【正文】 我們改變網(wǎng)絡(luò)的連接方式，得到的運(yùn)行結(jié)果如下：。 網(wǎng)絡(luò)參數(shù)表BA模型M模型=8=8m=2N=2000N=2000隨機(jī)連接C=5首先，我們進(jìn)行BA模型的計(jì)算。為了便于對比，我們規(guī)定兩種網(wǎng)絡(luò)模型的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模一致。通過研究證實(shí)，只有在全連通網(wǎng)絡(luò)中（即每個(gè)節(jié)點(diǎn)都與其他節(jié)點(diǎn)相連），聚類系統(tǒng)才可以等于1，一般情況下的網(wǎng)絡(luò)中，劇烈系統(tǒng)均小于1。 聚類系數(shù)的比較我們知道聚類系數(shù)C用來表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的聚集情況，即我們平時(shí)所說的網(wǎng)絡(luò)有多緊密。例如我們想要新開一家服裝店，那么我們一定首選選擇服裝店稠密的街道進(jìn)行開店，就是一個(gè)小的模塊，所生成的網(wǎng)絡(luò)也就是模塊化網(wǎng)絡(luò)。2） 擇優(yōu)連接：當(dāng)選擇與新節(jié)點(diǎn)連接時(shí)，假設(shè)新節(jié)點(diǎn)連接到節(jié)點(diǎn)的概率取決于該節(jié)點(diǎn)的連通度，即： （41） 模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，在以BA網(wǎng)絡(luò)作為基礎(chǔ)模型，然后進(jìn)行模塊的劃分，即在網(wǎng)絡(luò)中選取M個(gè)點(diǎn)作為一個(gè)模塊。就比如說一個(gè)好的歌手，如果他被很多的人喜歡，那么就有更多的人喜歡他，關(guān)注他。久而久之，富者越富的現(xiàn)象凸顯。換言之，我們只要對初始網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度進(jìn)行計(jì)算，就可以知道每個(gè)新節(jié)點(diǎn)的連接方向。在實(shí)驗(yàn)前，我們本著科學(xué)的研究方法，設(shè)計(jì)統(tǒng)一規(guī)模的模擬網(wǎng)絡(luò)，便于我們對二者的分析比較。 聚類系數(shù)與平均路徑長度的比較 經(jīng)過我們前面的介紹以及相關(guān)文獻(xiàn)的考證，我們對經(jīng)典BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型和模塊化無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型有了大概的了解，那么這二者究竟有什么異同之處呢，下面，我們就用實(shí)證來分析。支持混合語言的調(diào)運(yùn)。并且Matlab兼?zhèn)淞薓aple等其他軟件的特點(diǎn)，這使得MATLAB日漸稱為數(shù)學(xué)軟件界的一支新秀。MathWorks公司瞄準(zhǔn)應(yīng)用范圍最廣的Word ，運(yùn)用DDE和OLE，實(shí)現(xiàn)了Matlab與Word的無縫連接，從而為專業(yè)科技工作者創(chuàng)造了融科學(xué)計(jì)算、圖形可視、文字處理于一體的高水準(zhǔn)環(huán)境。MathWorks公司此舉加快結(jié)束了國際上數(shù)值計(jì)算、符號計(jì)算孰優(yōu)孰劣的長期爭論，促成了兩種計(jì)算的互補(bǔ)發(fā)展新時(shí)代。（3）推出了符號計(jì)算工具包。它的出現(xiàn)使人們有可能考慮許多以前不得不做簡化假設(shè)的非線性因素、隨機(jī)因素，從而大大提高了人們對非線性、隨機(jī)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的認(rèn)知能力。 ，出現(xiàn)了以下幾個(gè)重要變化：（1）推出了SIMULINK。與利用c語言或FoRTRAN語言作數(shù)值計(jì)算的程序設(shè)計(jì)相比，利用MATLAB可以節(jié)省大量的編程時(shí)間。在Matlab環(huán)境下，用戶可以集成地進(jìn)行程序設(shè)計(jì)、數(shù)值計(jì)算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項(xiàng)操作。 Matlab的介紹 Matlab軟件是由美國Mathworks公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算系統(tǒng)環(huán)境。這兩種優(yōu)先連接機(jī)制如下： 1）模塊結(jié)構(gòu)的優(yōu)先連接選擇：當(dāng)有一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)加入到某個(gè)模塊中，或者從一個(gè)模塊中挑選其模塊外的節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)，它選擇模塊i的概率與模塊的規(guī)模成正比，即： （34） 2）度優(yōu)先選擇連接：給定一個(gè)模塊i，讓一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)從中選擇連接對象時(shí)，它選擇模塊i內(nèi)節(jié)點(diǎn)j的概率為： （35） 其中表示模塊i內(nèi)節(jié)點(diǎn)j的度，而是一個(gè)偏重，且。