拉格朗日中值定理-文庫(kù)吧資料
2025-07-04 19:49本頁(yè)面
【正文】 區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，因此，由羅爾中值定理得，至少存在一點(diǎn)，使得，即 推廣1 如圖3過(guò)原點(diǎn)作∥，由與直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù)，因?yàn)橹本€的斜率與直線的斜率相同，即有：，的直線方程為：，于是引入的輔助函數(shù)為：. （證明略）推廣2 如圖4過(guò)點(diǎn)作直線∥，直線的方程為：，由與直線函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù)，于是有：. （證明略）推廣3 如圖5過(guò)點(diǎn)作直線∥，直線的方程為，由與直線函數(shù)之差構(gòu)成輔助函數(shù)，于是有：.事實(shí)上，可過(guò)軸上任已知點(diǎn)作∥得直線為，從而利用與直線的函數(shù)之差構(gòu)成滿足羅爾中值定理的輔助函數(shù)都可以用來(lái)證明拉格朗日中值定理. 因是任意實(shí)數(shù)，顯然，這樣的輔助函數(shù)有無(wú)多個(gè). 用對(duì)稱法引入輔助函數(shù)法在第二種方法中引入的無(wú)數(shù)個(gè)輔助函數(shù)中關(guān)于軸的對(duì)稱函數(shù)也有無(wú)數(shù)個(gè)，上面的輔助函數(shù)是用曲線函數(shù)減去直線函數(shù)，反過(guò)來(lái)，用直線函數(shù)減曲線函數(shù)，即可得與之對(duì)稱的輔助函數(shù)如下： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ . 這里僅以⑵為例給出拉格朗日中值定理的證明. 證明 顯然，函數(shù)滿足條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；.由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)，使得，從而有，顯然可用其它輔助函數(shù)作類似的證明. 轉(zhuǎn)軸法由拉格朗日中值定理的幾何圖形可以看出，若把坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌?，得新直角坐?biāo)系，若平行于弦，則在新的坐標(biāo)系下滿足羅爾中值定理，由此得拉格朗日中值定理的證明.證明 作轉(zhuǎn)軸變換，為求出，解出得 ① ②由得 ，從而，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，知在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，因此，由羅爾中值定理知，至少存在一點(diǎn)，使得 ，即 用迭加法引入輔助函數(shù)法讓迭加一個(gè)含待頂系數(shù)的一次函數(shù)，
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