【正文】 ,]最大值3600對于測試函數(shù)Ⅰ，目標為求該函數(shù)的最小值，最優(yōu)值為0，在（1，1）點取到。 測試函數(shù)與測試環(huán)境為了考察標準粒子群算法的性能，對兩個典型的測試函數(shù)進行優(yōu)化。這個函數(shù)使得粒子群算法在剛開始時傾向于開掘，然后逐漸轉(zhuǎn)向開拓，從而在局部區(qū)域調(diào)整解。根據(jù)以上分析，他們不是把慣性權(quán)重設(shè)為定值，而是設(shè)為一個隨時間線性減少的函數(shù)，慣性權(quán)重的函數(shù)形式通常如式（31）所示。當然，這時的粒子群算法會需要更多的迭代來達到全局最優(yōu)解，且更有可能找不到全局最優(yōu)解。如果最優(yōu)解是在初始搜索空間內(nèi)，粒子群算法將會很容易找到全局最優(yōu)，否則它會找不到全局最優(yōu)。為了研究慣性權(quán)重對粒子群算法性能的影響，Shi和Eberhart將此算法應(yīng)用到Schaffer’s 函數(shù)中，這是個著名的評價優(yōu)化算法的基準函數(shù)。 （32）位置更新公式與基本粒子群算法更新公式相同。對于不同的問題，局部最優(yōu)能力和全局最優(yōu)能力的權(quán)衡也不一樣。所以求解結(jié)果非常依賴于初始群體。所以如果沒有第一部分，粒子群算法的搜索空間將會隨著進化而收縮。假定剛開始粒子處于較優(yōu)位置，那么粒子的飛行速度將會是0，即它會保持靜止狀態(tài)，直到其他粒子找到比粒子所處位置還要好的解，從而替代了全局最優(yōu)解。如果沒有后面兩部分，粒子將會保持相同的速度朝一個方向飛行，直到到達邊界，這樣粒子很大可能會找不到最優(yōu)解，除非最優(yōu)解恰好在粒子直線飛行的軌跡上，但這種情況是很少的。(粒子群算法及應(yīng)用P19)為了改善基本粒子群算法的性能，Shi和Eberhart在1998年的IEEE國際進化計算學術(shù)會議上發(fā)表了題為“A modified particle swarm optimizer”的理論，引入了慣性權(quán)重，逐漸地大家都默認這個改進粒子群算法為“標準粒子群算法”。另外，還出現(xiàn)了一些量子粒子群算法、基于模擬退火的粒子群算法以及求解幾何約束問題的粒子群算法等。高鷹等人則引入免疫機制的概念，提高粒子群的多樣性和自我調(diào)節(jié)能力，以增強粒子的全局搜索能力。Lvbjerg[53]在粒子群每次迭代后，按幾率在粒子間交換各維，通過交叉來生成更優(yōu)秀的粒子群算法對某些多峰函數(shù)效果較好。但是對于簡單函數(shù)后期收斂速度較慢。 （36） （37）式中，表示第代粒子的飛行時間；表示粒子最長飛行時間；為比例系數(shù)，起調(diào)節(jié)作用。自適應(yīng)調(diào)整飛行時間法動態(tài)調(diào)整飛行時間，隨著迭代代數(shù)的增加，飛行時間線性減少。 （35）小生境粒子群法收斂速度較慢，主要應(yīng)用于多峰函優(yōu)化，對單峰函數(shù)效果不佳。2002年Brits等[50]將小生境技術(shù)引入粒子群優(yōu)化算法中，小生境法除去影響粒子間信息交流的“社會部分”，增強粒子局部搜索能力，每個粒子飛向離它最近的山峰，即形成小生境。但是，實際上這些研究也僅僅局限于部分問題的應(yīng)用，無法推廣到所有問題域。這種方法確實加速了算法的收斂，尤其在單峰值函數(shù)的測試表現(xiàn)突出。Shi和Eberhar建議，為了平衡隨機因素的作用，通常設(shè)，后來Clerc推導出，也有研究者認為和不等，并由實驗得出。當，則粒子之間沒有社會信息共享，亦即“只有自身認知（cognitiononly）”的模型。在粒子相互作用下，算法有能力達到新的搜索空間。此時，由于粒子只能搜索有限的區(qū)域，故很難找到好解。小的加速常數(shù)值，可使粒子在遠離目標區(qū)域內(nèi)振蕩；而大的加速常數(shù)可使粒子迅速向目標區(qū)域移動，甚至又離開目標區(qū)域。但是，收縮因子法在處理單峰函數(shù)或者其它比較光滑的較為簡單的函數(shù)時，比起基本粒子群算法，收斂速度稍微慢一點。相當于在速度更新公式中。收縮因子是關(guān)于、的函數(shù)，定義的公式如式（33）、（34）所示。這是目前使用最廣泛的粒子群算法形式。