【正文】 大，或者說，遠(yuǎn)離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性大，(a)所示。這要求:　　(1)偏差x1E(X)小，相應(yīng)概率pi可以大一些；　　(2)偏差xiE(X)大，相應(yīng)概率pi必定小。　　由方差的定義知:　　其中xi=i。其中垂線高度就是相應(yīng)的概率。由此可知，推土機(jī)維修時(shí)間T的標(biāo)準(zhǔn)差σ=50分鐘?！　≡凇瞉中一盒三極管中不合格品數(shù)X的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=0+1+2+3+4 +5+6+7+8　　=　　Var(X)=()2+()2+()2 +()2()2+())2 +()2+()2+()2　　=　　σ(X)= 在[]中推土機(jī)的維修時(shí)間T的均值為:　　　　這表明推土機(jī)發(fā)生故障時(shí)，平均維修時(shí)間是50分鐘?！　≡凇瞉中隨機(jī)變量“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和Y”的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　計(jì)算結(jié)果表明，擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和的均值為7點(diǎn)、。方差的計(jì)算公式為:　　方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量與X的量綱相同，常對(duì)方差開方，記它的正平方根為σ，稱為標(biāo)準(zhǔn)差:　　由于σ與X的單位相同，在實(shí)際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)差σ來表示分布散布大小，但它的計(jì)算還是要通過先計(jì)算方差，然后開方來獲得。它的計(jì)算公式是:　　其中諸xi，pi和p(x)與上一小段中符號(hào)含義相同，這里不再重復(fù)?！　【涤脕肀硎痉植嫉闹行奈恢?，用E(X)表示，譬如E(X)=5，那意味著隨機(jī)變量X的平均值為5。類似地，該推土機(jī)發(fā)生故障而在100到300分鐘內(nèi)完成維修的概率為:　　　　該推土機(jī)發(fā)生故障而在300分鐘后才能完成維修的概率為:　　　　上述計(jì)算結(jié)果表明:%故障可在100分鐘內(nèi)修好，%的故障可在100 到300分鐘內(nèi)修好，%。其概率密度函數(shù)()為:　　　　　　現(xiàn)轉(zhuǎn)入尋求一些事件的概率，在上述假定下，這塊面積可用積分計(jì)算:　　順便指出，在計(jì)算面積時(shí)，一條直線的面積為零，譬如在這個(gè)例子中P(T=100)=0，即該推土機(jī)完成維修時(shí)間不早不遲恰好在100分鐘的概率為零，由于這個(gè)原因，事件“T≤100”與事件“T100”的概率是相等的，即P(T≤100)=P(T100)?！　　瞉用指數(shù)函數(shù)　　表示的概率密度函數(shù)稱為指數(shù)分布，記為Exp(λ)，其中λ0。　　地區(qū)(b)。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，對(duì)每一地區(qū)，???　　解:，則及格概率是:　　P(X≥50)=從50到100之間的面積(請(qǐng)讀者在圖上標(biāo)明)。而X在區(qū)間(a，b)上取值的概率P(aXb)為概率密度曲線以下，區(qū)間(a，b)上的面積()。這些不同的分布形式反映了質(zhì)量特性總體上的差別，這種差別正是管理層特別關(guān)注之處。這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式p(x)稱為概率密度函數(shù)，它就是表示質(zhì)量特性X隨機(jī)取值內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性?！　〖俣ㄎ覀円粋€(gè)接一個(gè)地測量產(chǎn)品的某個(gè)質(zhì)量特性值X，把測量得到的x值一個(gè)接一個(gè)地放在數(shù)軸上。當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)很多，分組很細(xì)時(shí)，連接直方圖中每個(gè)矩形上邊中點(diǎn)的折線就接近一條光滑的曲線，這條曲線的函數(shù)即為p(x)。記X為一盒中不合格品數(shù)，廠方經(jīng)多次抽查，根據(jù)近千次抽查的記錄，用統(tǒng)計(jì)方法整理出如下分布:　　從這個(gè)分布可以看出，最可能發(fā)生的不合格品數(shù)在1到3之間，而超過5個(gè)不合格品的概率很小，這兩個(gè)事件的概率分別為:　　P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=　　=　　P(X5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)　　=+　　=　　(二)連續(xù)隨機(jī)變量的分布　　連續(xù)隨機(jī)變量X的分布可用概率密度函數(shù)p(x)表示，許多書上也記為f(x)。