【正文】 ?？傮w來說，權(quán)向量要獲得收斂只有當最緩慢的權(quán)集中一點。以任意初始向量w(0)來開始，向量w(n)集中在最佳解決方法w0，假如選u （311）為矩陣R的最大特征值，受限制于 （312）Tr[]為指示矩陣的軌跡，是平均輸入功率。按照最陡下降法調(diào)節(jié)濾波系數(shù)，則在n+1時刻的濾波系數(shù)或權(quán)矢量w(n+l)可以用下列簡單遞歸關(guān)系來計算: （310）u是自適應步長來控制穩(wěn)定性和收斂率。因此，梯度預測可以單一化表示為: （39）在實際應用中，2u經(jīng)常用來代替u。對于LMS算法梯度v(n)通過假設平方誤差。這個方法可以避免復雜的計算。自適應過程是在梯度矢量的負方向接連的校正濾波系數(shù)的，即在誤差性能曲面的最陡下降法方向移動和逐步校正濾波系數(shù)，最終到達均方誤差為最小的碗底最小點，獲得最佳濾波或準最優(yōu)工作狀態(tài)。當濾波器工作在平穩(wěn)隨機過程的環(huán)境下，這個誤差性能曲面就具有固定邊緣的恒定形狀。最優(yōu)解最小化MSE，源自解這個公式 （37）將式（36）對w求其偏導數(shù)，并令其等于零，假設矩陣R滿秩(非奇異)，可得代價函數(shù)最小的最佳濾波系數(shù)： （38）這個解稱為維納解，即最佳濾波系數(shù)值。由式(36)可見，自適應濾波器的代價函數(shù)是延遲線抽頭系數(shù)的二次函數(shù)。假如公式中的y(n)被公式(34)取代，式(35)就可以表示為 （36）是自相關(guān)矩陣，是輸入信號的自相關(guān)矩陣。顯然，自適應濾波器控制機理是用誤差序列e(n)按照某種準則和算法對其系數(shù){wi(n)}，i=1，2，…，N進行調(diào)節(jié)的，最終使自適應濾波的目標(代價)函數(shù)最小化，達到最佳濾波狀態(tài)。這種自適應算法使用誤差信號 （32）為了方便起見，將上述式子表示為向量形式，則上述式子表示為: （33）誤差序列可寫為 （34）其中d(n)是期望信號，y(n)是濾波器的輸出。濾波器的輸出信號y(n)是 （31）T表示轉(zhuǎn)置矩陣， n是時間指針，N是濾波器次數(shù)。這算法不需要計算相應的相關(guān)函數(shù)，也不需要進行矩陣運算。第三章 自適應濾波算法 最小均方誤差（LMS）算法最小均方算法即LMS算法是B．widrow和Hoff于1960年提出的：由于實現(xiàn)簡單且對信號統(tǒng)計特性變化具有穩(wěn)健件，LMS算法獲得了極廣泛的應用。它們明顯的區(qū)別是基于最小均方誤差自適應格型濾波器的每一節(jié)前后向反射系數(shù)相等，而最小二乘格型濾波器的每一節(jié)前后向反射系數(shù)不同。特別適用于要求快速收斂和跟蹤快速時變信號的應用場合。該結(jié)構(gòu)的算法依據(jù)是由NormanLevinson于1947年和由Durbin于1960年對Toeplitz矩陣改進的李文遜一杜賓( LevinsonDurbin)算法。如圖25所示。采用得最多的自適應遞歸濾波器結(jié)構(gòu)是如圖24所示的直接形式結(jié)構(gòu)，自適應濾波器傳輸函數(shù)分母的系數(shù)為，傳輸函數(shù)分子的系數(shù)為，其中N和M分別是自適應濾波器分母和分子的階數(shù)。對有些利用橫向濾波器實現(xiàn)時需要數(shù)百個甚至上千個抽頭系數(shù)，可以考慮使用自適應遞歸濾波器。 自適應遞歸濾波器 自適應遞歸濾波器是指零點和極點都能自適應調(diào)整的濾波器，它的傳輸函數(shù)中分子和分母通常具有獨立的迭代步長因子。它利用正規(guī)直接形式實現(xiàn)全零點傳輸函數(shù)，而不采用反饋調(diào)節(jié)。它是研究所有自適應濾波算法的基本結(jié)構(gòu)，由于其結(jié)構(gòu)簡單、成本較低，也是工程領域最常用的一種自適應濾波器。自適應遞歸濾波器具有IIR的結(jié)構(gòu)形式，由于存在反饋，系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性是設計自適應遞歸濾波器時需要注意的主要問題。其中自適應FIR濾波器又稱為橫向濾波器。另外，不同的結(jié)構(gòu)還有特定的應用場合，需要根據(jù)實際環(huán)境來選擇相應的結(jié)構(gòu)和算法。 