【正文】 輸出功 率 P正比于 W，且效率大體相同。由于賽程較長(zhǎng)，可以略去前后兩段而 只考慮中間一段 ，為此，提出以下建模假設(shè)。 1971年， 19641970年期間兩次 奧運(yùn)會(huì)和兩次世錦賽成績(jī)，發(fā)現(xiàn) 86公斤級(jí)比 73公斤級(jí)的成績(jī)大約好 5%，產(chǎn)生這一差異的 原因何在呢？ 我們將以 L表示輕量級(jí)、以 H表示重量級(jí)，用 S表示賽艇的浸水面積， v表示賽艇速度， W表示選手體重， P表示選手的輸出功率， I表示賽程，T表示比賽成績(jī)（時(shí)間）。 167。其次，在為尋找無(wú)量綱量而求解齊次線性方程組時(shí)，基向量組有無(wú)窮多種取法，如何選取也很重要，此時(shí)需依靠經(jīng)驗(yàn)，并非任取一組基都能得出有用的結(jié)果。 θ l mg 考察 ， 的量綱為 MaLb+dTc2b若 無(wú)量綱，則有 edcba θltgmπ ? ππ??????????0002bcdba量綱分析法雖然簡(jiǎn)單，但使用時(shí)在技巧方面的要求較高，稍一疏忽就會(huì)導(dǎo)出荒謬的結(jié)果或根本得不出任何有用的結(jié)果?，F(xiàn)設(shè)涉及到的基本量綱有 n個(gè) ,它們 為 y1,…, 該 xi的乘冪 ,設(shè)此乘冪的量綱為 令 易見(jiàn) dg1是 k維歐氏空間 到 n維歐氏空間的一個(gè)變換，這里的 g1為 g的逆變換。由于公式量綱齊次當(dāng)且僅當(dāng)它可用無(wú)量綱的量表示，故方程當(dāng)且僅當(dāng)可寫(xiě) 成 f(π1， …, πm)=0時(shí)才是量綱齊次的，定理證畢。兩個(gè)基向量對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱乘積分別為： 2122221 mmπ,FrGmπ ??而萬(wàn)有引力定律則可寫(xiě) 成 f(π1,π2)=0，其對(duì)應(yīng)的顯函數(shù)為：π1=g(π2)， 即 )(22221mmhrmF ?萬(wàn)有引力定律 定理 （ Backinghamπ定理）方程當(dāng)且僅當(dāng)可以表 示為 f（ π1， π2…） =0時(shí) 才是量綱齊次的，其中 f是某 一函數(shù)， π1， π2… 為問(wèn)題所包含的變量與常數(shù)的無(wú)量 綱乘積。 現(xiàn)考察這些量的無(wú)量綱乘積 的量綱為 由于 是無(wú)量綱的量，故應(yīng)有： 221rmGmF ?edcba FrmmGπ 21?π e)2 ( aeb3aaecb TLM ?????????????????????000eaed3aaecbπ??????????????000eaed3aaecb此方程組中存在兩個(gè)自由變量，其解構(gòu)成一個(gè)二維線性空間。 例 3 在萬(wàn)有引力公式中，引力常數(shù) G是有量綱的，根據(jù)量綱齊次性， G的量綱為 M1L3T2，其實(shí)，在一量綱齊次的公式中除以其任何一項(xiàng)，即可使其任何一項(xiàng)化為無(wú)量綱，因此任一公式均可改寫(xiě)成其相關(guān)量的無(wú)量綱常數(shù)或無(wú)量綱變量的函數(shù)。 量綱分析法建模 量綱分析的原理 是：當(dāng)度量量綱的基本單位改變時(shí)，公式本身并不改變，例如，無(wú)論長(zhǎng)度取什么單位，矩形的面積總等于長(zhǎng)乘寬，即公式 S=ab并不改變。其他物理量的量綱可以用這些基本量綱來(lái)表示，如速度的量綱為 LT1，加速度的量綱為 LT2，力的量綱為 MLT2，功的量綱為 ML2T2等。將已知條件代入，得方程組： ????????????3 .3 51 471 4784841 85 .3 31 84 9( 18 4 9)12122tbatbaba從后兩式中消 去 t1，解得 a=, b=,故t= n2+，令 n=1428，得到 t=（分）由于一盒錄像帶實(shí)際可錄像時(shí)間為 ，故尚可錄像時(shí)間 為 ，已不能再錄下一個(gè) 60分鐘的節(jié)目了。此外，計(jì)數(shù)器的讀 數(shù) n與轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)有關(guān)，從而與轉(zhuǎn)過(guò)的角 度 θ成正比。首先，錄像 帶的厚 度 W是常量，它被繞在一個(gè)半徑 為 r的園盤(pán)上，見(jiàn)圖。若錄像 機(jī)目前的計(jì)數(shù)為 1428，問(wèn)是否還能錄下一個(gè) 60分鐘的節(jié)目？ r θ R l 由 ω v t)rπ ( R 22 ??