Y取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下分布列:　　這個(gè)分布顯示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小。X取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下的分布列:　　從表中可見，事件“X=1”出現(xiàn)的機(jī)會(huì)最大。　　例[]擲兩顆骰子，其樣本空間為:　　　　考察與這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)的一些隨機(jī)變量:　　(1)設(shè)X表示“擲兩顆骰子，6點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)”，它的分布列為:　　　　(2)設(shè)Y表示“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和”:　　　　這些隨機(jī)變量X，Y都是各從一個(gè)側(cè)面表示隨機(jī)現(xiàn)象的一種結(jié)果，每個(gè)隨機(jī)變量的值是隨機(jī)的，但其分布告訴我們每個(gè)隨機(jī)變量取值概率，使人們不僅對(duì)全局做到心中有數(shù)，而且還看到X取哪些值的可能性大，X取哪些值的可能性小，譬如:　　X取0可能性最大，X取2的可能性最??；　　Y取7的可能性最大，Y取2，12的可能性最??；　　這些分布中的概率都可用古典方法獲得，每個(gè)概率都是非負(fù)的，其和均為1。這些可列在一張表上，清楚地表示出來:　　或用一個(gè)簡明的數(shù)學(xué)式子表示出來:　　P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n要求這些pi滿足以下兩個(gè)條件:pi≥0，p1+p2+…pn=1?！　?2)X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少?　　下面分離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量來敘述它們的分布，因?yàn)檫@兩類隨機(jī)變量是最重要的兩類隨機(jī)變量，而它們的分布形式是有差別的。　　二、隨機(jī)變量的分布　　隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的，但內(nèi)在還是有規(guī)律性的，這個(gè)規(guī)律性可以用分布來描述。類似地，檢驗(yàn)10個(gè)產(chǎn)品，其中不合格品數(shù)X是僅可能取0，1，…，10等11個(gè)值的離散隨機(jī)變量。設(shè)X表示檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品的不合格品數(shù)，則X是只能取0或1兩個(gè)值的隨機(jī)變量。　　(2)一臺(tái)電視機(jī)的壽命X(單位:小時(shí))是在[0，∞)上取值的連續(xù)隨機(jī)變量:“X=0”表示事件“一臺(tái)電視機(jī)在開箱時(shí)就發(fā)生故障”，“X≤10000”表示事件“電視機(jī)壽命不超過10000小時(shí)”，“X40000”表示事件“電視機(jī)壽命超過40000小時(shí)”。因?yàn)閄取0，1，2，…等值是隨機(jī)的?？捎秒S機(jī)變量X的取值來表示事件:“X=0”表示事件“鑄件上無瑕疵”，“X=2”表示事件“鑄件上有兩個(gè)瑕疵”，“X2”表示事件“鑄件上的瑕疵超過兩個(gè)”等等?！　　　，產(chǎn)品的性能一般都具有隨機(jī)性，所以每個(gè)質(zhì)量特性就是一個(gè)隨機(jī)變量?！　〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量僅取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)()，則稱此隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量，或離散型隨機(jī)變量。　　一、隨機(jī)變量　　用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。這是因?yàn)?　　　　〔]，如今有三個(gè)標(biāo)本獨(dú)立地在實(shí)驗(yàn)室制作，問三個(gè)標(biāo)本都被污染的概率是多少?　　解:設(shè)Ai=“第i個(gè)實(shí)驗(yàn)室標(biāo)本被污染”，i=1，2，3。　　