自適應濾波器的結(jié)構(gòu)自適應濾波器的結(jié)構(gòu)與算法有著密切的聯(lián)系，因為自適應濾波器既要估計濾波器能實現(xiàn)期望信號的輸出，又要估計濾波參數(shù)朝有利于目標方向的調(diào)整，并保證濾波器的穩(wěn)定工作。對稱的橫截型結(jié)構(gòu)可滿足符合對稱性條件的FIR濾波器，具有權(quán)系數(shù)少，計算量小的特點，并可以用流水線提高性能，但收到對稱性條件的約束。一個自適應的FIR濾波器的結(jié)構(gòu)，可以是橫截型結(jié)構(gòu)，對稱的橫截型結(jié)構(gòu)以及格型結(jié)構(gòu)。所以在實際應用中一般都采用FIR型結(jié)構(gòu)，主要是因為:FIR結(jié)構(gòu)的自適應技術(shù)實現(xiàn)更容易，其權(quán)系數(shù)的修正就就是濾波器性能的調(diào)整，同時 FIR結(jié)構(gòu)的濾波器是絕對穩(wěn)定的，目_具有更好的魯棒性，這也更適合實時嵌入式應用。線性自適應濾波器的結(jié)構(gòu)可以是FIR型結(jié)構(gòu)，也可以是IIR型結(jié)構(gòu)。非線性自適應濾波器具有更強的信號處理能力，在神經(jīng)網(wǎng)絡和模糊神經(jīng)網(wǎng)絡有著明顯的優(yōu)勢，具有通過監(jiān)督學習逼近未知非線性輸入輸出映射的能力。根據(jù)濾波器的輸出端信號與輸入端信號之間的函數(shù)關(guān)系，自適應濾波器可以分為線性自適應濾波器和非線性自適應濾波器。可編程濾波器可以是FIR橫式濾波器、IIR橫式濾波器以及格型濾波器。一般而言，自適應濾波器由可編程濾波器(濾波部分)和自適應算法(控制部分)兩部分組成。自適應濾波器實際上是一種能夠自動調(diào)整本身參數(shù)的特殊維納濾波器，在設計時不需要預先知道關(guān)十輸入信號和噪聲的統(tǒng)計特性，它能夠在工作過程中逐步了解或估計出所需的統(tǒng)計特性，并以此為依據(jù)自動調(diào)整自身的參數(shù)，以達到最佳濾波效果。自適應濾波器可以從不同的角度進行分類，按其數(shù)字結(jié)構(gòu)可以分為開環(huán)自適應濾波器和閉環(huán)自適應濾波器；按自適應處理器（參數(shù)可變得數(shù)字濾波器）可以分為非遞歸自適應濾波器和遞歸自適應濾波器；按其自適應算法可以分為LMS自適應濾波器、RLS自適應濾波器等等。自適應處理器是前面介紹的數(shù)字濾波器（FIR或IIR），所不同的是，這里的數(shù)字濾波器是參數(shù)可變的。自適應濾波器由數(shù)字結(jié)構(gòu)、自適應處理器和自適應算法三部分組成。但是，當調(diào)整過程結(jié)束、自動調(diào)整過程不再進行時，如果自適應濾波器為線性系統(tǒng)，就稱它為線性自適應濾波器。實際中廣泛應用的是線性自適應濾波器。自適應濾波器有調(diào)整自己的能力，它的最大特點是時變性和自調(diào)整性。最小均方誤差準則是使誤差的均方值最小，它包含了輸入數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特性，準則將在下面章節(jié)中討論；最小二乘準則是使誤差的平方和最小，它也將在下面的章節(jié)中詳細討論。 自適應濾波器的基本理論所謂自適應濾波，就是利用前一時刻已獲得的濾波器參數(shù)等結(jié)果，自動地調(diào)節(jié)現(xiàn)時刻的濾波器參數(shù)，以適應信號和噪聲未知的或隨時間變化的統(tǒng)計特性，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。以往的濾波器大多采用模擬電路技術(shù)，但是，模擬電路技術(shù)存在很多難以解決的問題，例如，模擬電路元件對溫度的敏感性，等等。總之數(shù)字濾波器精確度高、使用靈活、可靠性高，具有模擬設備所沒有的許多優(yōu)點，已廣泛地應用于各個科學技術(shù)領域, 例如數(shù)字電視、語音、通信、雷達、聲納、遙感、圖像、生物醫(yī)學以及許多工程應用領域。因此FIR濾波器可設計出理想正交變換器、理想微分器、線性調(diào)頻器等各種網(wǎng)絡，適應性很廣。l IIR濾波器主要是設計規(guī)格化、頻率特性為分段常數(shù)的標準低通、高通、帶通和帶阻濾波器。窗函數(shù)法只給出了窗函數(shù)的計算公式，但計算通帶和阻帶衰減仍無顯式表達式。一旦選定了已知的一種逼近方法(如巴特奧茲，切比雪夫等)，就可以直接把技術(shù)指標帶入一組設計方程計算出濾波器的階次和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)(或極點和零點)。