lecture-2近世代數(shù)-文庫(kù)吧資料
2025-07-23 15:09本頁(yè)面
【正文】 deduced was the one to be demonstrated, so the proof is plete. From Wikipedia 0 , 1 , , 1p ?≡ 26 域 設(shè)集 Q(21/2)={a+b21/2|a, b∈ Q}，證明 (Q(21/2), +, )是域。其中 1為單位元，因?yàn)?p為素 數(shù)，因此任意小于 p的數(shù) a和 p互素。有限域也稱為 伽邏華域 。 有理數(shù)域；實(shí)數(shù)域；復(fù)數(shù)域。 2 3=0 3(mod 6) but 2≠0 整環(huán)（無(wú)零因子環(huán)） ?乘法消去率成立 ?例： Z5 除環(huán) ?有單位元、每個(gè)非零元素有逆元，非可換的環(huán) ?例如所有 n階實(shí)數(shù)滿秩矩陣全體和全零矩陣構(gòu)成除環(huán) 23 環(huán) R={a+b51/2|a, b∈ Z}關(guān)于數(shù)的加法和乘法是否構(gòu)成環(huán)？ ?任給 p, q ∈ R, p=a1+b151/2 , q=a2+b251/2 , a1, b1 , a2,b2 ∈ Z. p+q = (a1+b151/2 )+(a2+b251/2) = (a1+a2 ) +(b151/2 +b251/2) ∈ R pq = (a1+b151/2 ) (a2+b251/2) = (a1a2+5b1b2 ) +(a1b2 + a2b1 ) 51/2 ∈ R 顯然， (R, +)是加群， (R, )是半群且乘法對(duì)加法滿足 分配律，所以 (R, +, )是環(huán)。 偏序集 格 00 01 10 11 21 環(huán)的定義 非空集合 R中，若定義了兩種代數(shù)運(yùn)算 加 和 乘 ，且滿足： ?1) 集合 R在 加法 運(yùn)算下構(gòu)成 阿貝爾群 ?2) 乘法有 封閉性 ?3) 乘法 結(jié)合律 成立，且加和乘之間有分配律 環(huán)＝ 阿貝爾加群＋乘法半群 例子 ?全體整數(shù)；全體偶數(shù)；實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體均構(gòu)成環(huán) ?模整數(shù) m的全體剩余類構(gòu)成 剩余類環(huán) 相關(guān)概念 ?有單位元環(huán)（乘法有單位元） ?交換環(huán)（乘法滿足交換率） 22 環(huán)的相關(guān)概念 有零因子環(huán) ?對(duì)于環(huán)中的兩個(gè)非零元素 a和 b，若它們?cè)诃h(huán)上定義的乘法運(yùn)算下為零，即 ab=0，則 a、 b為零因子，對(duì)應(yīng)的環(huán)為有零因子環(huán)。 則稱 ≤是 P的一個(gè)偏序關(guān)系，具有偏序關(guān)系 ≤的集合 P， 稱為 偏序集 ，記為（ P, ≤ ）。 Zi ∈ Z}在矢量相加和相減運(yùn)算下構(gòu)成一整數(shù)格。 16 置換群 置換群 (Permutation Group) ?例子： A={1, 2, 3} ?置換群不一定是對(duì)稱群；對(duì)稱群一定是置換群 ? ? 111 ?? ? ? 221 ?? ? ? 331 ??? ? 212 ?? ? ? 322 ?? ? ? 132 ??? ? 313 ?? ? ?3 21? ? ? ? 233 ??????????? 3213211? ?????????1323212? ?????????2133213?? ?3211 ?? ? ?1322 ?? ? ?2133 ??? ? ? ? ? ?2 3 12 3 1 3 1 2 1 2 3? ? ?? ? ?? ?321 ??? ， 在置換運(yùn)算下構(gòu)成置換群 為單位元 23,?? 1?互為逆元 17 置換 3 7 1 9 8 5 0 9 5 7 0 8 1 3 3 8 7 0 1 9 5 φ1=(1, 3, 5, 6, 2, 7, 4) φ2= (4, 6, 2, 7, 5, 3, 1) 18 格（ Lattice） 定義： ?格 (Lattice)—— 是一類加群，集合中的元素是歐氏空間中的離散點(diǎn)，稱為 格點(diǎn) 。 x = a 。 a1 群 G中消去律成立。a = b在 G中有唯一解： x = a1 。 ?Proof：直接代換 給定 G中任意兩個(gè)元素 a和 b ，方程 a 。 b)1=b1 。因此，(S, GCD)不是群 14 群性質(zhì) 群的恒等元、每個(gè)元素的逆元都是唯一的。因?yàn)?GCD(12, a)=a，所以Ｓ的 單位元 為12。 (S={1, 2, 3, 4, 6, 12}, GCD)是群?jiǎn)幔?
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