他的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在同一模塊的邊緣，被定義為橋邊，并且和橋邊鏈接的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)屬于不同的模塊。我們將得到。在我們的網(wǎng)絡(luò)模型中，我們可以改變的取值來得到關(guān)于模塊結(jié)構(gòu)強(qiáng)度各種值。表示行或者列的，歸結(jié)為鏈接到模塊的邊緣，即鏈接到社區(qū)R和 HR 是模塊的邊緣 即在原有的網(wǎng)絡(luò)，鏈接到子集R和W的節(jié)點(diǎn)子集。另外，度分布不管是在本地網(wǎng)絡(luò)，還是每一個(gè)社區(qū)，更或者是全球網(wǎng)絡(luò)中，都具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，并且遵循PA機(jī)制，符合冪律分布。這個(gè)結(jié)果說明：縮放行為是獨(dú)立于該網(wǎng)絡(luò)的初始節(jié)點(diǎn)N的個(gè)數(shù)和M N的取值變化。我們定義為：表示新節(jié)點(diǎn)將被鏈接到節(jié)點(diǎn)I的依賴程度。 受到上面說提及到的這兩種方式及以往的工作方式的啟發(fā)，我們提出了新的模型如下所述：從記為C的社區(qū)開始 U1 U2 U3……UC，并付給每個(gè)社區(qū)一個(gè)小的標(biāo)號，定位初始節(jié)點(diǎn)，在以后的每一步，我們給每個(gè)社區(qū)添加一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)與相連，鏈接的邊緣節(jié)點(diǎn)到新節(jié)點(diǎn)的距離小于等于N米。結(jié)果表明，縮放行為是獨(dú)立于它的初始拓?fù)涞膍和n值的變化。在這個(gè)社區(qū)不同的節(jié)點(diǎn)在其他社區(qū)的C?MN不同節(jié)點(diǎn)已經(jīng)存在于系統(tǒng)根據(jù)PA規(guī)則，N= KI /？研究級聯(lián)手段的可能性。第二是優(yōu)先連接機(jī)制而新的節(jié)點(diǎn)更傾向于與那些具有較高連接的HUB節(jié)點(diǎn)相連接。第一是增長機(jī)制，隨著社會的進(jìn)步，網(wǎng)絡(luò)也隨之發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的持續(xù)增大。提出的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。第一個(gè)模型是由艾伯特和Barab225。為我們后續(xù)的科研工作奠定了基礎(chǔ)。所以函數(shù)的表達(dá)式為： （33） 模塊化Q函數(shù)從出現(xiàn)到現(xiàn)在，受到了廣大科研人員的喜愛與推崇。為網(wǎng)絡(luò)中邊的數(shù)目。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)被劃分出模塊結(jié)構(gòu)，為頂點(diǎn)所屬的模塊，則網(wǎng)絡(luò)中的模塊內(nèi)部連邊所占比例可以表示成， （32）其中，為網(wǎng)絡(luò)連接矩陣中的元素，如果兩點(diǎn)有邊相連則，否則等于0。如果模塊結(jié)構(gòu)劃分的好，那么模塊內(nèi)部連接的緊密程度應(yīng)高于隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的期望水平。具體來說，這個(gè)函數(shù)是指，把網(wǎng)絡(luò)中一個(gè)模塊內(nèi)部的邊的數(shù)目與另外隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的邊數(shù)目進(jìn)行比較，這個(gè)比值的期望值相減，便得到一個(gè)差值。為了更好的研究，科學(xué)家們給出了模塊化函數(shù)的定義。 為了方便，在此次研究中，我們采用基于相對連接概率的模塊結(jié)構(gòu)定義。那么可知，這些重疊的節(jié)點(diǎn)相互連接，這種模塊也具有廣泛的研究意義，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中，一個(gè)個(gè)體往往同時(shí)屬于多個(gè)系統(tǒng)。那么這就必然導(dǎo)致其中的一些節(jié)點(diǎn)在不同的派系中出現(xiàn)，即節(jié)點(diǎn)的重疊性。一個(gè)派系，包含3個(gè)或者更多的節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)形成一個(gè)全通圖，也就是說要求每兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間必須相互連接。 