中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用doc-文庫吧資料
2025-07-23 15:27本頁面
【正文】 問題類型也特別多。查表得：。試求在年計劃中應(yīng)為此器件作多少預(yù)算才可能有95%的把握一年夠用（假定一年有2000個工作小時）？[3]解：設(shè)第k個器件使用壽命為，由于服從參數(shù)為的指數(shù)分布，且20，所以，那么。在現(xiàn)實生活中，人們往往比較在意錢的花費，那么在器件價格預(yù)算方面，李雅普諾夫中心極限定理又有著怎樣的神奇之處呢？請看下面這例題。在實際生活的很多問題中，所考慮的隨機(jī)變量往往可以表示成很多個獨立的隨機(jī)變量之和。它表明，在定理條件下，隨機(jī)變量，當(dāng)很大時，近似地服從正態(tài)分布由此，當(dāng)很大時，近似地服從正態(tài)分布。為此我們特地分一節(jié)內(nèi)容來研究它，希望它的出現(xiàn)能引起我們的極大重視。在此情況下，為了使獨立不同分布的中心極限定理便于運用，我們深入研究了下面的李雅普諾夫（Lyapunov）中心極限定理。這一點是很容易證明的：設(shè)是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，為確定起見，設(shè)諸是連續(xù)隨機(jī)變量，其共同的密度函數(shù)為這時由此得因為方差存在，即所以其尾部積分一定有故林德伯格條件滿足。林德伯格證明了滿足（2）條件的和的極限分布是正態(tài)分布，這就是下面給出林德伯格中心極限定理。因為，若設(shè)諸為連續(xù)隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為，則上式右邊=因此，只要對任意的有， 就可保證中各加項“均勻地小”。設(shè)是一個相互獨立的隨機(jī)變量序列，它們具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差：,要討論隨機(jī)變量的和，我們先將其標(biāo)準(zhǔn)化，即將它減去均值、除以標(biāo)準(zhǔn)差，由于==，且記=,則的標(biāo)準(zhǔn)化為。這就告訴我們，要使中心極限定理成立，在和的各項中不應(yīng)有起突出作用的項，或者說，要求各項在概率意義下“均勻地小”。為使極限分布是正態(tài)分布，必須對的各項有一定的要求。比如在我們的生活中所遇到的某些加工過程中的測量誤差，由于其是由大量的“微小的”相互獨立的隨機(jī)因素疊加而成的，即，諸間具有獨立性，但不一定同分布。二、獨立不同分布下的中心極限定理及其應(yīng)用前面我們已經(jīng)在獨立同分布的條件下，解決了隨機(jī)變量和的極限分布問題。它表明，n充分大時，分布近似服從與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，常稱為“二項分布收斂于正態(tài)分布”，正態(tài)分布是二項分布的極限分布，當(dāng)n充分大時，我們可以利用該定理的結(jié)論來計算二項分布的概率。例3．利用中心極限定理證明： [1]證明：設(shè){}獨立同分布且～P(1)，k=1，2…….則a==l，==1∵由泊松分布的可加性知～P(n)∴又∵由中心極限定理知：∴ 如果在林德伯格勒維中心極限定理中，服從二項分布，就可以得到以下的定理：定理2（棣莫弗拉普拉斯中心極限定理）設(shè)n重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（0p1），記為n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記，則對任意實數(shù)y，有該定理是林德伯格萊維中心極限定理的特殊情況，是最早的中心極限定理。事實上，在現(xiàn)實生活中的很多方面，我們都能清晰地看到中心極限定理的存在。例2．某汽車銷售點每天出售的汽車服從參數(shù)為=2的泊松分布，若一年365天都經(jīng)營汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨立的，求一年中售出700輛以上汽車的概率。則 從這個例子來看，雖然看上去有點復(fù)雜，但是我們還是很清晰地可以看到如果一個隨機(jī)變量能表示成大量獨立隨機(jī)變量的和，并且其中每一個隨機(jī)變量所起的作用都很微小，則這個隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布，這給我們的計算帶來很大方便?！嘤芍行臉O限定理可知～N(，)?！嘤伤鼈円鸬?，……可看做是相互獨立的。[1]解：設(shè)a為理論射程，為實際射程，則=a為實際射程對理論射程的偏差，顯然=+a，故只需證～N(，)。在此我們從中選擇了幾個典型而又帶有新意的例子，僅供大家參考。應(yīng)用二：已知隨機(jī)變量之和取值的概率，求隨機(jī)變量的個數(shù)n。也就是說，在n充分大時，可用近似計算與有關(guān)事件的概率，而n較小時，此種計算的近似程度是得不到保障的。
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