IIR濾波器不能進行這樣的運算。對于這種結(jié)構(gòu)，運算中的舍入處理有時會引起寄生振蕩。l FIR濾波器主要采用非遞歸結(jié)構(gòu)，因而無論是理論上還是實際的有限精度運算中他都是穩(wěn)定的，有限精度運算誤差也較小。如果要使IIR濾波器獲得線性相位，又滿足幅度濾波器的技術(shù)要求，必須加全通網(wǎng)絡進行相位校正，這同樣將大大增加濾波器的階數(shù)。l 在很多情況下,FIR數(shù)字濾波器的線性相位與它的高階數(shù)帶來的額外成本相比是非常值得的。例如，用頻率抽樣法設計一個阻帶衰減為20dB的FIR數(shù)字濾波器，要33階才能達到要求，而用雙線性變換法只需4～5階的切比雪夫IIR濾波器就可達到同樣的技術(shù)指標。為了能在實際工作中恰當?shù)剡x用合適的濾波器，現(xiàn)將兩種濾波器特點比較分析如下：l 選擇數(shù)字濾波器是必須考慮經(jīng)濟問題，通常將硬件的復雜性、芯片的面積或計算速度等作為衡量經(jīng)濟問題的因素。DSP芯片較之單片機有著更為突出的優(yōu)點，如內(nèi)部帶有乘法器、累加器，采用流水線工作方式及并行結(jié)構(gòu)，多總線，速度快，配有適于信號處理的指令等，DSP芯片的問世及飛速發(fā)展，為信號處理技術(shù)應用于工程實際提供了可能。目前單片機的發(fā)展速度很快，功能也很強依靠單片機的硬件環(huán)境和信號處理軟件可用于工程實際，如數(shù)字控制、醫(yī)療儀器等。這種實現(xiàn)方法速度較慢，多用于教學與科研。軟件可以由使用者自己編寫或使用現(xiàn)成的。之后，利用數(shù)字濾波器的設計方法，設計出一個實際濾波器模型來逼近給定的目標。確定了技術(shù)指標后，就可以建立一個目標的數(shù)字濾波器模型。運用線性相位響應指標進行濾波器設計具有如下優(yōu)點：①只包含實數(shù)算法，不涉及復數(shù)運算；②不存在延遲失真，只有固定數(shù)量的延遲；③長度為N的濾波器(階數(shù)為N1)，計算量為N/2數(shù)量級。在工程實際中，這種指標最受歡迎。第二種指標是相對指標。第一種是絕對指標。因此，指標的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應。數(shù)字濾波器設計的基本步驟如下：在設計一個濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術(shù)指標。數(shù)字濾波器的設計方法有多種，如雙線性變換法、窗函數(shù)設計法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。這種濾波器一般需要用遞歸模型來實現(xiàn)，因而有時也稱之為遞歸濾波器。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)濾波器和有限長沖激響應(FIR)濾波器。在不考慮量化影響時，這些不同的實現(xiàn)方法是等效的；但在考慮量化影響時，這些不同的實現(xiàn)方法性能上就有差異。對于研究系統(tǒng)的實現(xiàn)方法，即它的運算結(jié)構(gòu)來說，用框圖表示最為直接。與模擬濾波器不同的是，數(shù)字濾波器處理的信號是離散的數(shù)字信號。用來說明濾波器性能的技術(shù)指標主要有：中心頻率f0，即工作頻帶的中心；帶寬BW；通帶衰減，即通帶內(nèi)的最大衰減；阻帶衰減。但是，切比雪夫響應濾波器對于元件的變化最不敏感，而且兼具良好的選擇性與很好的駐波特性（位于通帶的中部），所以在一般的應用中，推薦使用切比雪夫響應濾波器。而切比雪夫響應帶通濾波器卻具有更陡的衰減特性。該響應非常平坦，非常接近DC信號，然后慢慢衰減至截止頻率點為3dB，最終逼近20ndB/decade的衰減率，其中n為濾波器的階數(shù)。：幾種主要的模擬濾波器有巴特沃斯響應（最平坦響應）、切貝雪夫響應以及橢圓濾波器，它們各有自己的特點以及相應的適用場合。對幅頻響應，通常把能夠通過的信號的頻率范圍定義為通帶，而把受阻或衰減的信號頻率范圍稱為阻帶，通帶和阻帶的界限頻率稱為截止頻率。輸入、輸出均為模擬信號的濾波器即模擬濾波器。信號在它的產(chǎn)生、轉(zhuǎn)換、傳輸?shù)拿恳粋€環(huán)節(jié)都可能由于環(huán)境和干擾的存在而畸變，有時，甚至是在相當多的情況下，這種畸變還很嚴重，以致于信號及其