利用拉格朗日中值定理證明琴生不等式的一種形式-文庫吧資料
2024-10-29 01:56本頁面
【正文】 3。令 g(x)=ln(1+x)x 再證 ln(則 g(0)=0 g162。(x)=0 ,即在(0,+165。ln(1+x)x,其中x 因?yàn)槔?中不等式的不等號兩邊形式不一樣,對它作差ln(1+x)(x),則發(fā)現(xiàn)作差以后21+x)(1,+xx2證明: 先證 xln(1+x)2x2設(shè) f(x)=ln(1+x)(x)(x0)21x21+0)0=0 f(x)=則 f(0)=ln(1+x=1+x1+x39。(x)0,所以f(x)在區(qū)間(1,+165。(x)=x+12xlnxx(x+1)ln2x因?yàn)?1xx+1, 故0lnxln(x+1)所以 xlnx(x+1)ln(x+1)（1，+165。2分析 只要把要證的不等式變形為ln(x+1)ln(x+2),然后把x相對固定看作常數(shù),并選取輔助函lnxln(x+1)數(shù)f(x)=ln(x+1).則只要證明f(x)在(0,+165。(0,+165。(x)0在(0,+165。)上單調(diào)遞增，而g(0)=0.\g(x)g(0)=0,\g(x)0在(0,+165。(x)=0時(shí)，g39。2證明：設(shè)f(x)=e1xx12x,則f39。(a,b)時(shí)，有F(x)0,即證明了f(x)g(x)。(x)0,，則F(x)在(a,b)上是減函數(shù)，同時(shí)若F(a)163。點(diǎn)評：一般地，證明f(x)g(x),x206。(0,p)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)=0.∴f(x)=sinxxf(0)=0, 故當(dāng)x206。(0,p),∴f39。證明：設(shè)f(x)=sinxx,則f39。例2：當(dāng)x206。)時(shí)，f39。(x)=11x 可得：當(dāng)x206。且limf(x)=0=f(0)+x174。證明：令：f(x)=x－lnx，容易看出，f(x)在區(qū)間[0,+165?？紤]到f(0)=0，要證不等式變?yōu)椋簒0時(shí)，f(x)f(0)，這只要證明：f(x)在區(qū)間[0,+165。[0,+165。N，結(jié)論恒成立.??????????14分第二篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例1．已知x0，求證：xln(1+x)分析：設(shè)f(x)=x－lnx。k2k2時(shí)1結(jié)論成立，即當(dāng)l1+l2+L+lk=1時(shí)，f(l1+x1lL+x2+lk)xl(f)Lx+(1l2=k+,l2,L,lk+1滿足fk)+xnl(時(shí)，f)設(shè)xk+l1+l2+L+lk+11=，令m=l1+l2+L+lk，m1=l1m,m2=l2m,L,mk=lkm，則m+lk+1n=1，且m1+m2+L+mk=(l1x1+l2x2+L+lkxk+lk+1xk+1)=f[m(m1x1+L+mkxk)+lk+1xk+1] mf(m1x1+L+mkxk)+lk+1f(xk+1)mm1f(x1)+L+mmkf(xk)+lk+1f(xk+1)=l1f(x1)+L+lkf(xk)+lk+1f(xk+1)??????????13分\當(dāng)n=k+1時(shí)，①②，對任意n179。(x1,x2)，都有f(x)g(x).??????????8分（３）用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)n=2時(shí)，Ql1+l2=1，且l10，l20，\l1x1+l2x2206。(x0,x2)時(shí)，h162。(x1,x0)時(shí)，h162。(x)f162。(
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1