當(dāng)然了，還有另外一種定義。另外，科學(xué)家們還提出了一個(gè)更強(qiáng)化的定義，集。弱模塊的定義為：子圖中所有節(jié)點(diǎn)與V內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的度之和大于V中所有節(jié)點(diǎn)與V外部節(jié)點(diǎn)連接的度之和?；诖耍藗兘o出了一些定量化的定義，如，提出了強(qiáng)模塊和弱模塊的定義。 模塊結(jié)構(gòu)的定義 經(jīng)過大量的研究，網(wǎng)絡(luò)中的模塊結(jié)構(gòu)目前還沒有被廣泛確認(rèn)的定義，較為常用的是基于相對連接概率的的定義：網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)可以依照某種特定的聯(lián)系分成組，組內(nèi)節(jié)點(diǎn)連接緊密，而組間節(jié)點(diǎn)連接稀疏。又例如在我們的引文網(wǎng)中，不同的模塊又代表了不一樣的研究領(lǐng)域；在Internet中，不同模塊又代表了不同主題的網(wǎng)站；在生物系統(tǒng)中，新城代謝網(wǎng)，神經(jīng)系統(tǒng)網(wǎng)等，不同的模塊表示了不同的功能：在我們的食物鏈中，模塊可以表示每一個(gè)小的食物鏈。它指的是網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)可以根據(jù)他們之間的連接關(guān)系分成一些個(gè)小團(tuán)體，每個(gè)團(tuán)體內(nèi)節(jié)點(diǎn)間的連接比較緊密，團(tuán)體間節(jié)點(diǎn)的連接比較分散。這個(gè)結(jié)果在后來的多種理論方法和實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)都得到了證明。2）擇優(yōu)連接：　當(dāng)選擇與新節(jié)點(diǎn)連接時(shí)，假設(shè)新節(jié)點(diǎn)連接到節(jié)點(diǎn)i的概率取決于該節(jié)點(diǎn)的連通度，即 （31） 經(jīng)過這樣的計(jì)算后，我們在經(jīng)過t時(shí)刻以后，就可以得到一個(gè)，mt條邊的BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。而在ER隨即圖中，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間是否有邊相連是完全隨機(jī)確定的，在WS和小世界模型中，長程邊的端點(diǎn)也是完全隨機(jī)確定的。舉個(gè)例子，我們在做畢業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，我們喜歡參考借鑒那些名人學(xué)者的學(xué)術(shù)研究報(bào)告。而ER隨即圖和WS小世界模型中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)是固定的，這不符合實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展規(guī)律。再例如，每天都有新的車輛上戶，也有舊的車輛報(bào)廢；每天都有新的想法產(chǎn)生等等。 BA模型的特性在現(xiàn)實(shí)意義中，我們知道一個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有冪律度分布固然是有意義的，但是更為重要的是我們要理解冪律分布的產(chǎn)生機(jī)理。由于這種網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)方式并沒有顯著的特別屬性，我們就把他們稱為無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。該分布的特點(diǎn)主要表現(xiàn)在在其均值處有一個(gè)峰值，而兩側(cè)則呈現(xiàn)出逐漸遞減，導(dǎo)致這樣的網(wǎng)絡(luò)在后來也被稱為指數(shù)網(wǎng)絡(luò)（exponential networks）。我們知道，一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都是由他內(nèi)部特定的模塊所表示的，那么如果我們可以清晰準(zhǔn)確的辨識出這些模塊，就有利于我們了解這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的局部特征，進(jìn)而了解整個(gè)網(wǎng)絡(luò)。其中的一些模塊所占的比例很高，而另一些模塊卻占有較低的比例。盡管如此，但是這么多模塊也不是所有的模塊都是重要模塊的。所謂的高聚類行就是指這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的某一部分，由各種高度鏈接的頂點(diǎn)組成，成型一個(gè)團(tuán)體也就是模塊，而這也正是出現(xiàn)某一個(gè)功能模塊的前提。那么網(wǎng)絡(luò)中的模塊是如何構(gòu)成的呢？近期的研究表明，模體可能是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基本模塊，也就是我們所說的基本組成部分。