第1章函數(shù)極限與連續(xù)-文庫(kù)吧資料
2024-08-08 13:22本頁(yè)面
【正文】 23。例10 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且函數(shù)的值域也是，證明：至少存在一點(diǎn) 使，其中.證明 設(shè)，則在上連續(xù)，若（或），則 （或），令（或）即可。例9 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對(duì)實(shí)數(shù)，有關(guān)系式 且在連續(xù)，試證：在內(nèi)處處連續(xù)。由因式分解(，為待定常數(shù))，比較兩邊系數(shù)，再由， ， 或 例8 求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出其類型。 （當(dāng)或）例2 設(shè)，證明收斂，并求其極限。先介紹鄰域的概念：開(kāi)區(qū)間稱為點(diǎn)的鄰域；開(kāi)區(qū)間稱為點(diǎn)的去心鄰域（）. ，無(wú)限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為時(shí)函數(shù)的極限，記作或（）．由極限的定義可知，.不存在，但可以記為.，無(wú)限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為在點(diǎn)的左極限，無(wú)限趨近于某一確定的常數(shù)，則稱為在點(diǎn)的右極限，記作.根據(jù)定義可得：. 設(shè) 討論是否存在？解 由圖12可以看出：.顯然，所以不存在. 極限的性質(zhì)性質(zhì)1（唯一性） 如果存在，那么這極限值唯一.性質(zhì)2（局部有界性） 如果，則在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界.性質(zhì)3（局部保號(hào)性） 如果，且（或），則在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)（或）.性質(zhì)4（夾逼定理） 若在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，有，且，；則.注意：對(duì)于時(shí)定理仍然成立. 無(wú)窮小與無(wú)窮大 在某變化過(guò)程中以零為極限的量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小.例如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)就是無(wú)窮小量.注意：（1）無(wú)窮小不是很小的數(shù)，而是以零為極限的函數(shù)；（2）數(shù)0是無(wú)窮??；（3）若一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮小，必須同時(shí)指出自變量的變化過(guò)程. 在某變化過(guò)程中絕對(duì)值無(wú)限增大的量稱為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大.注意：（1）無(wú)窮大不是很大的數(shù)，它是一個(gè)絕對(duì)值無(wú)限增大的函數(shù)；（2）若一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮大，必須同時(shí)指出自變量的變化過(guò)程.當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小，（數(shù)0除外），是無(wú)窮大，. 如果，且，則；反之，若，則.注意：對(duì)于時(shí)定理仍然成立. 求下列函數(shù)的極限：（1）；（2）.解（1）因?yàn)?，所?（2）.小結(jié)與思考：本節(jié)講述了各種趨勢(shì)下的極限的定義，掌握它們的敘述方法.思考：作業(yè)：作業(yè)見(jiàn)教學(xué)日歷 極限的運(yùn)算利用極限的定義只能計(jì)算一些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限，本節(jié)介紹極限的四則運(yùn)算法則、兩個(gè)重要極限、無(wú)窮小比較，以期求較復(fù)雜函數(shù)的極限. 在下面的討論中，記號(hào)“”表示定理對(duì)及都是成立的． 極限四則運(yùn)算法則 在自變量的統(tǒng)一變化過(guò)程中，若. 則 (1) ； (2) ；(3) 若，則 .推論1 （為常數(shù)）.推論2 . 求. 解： 求. 解 求 .解 同理可得：. 兩個(gè)重要極限在求極限過(guò)程中，利用兩個(gè)重要極限公式來(lái)求，相當(dāng)方便.1. 第一個(gè)重要極限 經(jīng)常應(yīng)用它的變量代換形式，即：若，則. 求.解 . 求.解 求解 2. 第二個(gè)重要極限 觀察表12101000100000100000
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