導(dǎo)數(shù)的幾何意義-文庫吧資料
2025-07-24 22:34本頁面
【正文】 x0處的導(dǎo)數(shù)存在，則曲線 y＝ f(x)在點 P(x0， f(x0))的切線方程是什么？ 提示： ∵ k＝ f′(x0)， ∴ 根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程為 y－ f(x0)＝ f′(x0)(x－ x0)． 3．函數(shù) y＝ f(x)的部分圖像如圖，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，你能 比較 f′(x1)、 f′(x2)和 f′(x3)的大小嗎？ 提示： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，因為 在 A， B處的切線斜率大于零且 kA kB，在 C處的切線斜率小于零，所以 f′(x1)f′(x2)f′(x3)． 4． f′(x0)與 f′(x)的區(qū)別是什么？ 提示： f′(x)是函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)，是一個確定的函數(shù)， f′(x0)表示的是函數(shù) f(x)在 x＝ x0處的導(dǎo)數(shù)，是一個確定的常數(shù)，也是函數(shù) f′(x)在 x＝ x0時的函數(shù)值． [ 例 1] 已知曲線 C ： y ＝13 x3 ＋ 43 ，求曲線 C 在橫坐標(biāo)為 2 的點處的切線方程． [ 自主解答 ] 將 x ＝ 2 代入曲線 C 的方程得 y ＝ 4 ， ∴ 切點 P ( 2,4) ． y ′| x ＝ 2 ＝ limΔ x →0 Δ yΔ x ＝ limΔ x →0 13? 2 ＋ Δ x ?3＋43－13 23－43Δ x ＝ limΔ x →0[4 ＋ 2 Δ x ＋13(Δ x )2] ＝ 4. ∴ 切線的斜率 k ＝ y ′|x ＝ 2＝ 4. ∴ 曲線在點 P (2,4) 處的切線方程為 y － 4 ＝ 4( x － 2) ，即 4 x － y － 4 ＝ 0. 本題所求的切線方程與曲線 C是否還有其他的公共點嗎？為什么？ 解： 由????? y ＝ 4 x － 4 ，y ＝13x3＋43， 可得 ( x － 2)( x2＋ 2 x － 8) ＝ 0 ， 解得 x1＝ 2 ， x2＝－ 4. 從而求得公共點為 P (2,4) 或 M ( － 4 ，－ 20) ． 即切線與曲線 C 的公共點除了切點外，還有另外的公共點． 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的方法： (1)若已知點 (x0， y0)在已知曲線上，則先求出函數(shù) y＝f(x)在點 x0處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程 y－ y
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