例如在生物系統(tǒng)中，相對固定的核糖核酸和脫氧核糖核酸，就是我們生命活動(dòng)的基礎(chǔ)。在我們生活中許多地方，都具備了模塊。舉個(gè)例子，我們生物界的細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)，細(xì)胞是靠各種功能聯(lián)系在一起的，功能類似的細(xì)胞高度集中，形成了一個(gè)團(tuán)體，我們把這個(gè)團(tuán)體叫做模塊。但是，他們還是有區(qū)別的，要不然我們怎么能說他們終究是不同的網(wǎng)絡(luò)，在局部方面看，各個(gè)網(wǎng)絡(luò)還是各有異同的。即使是大家普遍認(rèn)同的，我們也不能一概而論的，更不能斷章取義。但是我們必須承認(rèn)一點(diǎn)，我們只能說絕大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，而不能一概而論的說所有的現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)都是無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，還有小部分網(wǎng)絡(luò)服從指數(shù)分布，截?cái)嘈问降龋@也是我們研究的科學(xué)性所在。人們在網(wǎng)絡(luò)研究的歷史長河中鑄就了新的里程碑。顯然，我們可以推論“富者更富”現(xiàn)象在以往的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中是不可能出現(xiàn)的。正如我們在生活中，如果讓我們選擇交朋友的對象，恐怕許多人都會選擇已經(jīng)有很多朋友的人來建立關(guān)系。這又是為什么呢？無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型給出了解釋。因此我們便更喜歡把自己的電腦連接到這些路由器上，從而得到更快，更高效的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)。比如在好萊塢，連接著關(guān)系較多的明星往往更便于得到新銳們的關(guān)注。第二，優(yōu)先連接機(jī)制，隨機(jī)模型都假設(shè)在添加新的連接時(shí)，概率都是均勻的，而事實(shí)上卻不是如此，許多真實(shí)網(wǎng)絡(luò)都是擇優(yōu)連接的。他們也采取了與Price相類似的辦法。他們計(jì)算了k個(gè)連接著Internet的頁面，發(fā)現(xiàn)這些頁面的連接也遵從冪律分布。只有不到20%的頁面連接大于4，其他均小于4。他們本認(rèn)為其結(jié)果應(yīng)該是一個(gè)符合隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的“鐘形圖”，即泊松分布，但是他們卻發(fā)現(xiàn)結(jié)果天壤之別。這一發(fā)現(xiàn)逐漸演化成無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，形成了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的建立，最具代表性的便是經(jīng)典BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。 典型無標(biāo)度模型介紹 由上文我們可以知道，在小世界網(wǎng)絡(luò)的研究興起之后，后期有大量的科研學(xué)者投身到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究中。 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖除了上文介紹的小世界性和無標(biāo)度性，真實(shí)網(wǎng)絡(luò)還存在許多統(tǒng)計(jì)上的特性，如，混合模式特性，度相關(guān)性，超小世界性等，有興趣的讀者可以查閱相關(guān)文獻(xiàn)。那么我們就可以把度看做是考察一個(gè)節(jié)點(diǎn)的重要指標(biāo)。是一條緩慢滑坡的曲線，這就告訴我們，在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中可以找到度很大的節(jié)點(diǎn)。這里的頂點(diǎn)的度是指該頂點(diǎn)所具有的連接節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 小世界網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖往后，在漫長的實(shí)驗(yàn)道路中，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)都具有小世界性。它具有大的聚類系數(shù)和小的平均路徑長度。而后，科學(xué)家Watts和Strogatz開創(chuàng)了以后新的理論，以一個(gè)很小的概率，打斷規(guī)則網(wǎng)絡(luò)中原有的邊，然后隨機(jī)選擇新的節(jié)點(diǎn)重新連接在一起，就形成了一個(gè)新的網(wǎng)絡(luò)。