(2)獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率　　設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨(dú)立?！　、?20歲的烏龜能活到200歲的概率是多少?類似有:　　即活到120歲的烏龜中大約有一半還能活到200歲?！　　　]，記事件AX=“烏龜活到X歲”，從表中可以讀出P(A20)=，P(A80)=。這與公式計(jì)算結(jié)果一致，這不是偶然的，任一條件概率都可這樣解釋?？梢娛录﨎的發(fā)生把原來的樣本空間Ω縮減為新的樣本空間ΩB=B。由古典定義可知:　　　　于是在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率為:　　　　這個(gè)條件概率也可以這樣來認(rèn)識(shí):當(dāng)已知事件B發(fā)生，就意味著其對(duì)立事件是不會(huì)發(fā)生了?！　⌒再|(zhì)6:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，有:　　P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)()　　其中第一個(gè)等式成立要求P(B)0，第二個(gè)等式成立要求P(A)0?！　?二)條件概率、概率的乘法法則及事件的獨(dú)立性　　(1)條件概率與概率的乘法法則　　條件概率要涉及兩個(gè)事件A與B，在事件B已發(fā)生的條件下，事件A再發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)。于是有:　　P(A1)=1/2，P(A2)=1/3，P(A1 A2)=1/6由于事件“兩場比賽中至少有一場獲勝”可用事件A1∪A2表示，所求概率為P(A1∪A2)。要使抽出的10件產(chǎn)品中有0件不合格品，即全是合格品，則10件必須從95件合格品中抽取，所以:　　　　類似地可算得:　　　　于是所求的概率是:　　P(A)=++= 可見事件A發(fā)生的概率很接近于1，發(fā)生的可能性很大；而它的對(duì)立事件=“抽10件產(chǎn)品中至少3件不合格品”的概率P()=1P(A)==，發(fā)生的可能性很小。余下就是用古典方法算得:Ai的概率。A3中所含這樣的樣本點(diǎn)較多，但其對(duì)立事件=“拋三枚硬幣，全是反面”={(反，反，反)}，只含一個(gè)樣本點(diǎn)，從等可能性可知P()=1/8。特別當(dāng)A與B不相容時(shí)，由于P(AB)=P(φ)=0，則:　　P(A U B)=P(A)+P(B)　　性質(zhì)5:對(duì)于多個(gè)互不相容事件A1，A2，A3，…，也有類似的性質(zhì):　　P(A1∪A2∪A3∪…)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…　　下面的例子可幫助我們理解這些性質(zhì)。這項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)鍵盤設(shè)計(jì)(有方便的地方安排使用頻率較高的字母健)、印刷鉛字的鑄造(使用頻率高的字母應(yīng)多鑄一些)、信息的編碼(使用頻率高的字母用較短的碼)、密碼的破譯等等方面都是十分有用的。人們對(duì)各類的英語書刊中字母出現(xiàn)的頻率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。這與用古典方法計(jì)算的概率是相同的。其結(jié)果()表明?！　　瞉說明頻率穩(wěn)定的例子　　(1)，許多人做了大量的重復(fù)試驗(yàn)，(正面)的變化情況，在重復(fù)次數(shù)N較小時(shí)，f波動(dòng)劇烈，隨著N的增大，f波動(dòng)的幅度在逐漸變小?！　?二)統(tǒng)計(jì)定義　　用概率的統(tǒng)計(jì)定義確定概率方法的要點(diǎn)如下:　　(1)與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的；　　(2)若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生kn次，則事件A發(fā)生的頻率為:　　頻率fn(A)確能反映事件A發(fā)生的可能性大小；　　(3)頻率fn(A)將會(huì)隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。先計(jì)算:　　這是在一次抽樣中，抽出不合格品的概率；　　這是在一次抽樣中，抽出合格品的概率。其中組合數(shù)　　是由于考慮到m個(gè)不合格品在n次放回抽樣中出現(xiàn)的次序所致，故Bm發(fā)生的概率為:　　特別，當(dāng)m=n時(shí)，P(Bn)=(M/N)n。再考慮到不合格品出現(xiàn)次序(不合格品可能在第一次抽樣出現(xiàn)，也可能在第二次抽樣中出現(xiàn)，…，也可能在第n次抽樣中出現(xiàn))故B1所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)共有nM(NM)n1?！　