陳貴敏等在LDW的基礎(chǔ)上，又給出了三種非線性的慣性權(quán)重遞減策略，發(fā)現(xiàn)對于多數(shù)連續(xù)優(yōu)化問題，凹函數(shù)遞減策略優(yōu)于線性策略，而線性策略優(yōu)于凸函數(shù)策略。在該算法中，慣性權(quán)重的變化受算法運行態(tài)勢影響，是由粒子群的進化速度和粒子群的聚集度綜合決定的。2001年Shi又提出用模糊規(guī)則動態(tài)地修改值和隨機慣性權(quán)重（RIW）取值策略。典型取值=、=，但是還有兩個缺點：其一迭代初期局部搜索能力較弱，即使初始粒子已接近于全局最優(yōu)點，也往往錯過，而在迭代后期，則因全局搜索能力變?nèi)?，而易陷入局部極值。在算法初期，取值較大，有利于粒子探索未知區(qū)域，擴大搜索空間。現(xiàn)在采用較多的是Shi建議的線性遞減權(quán)重（LDW）策略， 速度更新公式在式（21）的基礎(chǔ)上加上慣性權(quán)值，調(diào)整為式（31）（32）所示。在搜索過程中，全局搜索能力和局部搜索能力的平衡關(guān)系對于算法的性能起著舉足輕重的作用。1）慣性權(quán)重法粒子群優(yōu)化算法以種群行為來激勵粒子的運動。對參數(shù)的改進包括對慣性權(quán)值、學習因子和、每一代粒子的飛行時間等的調(diào)整。因此，以改進粒子群算法為出發(fā)點尋找盡量簡單有效的改進粒子群算法，是十分必要和有意義的。第三章 改進的粒子群算法 引言針對基本粒子群算法早熟收斂和穩(wěn)定性差的缺點，基于不同的策略，已產(chǎn)生大量改進的粒子群優(yōu)化算法。 本章小結(jié)本章詳細介紹了粒子群算法的起源背景、基本思想以及基本粒子群算法的實現(xiàn)，最后簡單介紹了該算法的主要應(yīng)用及其研究方向?？偟膩碚f，粒子群優(yōu)化算法與其他進化算法一樣，可以解決大部分的優(yōu)化問題，或可以轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題進行求解的問題。與傳統(tǒng)的工業(yè)優(yōu)化方法比較，粒子群算法產(chǎn)生合成結(jié)果的適應(yīng)度是傳統(tǒng)方法的兩倍。與傳統(tǒng)方法如專家系統(tǒng)、敏感性分析相比，實驗結(jié)果證明粒子群算法在解決該題上具有一定的優(yōu)勢。在其他疾病的診斷如乳腺腫瘤良性或惡性的判斷，心臟病的診斷，粒子群算法訓練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也取得了較高的診斷成功率。經(jīng)粒子群算法訓練的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)能夠區(qū)分人的本能震顫和病理性震顫。首先，通過訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，粒子群優(yōu)化算法已成功應(yīng)用到對醫(yī)學中震顫的分析。3） 工程應(yīng)用實際的工程問題往往可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)優(yōu)化問題求解。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓練問題屬于非線性的高復雜度的優(yōu)化問題。2） 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓練工業(yè)、經(jīng)濟、醫(yī)療等領(lǐng)域的許多實際問題如質(zhì)量控制、破產(chǎn)預測、圖像識別、醫(yī)療診斷等可以轉(zhuǎn)換為模式分類問題求解。Angeline經(jīng)過大量的使用研究發(fā)現(xiàn)，粒子群優(yōu)化算法在解決一些典型的函數(shù)優(yōu)化問題時，能夠取得比遺傳算法更好的優(yōu)化結(jié)果[14]。1） 函數(shù)優(yōu)化許多實際的工程問題本質(zhì)上是函數(shù)優(yōu)化問題或可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)優(yōu)化問題進行求解，對于函數(shù)優(yōu)化已經(jīng)有一些成熟的解決方法如遺傳算法。 