20xx屆高三數學一輪復習教案(圓的方程)-文庫吧資料
2025-07-31 23:27本頁面
【正文】 中點的軌跡方程.例23 如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點，點在直線上運動，過做圓的切線，切點為，求垂心的軌跡．分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設，找的關系非常難．由于點隨，點運動而運動，可考慮，三點坐標之間的關系．解：設，連結，則，是切線，所以，所以四邊形是菱形．所以，得又滿足，所以即是所求軌跡方程．說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質及菱形的相關知識．采取代入法求軌跡方程．做題時應注意分析圖形的幾何性質，求軌跡時應注意分析與動點相關聯的點，如相關聯點軌跡方程已知，可考慮代入法．例24 已知圓的方程為，圓內有定點，圓周上有兩個動點、使，求矩形的頂點的軌跡方程．分析：利用幾何法求解，或利用轉移法求解，或利用參數法求解．解法一：如圖，在矩形中，連結，交于，顯然，在直角三角形中，若設，則．由，即，也即，這便是的軌跡方程．解法二：設、則，．又，即．①又與的中點重合，故，即?、冖伲?，有．這就是所求的軌跡方程．解法三：設、由于為矩形，故與的中點重合，即有， ?、?， ?、谟钟捎小 、勐摿ⅱ?、②、③消去、即可得點的軌跡方程為．說明：本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應清晰，且應充分利用圖形的幾何性質，否則，將使解題陷入困境之中．本題給出三種解法．其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數量關系．而解法二與解法三，從本質上是一樣的，都可以稱為參數方法．解法二涉及到了、四個參數，故需列出五個方程；而解法三中，由于借助了圓的參數方程，只涉及到兩個參數、故只需列出三個方程便可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數形結合的思想方法求解．練習：由動點向圓引兩條切線、切點分別為、=600，則動點的軌跡方程是 .解：設.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化簡得，∴動點的軌跡方程是.練習鞏固：設為兩定點，動點到點的距離與到點的距離的比為定值，求點的軌跡.解：，得，化簡得.當時，化簡得，整理得；當時，化簡得.所以當時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當時，點的軌跡是軸.已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的面積等于 解：，得，化簡得，∴點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為.已知定點，點在圓上運動，是線段上的一點，且，問點的軌跡是什么？解：設.∵，∴，∴，∴.∵點在圓上運動，∴，∴，即，∴點的軌跡方程是.例已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，則點的軌跡方程是 .解：設.∵是的平分線，∴， ∴.由變式1可得點的軌跡方程是.練習鞏固：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程.解：設，的中點為.∵是平行四邊形，∴是的中點，∴點的坐標為，且.∵直線經過定點，∴，∴，化簡得.∴點的軌跡方程是.類型九：圓的綜合應用例2 已知圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實數的值．分析：設、兩點的坐標為、則由，可得，再利用一元二次方程根與系數的關系求解．或因為通過原點的直線的斜率為，由直線與圓的方程構造以為未知數的一元二次方程，由根與系數關系得出的值，從而使問題得以解決．解法一：設點、的坐標為、．一方面，由，得，即，也即：． ?、倭硪环矫?，、是方程組的實數解，即、是方程 ?、诘膬蓚€根．∴，．?、塾?、在直線上，∴．將③代入，得． ④將③、④代入①，解得，代入方程②，檢驗成立，∴．解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有，整理，得．由于，故可得．
公司管理相關推薦
鄂ICP備17016276號-1