除了這三種最基本的統(tǒng)計(jì)屬性以外，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)還具有許多與傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)，ER網(wǎng)絡(luò)等網(wǎng)絡(luò)不一樣的統(tǒng)計(jì)特征，這里面最值得關(guān)注的莫過于小世界性，和無標(biāo)度屬性。經(jīng)過許多科學(xué)家證明，許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的度分布事實(shí)上不符合泊松分布，而是符合冪率分布。完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的度分布近似其形態(tài)在距離最大值很遠(yuǎn)的地方處呈指數(shù)下降。一種說法是，表示在一個(gè)系統(tǒng)中隨機(jī)選擇的頂點(diǎn)的度為的概率。我們把一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中所有包含的節(jié)點(diǎn)的度的平均值叫做該網(wǎng)絡(luò)的平均度，用k表示。節(jié)點(diǎn)的入度是指從其它節(jié)點(diǎn)指向該節(jié)點(diǎn)的邊的數(shù)目。對于有向網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)的度又分為出度和入度。 度與度分布經(jīng)過科學(xué)家們數(shù)年的努力，我們發(fā)現(xiàn)度是描述節(jié)點(diǎn)特征的主要指標(biāo)。那么可知，在這個(gè)頂點(diǎn)最大限度的情況下有條邊。 聚類系數(shù)舉個(gè)例子，在你的朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中，你的朋友在很多時(shí)候彼此也是朋友，我們就把這種屬性定義為為網(wǎng)絡(luò)的聚類特性。我們便可以得到，網(wǎng)絡(luò)直徑，平均路徑長度 例如，在城市道路交通網(wǎng)中，兩地之間最短路徑的路的個(gè)數(shù)。我們可以用時(shí)間量級來計(jì)算一個(gè)NM網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度。在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，任意兩個(gè)內(nèi)含節(jié)點(diǎn)之間的距離的最大值為網(wǎng)絡(luò)的直徑，記為,即 （21） 網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度，即為該網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)距離的平均值，即 （22）其中N表示該網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)。 平均路徑長度由名字我們便可得知，平均路徑長度即為網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和之間的距離。然后我們以模型為基礎(chǔ)進(jìn)行相關(guān)研究，以模型為研究基礎(chǔ)，真實(shí)反映現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，細(xì)致刻畫現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的特征，保證我們研究對象的真實(shí)性，保證研究結(jié)構(gòu)的可靠性，保證研究方式方法的科學(xué)性。現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)規(guī)模龐大，結(jié)構(gòu)冗余，變化較快，不等我們探究透徹，就已經(jīng)發(fā)生了翻天覆地的變化。在07年的論文檢索中發(fā)現(xiàn)，關(guān)于SCI和EI的發(fā)表超過了萬篇文章，有力的證明了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的熱度。同時(shí)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)以開創(chuàng)性的眼光，保持個(gè)體的自主性，相互性，研究各復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)間的共性，尋求普遍適用的解決辦法。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是以一種全新的角度開啟的對社會、管理、工程技術(shù)、醫(yī)藥等各個(gè)領(lǐng)域的各種復(fù)雜系統(tǒng)探究思索的新思路,由此形成了多種領(lǐng)域，全體位相互重疊、多種方法相互滲透的一門新興學(xué)科。網(wǎng)絡(luò)不僅方便了我們的生產(chǎn)與生活，而且對提高生產(chǎn)效率和生活質(zhì)量具有不可估量的作用，但是網(wǎng)絡(luò)也給我們的生活與工作及社會帶來了