粒子群算法的主要應(yīng)用粒子群算法由于計算快速和本身的易實現(xiàn)性，一經(jīng)提出就受到了廣泛關(guān)注，各種關(guān)于粒子群算法應(yīng)用研究的成果不斷涌現(xiàn)。其中比較成熟的有遺傳算法、蟻群算法等，而粒子群算法是一個新興的群體智能算法，目前已成為今后算法的一個重要分支，如何從多方面比較各種算法從而得到各自的特長和不足，如何吸引其他進化類算法的優(yōu)勢來彌補PSO算法的不足也是當前研究的熱點之一。如何利用有效數(shù)學工具對PSO算法的運行行為、收斂性以及計算復雜性進行分析也是目前的研究熱點之一。國內(nèi)在該領(lǐng)域的研究剛剛起步，深入的研究和應(yīng)用還很少，已發(fā)表的論文也不多PSO算法的研究還有大量工作要做，主要的研究方向如下幾個方面：1）粒子群算法的改進粒子群算法由于算法原理簡單，存在早熟收斂和穩(wěn)定性差的問題，如何改進算法以預防早熟收斂和提高算法穩(wěn)定性值得深入研究。 粒子群算法的研究方向粒子群算法自提出以來，在國外得到了相關(guān)領(lǐng)域眾多學者的關(guān)注和研究，CEC國際年會上，粒子群算法已經(jīng)被作為一個獨立的研究分支。2004年，IEEE3會議粒子群算法專集指出了粒子群算法目前研究的主要問題：算法收斂性的分析、粒子群拓撲結(jié)構(gòu)、參數(shù)選擇與優(yōu)化、與其它進化算法融合技術(shù)、應(yīng)用領(lǐng)域的開拓等等。對粒子群算法參數(shù)的研究，研究最多的是關(guān)于慣性權(quán)重的取值問題和算法融合，部分改進算法如表22所示：表22 改進的粒子群算法算法名稱作者算法特點算法文獻提出年份基本粒子群算法,.粒子的速度和位置更新引入慣性權(quán)重文獻[18][19]1995離散型粒子群算法,.用于解決組合優(yōu)化問題、旅行商等離散問題文獻[38][39]19972001帶交叉算子的粒子群算法、帶變異算子的粒子群算法、帶選擇算子的粒子群算法,H,李寧等實現(xiàn)技術(shù)與遺傳算法(GA)非常相似，在粒子群算法中加入交叉算在、變異算子、選擇算子文獻[26][27][28][29]20012004模擬退火粒子群算法高鷹,謝勝利采用模擬退火算法思想限制位置更新，提高了算法的收斂速度文獻[32]2004混沌粒子群算法高鷹,楊俊杰,把混沌尋優(yōu)(Chaos)思想引入到粒子群優(yōu)化算法中，使得粒子群體的進化速度加快，提高了算法的收斂速度和精度文獻[35][36][37]20042005完整的GAPSO混合規(guī)劃算法吳曉軍等比一般遺傳規(guī)劃算法更優(yōu)文獻[31]2005（表格還有待補充20052010文獻）各種關(guān)于粒子群算法應(yīng)用研究的成果不斷涌現(xiàn)，有力地推動了粒子群算法的研究。文獻[1517]展開了一系列研究，取得了一些建設(shè)性的成果，如關(guān)于算法收斂性的分析。其研究大致可分為：算法本身、參數(shù)選取、拓撲結(jié)構(gòu)、與其他進化技術(shù)的融合及應(yīng)用、算法應(yīng)用。不同的解的初始化可能導致不同的最優(yōu)解，簡單的函數(shù)更容易取得最優(yōu)解，而較復雜的函數(shù)更容易陷入局部極值，從而導致算法的穩(wěn)定性差。這主要是由于算法的參數(shù)設(shè)計不恰當?shù)仍驅(qū)е略谟嬎氵^程中粒子的多樣性迅速地消失。如果該位置為一局部最優(yōu)點，粒子群就無法在解空間內(nèi)重新搜索，因此，算法陷入局部最優(yōu)，出現(xiàn)了所謂的早熟收斂的現(xiàn)象。但其概念簡單，易于實現(xiàn)的同時也存在早熟收斂以及穩(wěn)定性差等缺點。 基本粒子群算法的優(yōu)缺點基本粒子群算法最大的優(yōu)點在于概念簡單，易于理解，且參數(shù)少，易于實現(xiàn)。輸出結(jié)果：輸出最終結(jié)果和其對應(yīng)的位置。如果，那么全局最優(yōu)值；如果且，則；如果但，則。如果，那么每個粒子的個體歷史最優(yōu)值均取當前粒子的適應(yīng)值；如果且，則；如果t0但，則。計算適應(yīng)值：針對每個粒子當前位置，根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計算得粒子的適應(yīng)值。如此循環(huán)100次，對100個粒子進行初始化。