(yōu)化函數(shù)時 , 輸入變量見下表 : 變量 描 述 調用函數(shù) f 線性規(guī)劃的目標函數(shù) f X 或二次規(guī)劃的目標函數(shù) XT H X + f X 中線性項的系數(shù)向量 linprog,quadprog fun 非線性優(yōu)化的目標函數(shù) .f u n 必須為行命令對象或 M 文件、嵌入函數(shù)、或 MEX 文件的名稱 fminbnd,fminsearch,fminunc, fmincon ,lsqcurvefit,lsqnonli ,fgoalattain ,fminimax H 二次規(guī)劃的目標函數(shù) XT H X + f X 中二次項的系數(shù)矩陣 quadprog A,b A 矩陣和 b 向量分別為線性不等式約束：bAX ?中的系數(shù)矩陣和右端向量 linprog,quadprog ,fgoalattain , fmincon , fminimax Aeq,b eq Aeq 矩陣和 beq 向量分別為 線性等式約束： be qXA e q ??中的系數(shù)矩陣和右端向量 linprog,quadprog ,fgoalattain , fmincon , fminimax vlb,vub X 的下限和上限向量： vlb ≤ X ≤ vub linprog,quadp rog ,fgoalattain , fmincon ,fminimax,lsqcurvefit, lsqnonlin X0 迭代初始點坐標 除fminbnd 外所有優(yōu)化函數(shù) x1,x2 函數(shù)最小化的區(qū)間 fminbnd options 優(yōu)化選項參數(shù)結構，定義用于優(yōu)化函數(shù)的參數(shù) 所有優(yōu)化函數(shù) : 變量 描 述 調用函數(shù) x 由優(yōu)化函數(shù)求得的值 . 若 e xi t fl ag 0, 則 x為解 。 練習 2 1. 階段 k：每投資一個項目作為一個階段； 2. 狀態(tài)變量 xk：投資第 k個項目前的資金數(shù)； 3. 決策變量 dk：第 k個項目的投資； 4. 決策允許集合： 0≤ dk≤ xk 5. 狀態(tài)轉移方程： xk+1=xkdk 6. 階段指標： vk(xk ,dk)見表中所示； 7. 遞推方程：fk(xk)=max{vk(xk ,dk)+fk+1(xk+1)} 8. 終端條件： f4(x4)=0 k=4， f4(x4)=0 k=3， 0≤d3≤x3， x4=x3d3 k=2， 0≤d2≤x2， x3=x2d2 k=1， 0≤d1≤x1， x2=x1d1 無約束最優(yōu)化問題 標準形式： ? ?Rm i n nX fX? 其中 1: R Rnf ? ? ?Rm a xnX fX? ? ? ?Rm i n [ ]nX fX? ?例 ： 選址問題 某市燃氣公司計劃要建一個煤氣供應站，該站要向城市中有固定位置的 m 個用戶供貨 .對于選定的坐標系而言，已知第 i 個用戶的位置為 如果只考慮直線距離，如何確定這個煤氣站的位置，才能使總的運輸距離最短 ？ 解：設煤氣站的位置為 則第 i 個用戶到 該站的直線距離為 故 m 個用戶到該站的總距離為 故選址問題可以歸結為求變量 使得 無約束優(yōu)化問題的解法 可微，則利用 求其駐點，然后利用充分條件判別這些駐點是否 是極值點。 END lINGO程序 Feasible solution found. Total solver iterations: 0 Variable Value F( 1) F( 2) F( 3) F( 4) F( 5) F( 6) F( 7) D( 1, 2) D( 1, 3) D( 2, 4) D( 2, 5) D( 2, 6) D( 3, 4) D( 3, 5) D( 3, 6) D( 4, 7) D( 5, 7) D( 6, 7) Row Slack or Surplus 1 2 3 4 5 6 7 運行結果 練習 1： A B1 B2 C1 C2 C3 C4 D1 D2 D3 E1 E2 E3