第一章直線和平面兩個平面垂直的判定和性質(zhì)三教學(xué)目-文庫吧資料
2025-07-26 14:10本頁面
【正文】 圖，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， E∈ BB1，且 BE=EB1． 求證：截面 A1EC⊥ 側(cè)面 AC1． 師；這道題的結(jié)論是面面垂直．要想解決這個問題，需要在其中一個平面中找到或作出另一平面的一條垂線，也就是轉(zhuǎn)化為解決線面垂直的問題．分析已知，由正三棱柱可知：△ ABC，△ A1B1C1都是正三角形，而側(cè)棱 AA1⊥面 ABC．由面面垂直的判定定理可證側(cè)面 AC1與底面 ABC垂直．于是在面 ABC內(nèi)可作出側(cè)面 AC1的垂線．可在平面A1EC中如何找到一條直線垂直于側(cè)面AC1呢？這一點是從已知到未知的關(guān)鍵所在，解決了這一點，也就搭起了從已知到未知的橋梁．哪位同學(xué)解決了這個問題呢？ 生甲：取 AC中點 F，連結(jié) BF，作 FG∥ AA1交A1C于 G，連結(jié) GE． 因為 FG∥ AA1， F是 AC中點， 又因為 正三棱柱 ABCA1B1C1， 所以 AA1 BB1 ， 所以 FG BE， 所以 四邊形 FGEB是平行四邊形． 所以 BF∥ GE． 又因為 正△ ABC， 所以 BF⊥ AC， 又因為 AA1⊥ 面 ABC 所以 AA1⊥ BF 因此 BF⊥ 面 AC1 所以 GE⊥ 面 AC1 所以 面 AEC⊥ 面 AC1． 師：很好．充分利用線面之間垂直關(guān)系，在平面 ACE內(nèi)找到了直線 EG，EG⊥ 面 AC1，使問題得以解決． 生乙：還可以延展平面 A1EC．分別延長 CE， C1B1交于點 D，連結(jié)A1D． 因為 正三棱柱 ABCA1B1C1 所以 AA1⊥ 面 A1B1C1， 所以 A1A⊥ A1D． 所以 在△ DCC1中，有 DB1=B1C1． 又因為 正△ A1B1C1， 所以 A1B1=B1C1=DB1，
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