每個粒子的初始速度按位置方向的三個維度分別進行設(shè)置，與初始化位置的方法類似，對100個粒子的速度的逐個維度進行初始化。如此循環(huán)100次，對100個粒子進行初始化。2）位置初始化：對這100個粒子的位置逐個進行編碼。對于當前問題，粒子可以直接編碼為，適應(yīng)度函數(shù)就是。具體實例如表21所示：表21：測試函數(shù)實例目標函數(shù)自變量范圍極值條件最小值粒子群算法解決優(yōu)化問題的過程中有兩個重要的步驟：問題的編碼和適應(yīng)度函數(shù)。步驟輸出全局最優(yōu)，算法運行結(jié)束?；玖Ｗ尤核惴ǖ拇篌w實現(xiàn)步驟如下：步驟在初始化范圍內(nèi)，對粒子群進行隨機初始化，即包括基本參數(shù)設(shè)置、粒子的初始位置以及初始速度；步驟根據(jù)目標函數(shù)計算每個粒子的適應(yīng)值；步驟更新每個粒子的個體最優(yōu)和整個群體的全局最優(yōu)；步驟根據(jù)式（21）和式（22）對粒子的速度和位置進行更新；步驟判斷是否滿足終止條件。而且很多參數(shù)的大與小，是相對而言，必須是在了解所有參數(shù)意義的情況下，結(jié)合其他所有參數(shù)的選取來分析該參數(shù)應(yīng)該如何設(shè)置。不能只調(diào)節(jié)其中的某一個參數(shù)，不能說某個參數(shù)取某個值適合這個問題，參數(shù)是一組一組來取。如果是對解的精度有要求，則將代與代之間解的差值精度達到某個特定值為終止條件，如：；如果對時間有所要求，可以設(shè)置最大的迭代次數(shù)，不管求解情況如何，解的精度如何，只要達到了最大的迭代次數(shù)則停止。在優(yōu)化問題中通常取2，不過在文獻中也有取其他的值，但一般等于并且范圍在0和4之間。如果牽引力過大，則粒子的探測能力變?nèi)酰菀紫萑刖植繕O值；如果牽引力過小，算法的收斂速度太慢，花費時間較長。學習因子、：學習因子、分別與、的乘積決定粒子受自身最優(yōu)位置和歷史最優(yōu)位置牽引的大小，由于、取之間的數(shù)，、此時起到基數(shù)的作用。假設(shè)搜索空間的第維定義的區(qū)間為，則通常取，每一維都用相同的方法設(shè)定[13]。最大速度是一個非常重要的參數(shù)。不過對于比較難的問題或者特定類別的問題，粒子數(shù)可取到100或200。如果粒子數(shù)太少，很容易陷入局部極值，迭代次數(shù)再多也無法跳出；如果粒子數(shù)太多，每一代進化的效果有限，但計算卻花費了大量時間，在要取得同等最優(yōu)解效果的情況下需要長時間的等待，是不劃算的。根據(jù)多年來人們對粒子群算法的研究與總結(jié)，發(fā)現(xiàn)各個參數(shù)在某些設(shè)置范圍內(nèi)模型效果較理想，具有一定的參考價值?；玖Ｗ尤核惴ǖ哪Ｐ驮O(shè)計充分體現(xiàn)了粒子群算法的基本思想，通過給不同的影響因素添加權(quán)重以達到相互協(xié)作，并且各參數(shù)可根據(jù)具體情況進行設(shè)置，具有很大的靈活性和適應(yīng)性。由（22）式可知，粒子的新速度主要由三部分決定：1）粒子原始速度；2）粒子當前位置與自身最優(yōu)位置的距離；3）粒子當前位置與群體最優(yōu)位置的距離。用，,表示第個粒子的位置向量；，,表示第個粒子的飛行速度；，, 表示第個粒子迄今為止搜索到的最好位置；，, 表示整個粒子群找到的最優(yōu)位置。假設(shè)在一個維搜索空間中，PSO算法初始化為個隨機粒子，每個粒子位置表示一個潛在解。 基本粒子群算法模型與實現(xiàn)從粒子群算法的基本思想克制，每個粒子是在其當前位置、當前速度、自身歷史最優(yōu)位置以及全局最優(yōu)位置的協(xié)調(diào)作用下進行位置調(diào)整的。粒子群優(yōu)化搜索正是在由這樣一群隨機初始化形成的粒子而組成的一個種群中，以迭代的方式進行的。單個粒子移動原理如圖22所示：圖22：粒子群移動原理 Figure 22 :Moving Principle of particles從社會學的角度來看[13]，圖中為vk粒子的先前速度，稱為記憶項，是在慣性的作用下繼續(xù)朝原來的方向運動；pbestkzk為“認知(Cognition)”部分，表示粒子自身的經(jīng)驗，是在自身經(jīng)歷最優(yōu)位置的牽引下運動；gbestkzk為“社會(Social)”部分，表示粒子間的信