∈录﨎0=“全是合格品”發(fā)生必須從NM個(gè)合格品中用放回抽樣方式隨機(jī)抽取n次，它共含有(NM)n種取法，故事件B0的概率為:　　　　事件B1=“恰好有一件不合格品”發(fā)生，必須從NM個(gè)合格品中用放回抽樣抽取n1次，而從M個(gè)不合格品中抽一次。　　從N個(gè)產(chǎn)品中每次隨機(jī)抽取一個(gè)，檢查后放回再抽第二個(gè)，這樣直到抽出第n個(gè)產(chǎn)品為止。放回抽樣是抽一個(gè)，將其放回，均勻混合后再抽下一個(gè)。上例討論的是不放回抽樣，每次抽取一個(gè)，不放回，再抽下一個(gè)，這相當(dāng)于n個(gè)同時(shí)取出。因?yàn)?0個(gè)產(chǎn)品中只有2個(gè)不合格品，而要從中抽出3個(gè)或4個(gè)不合格品是不可能的。綜合這兩個(gè)不等式，可知m≤min(n，M)=r。依據(jù)乘法原則，事件Am共含有個(gè)樣本點(diǎn)。依據(jù)乘法原則，事件A1共含　　個(gè)樣本點(diǎn)。故事件A0的概率為　　事件A1=“恰好有1個(gè)不合格品”，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品只有一個(gè)不合格品，其他n1個(gè)是合格品，可分二步來實(shí)現(xiàn)?！　∈录嗀0=“恰好有0個(gè)不合格品”=“全是合格品”。以后對(duì)“隨機(jī)抽取”一詞都可作同樣理解?！　　瞉一批產(chǎn)品共有N個(gè)，其中不合格品有M個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)取出n個(gè)(n≤N)，問事件Am=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率是多少?　　從N個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)共有　　個(gè)不同的樣本點(diǎn)，它們組成這個(gè)問題的樣本空間Ω?！　±?，從10個(gè)產(chǎn)品中任取4個(gè)做檢驗(yàn)，所有可能取法是從10個(gè)中任取4個(gè)的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為:　　這是因?yàn)槿〕龅?個(gè)產(chǎn)品的全排列有4!=24種。假如上述抽取不允許放回，列所得排列數(shù)為10987=5040。注意，這里的r允許大于n。若r=n，稱為全排列，全排列數(shù)共有n!個(gè)，記為Pn，即:　　P＇n=n(n1)…(nr+1)，pn=n!　　(4)重復(fù)排列:從n個(gè)不同元素中每次取出一個(gè)作記錄，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)取r次所得的排列稱為重復(fù)排列。　　(3)排列:從n個(gè)不同元素中任取r(r≤n)個(gè)元素排成一列稱為一個(gè)排列。　　(2)加法原理:如果做某件事可由k類不同方法之一去完成，其中在第一類方法中又有m1種完成方法，在第二類方法中又有m2種完成方法，…，在第k類方法中又有mk種完成方法，那么完成這件事共有m1+m2+…+mk種方法?！　?1)乘法原理:如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1m2…mk種方法?！　　　∮霉诺浞椒ǐ@得概率常需要排列與組合的公式。　　(3)定義事件C=“點(diǎn)數(shù)之和超過9”={(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，它含有6個(gè)樣本點(diǎn)，故P(C)=6/36 =1/6?！　?1)定義事件A=“點(diǎn)數(shù)之和為2”={(1，1)}，它只含一個(gè)樣本點(diǎn)，故P(A)=1/36?！　?一)古典定義　　用概率的古典定義確定概率方法的要點(diǎn)如下:　　(1)所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n個(gè)樣本點(diǎn)；　　(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的(等可能性)；　　(3)若被考察的事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為:　　　　〔]擲兩顆骰子，其樣本點(diǎn)可用數(shù)對(duì)(x，y表示，其中x與y分別表示第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。概率愈大，事件發(fā)生的可能性就愈大；概率愈小，事件發(fā)生的可能性也就愈小。一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生可能性的大小用這個(gè)事件的概率P(A)來表示?！　?3)購買彩券的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)有多少呢?如1993年7月發(fā)行的