得到 212rπvtR ?????? ?? ?又 因和 得 θRl ΔΔ ? tvl ΔΔ ?tRvθ ΔΔ ?積分得到 ?? ??? tθ dt)rπω v tv(d θ 0 2120?????? ????? rrπω v tω2 πrπω v tω2 πθ t2 212021)()(即 從而有 ?????? ???? rrπω v tωπθn 212 )(12我們希望建立一個(gè)錄像帶已錄像時(shí) 間 t與計(jì)數(shù)器計(jì) 數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系。 參數(shù)識(shí)別 例 3 錄像帶還能錄多長(zhǎng)時(shí)間 錄像機(jī)上有一個(gè)四位計(jì)數(shù)器，一盤(pán) 180分鐘 的錄像帶在開(kāi)始計(jì)數(shù)時(shí)為 0000，到結(jié)束時(shí)計(jì) 數(shù)為 1849，實(shí)際走時(shí)為 185分 20秒?？傊?，參數(shù)的選取應(yīng)使其后的識(shí)別盡可能簡(jiǎn)便，讓我們來(lái)考察一個(gè)實(shí)例。 在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)常常需要確定一些參數(shù)，選什么量為參數(shù)，怎樣選取參數(shù)，其中也有一些技巧，參數(shù)選得不好，會(huì)使問(wèn)題變得復(fù)雜難解，給自己增添許多不必要的麻煩。本課不準(zhǔn)備詳細(xì)介紹這些細(xì)致的插值方法，只是提請(qǐng)讀者注意，在建立經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜁r(shí)，插值法也是可以使用的數(shù)學(xué)工具之一。當(dāng)實(shí)際問(wèn)題要求擬合曲線必須 經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn) 時(shí)，我們可以應(yīng)用數(shù)值逼近中的 插值法 。 例 2 體重與身高的 關(guān)系 將表中的數(shù)畫(huà) 到 hw平面上，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)分布很接近某一指數(shù)曲線。 (8) (7) (7) (8) 175 110 (2) (2) (2) (2) 170 90 (1) (1) (1) (1) (6) (5) (3) (6) 145 75 (5) (6) (5) (5) 135 (3) (3) (3) (3) 125 60 (4) (4) (6) (4) 56 (7) (8) (8) (7) 105 52 Vorobyev O’ Carroll 經(jīng)典公式 Austin 抓舉成績(jī) (公斤 ) 體重 (公斤 ) 我們希望建立一個(gè) 體重 與 身高 之間的關(guān)系式，不難看出兩者之間的關(guān)系不易通過(guò)機(jī)理的分析得出，不妨可以采取 統(tǒng)計(jì)方法 ，用數(shù)據(jù)來(lái)擬合出與實(shí)際情況較為相符的經(jīng)驗(yàn)公式。為了使公式具有可比性，需要對(duì)公式稍作處理。應(yīng)用與模型 4類似的方法，得出了按 的大小比較成績(jī)優(yōu)劣的建議。 313 5 )( ???? BLL模型 5（ Vorobyev公式） 這是一個(gè)前蘇聯(lián)使用的公式。 故有： 3135)( ?? BkL根據(jù)三條假設(shè)可 得 L=k(BB0)β,k和 β為兩個(gè)常數(shù)， 323 ??abβ此外，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，他 得出 B0≈35公斤， 31?βk越大成績(jī)?cè)胶谩?1967年， O’ Carroll基于動(dòng)物學(xué)和統(tǒng)計(jì)分析得出了一個(gè)現(xiàn)在被廣泛使用的公式。為建立數(shù)學(xué)模型，先提出如下一些假設(shè)： (1)舉重成績(jī)正比于選手肌肉的平均橫截 面積 A，即 L=k1A (2)A正比于身高 L的平方，即 A=k2L2 (3)體重正比于身高 L的三次方， 即 B=k3L3 根據(jù)上述假設(shè)，可得 3232321 )( KBkBkkL ??顯然， K越大則成績(jī)?cè)胶?，故可? 來(lái)比較選手比賽成績(jī)的優(yōu)劣。幾十年前英國(guó)和愛(ài)爾蘭采用的比較舉重成績(jī)優(yōu)劣 的Austin公式 ： L′=L/B3/4就是用這一方法求得的。 模型 2（冪函