【正文】 0 變到 ? 時， tan(? /2)由0變到 ∞，即 s平面的整個虛軸 j? 只映射到 z平面單位圓一周，這種頻率映射關系利用了正切函數(shù)的非線性特點，把整個 j? 壓縮到了 ? 到 ? ，即單位圓一周，從而使得 s 平面到 z 平面之間的映射為一一對應的關系，避免 了混疊現(xiàn)象。 %求衰減的分貝 程序運行結果如下 。 %確定坐標軸范圍 h=freqz(bz,az,omega)。)。fprintf(39。%.4e39。)。 disp(39。\n39。,bz)。 %下面是顯示分子、分母多項式系數(shù) fprintf(39。分子系數(shù) b39。 %b、 a 分別為模擬濾波器的分子分母按降冪排列的多項式系數(shù) [bz,az]=impinvar(b,a,1/Ts)。s39。經(jīng)過式 (42)的映射， s平面的左半平面映射為 Z 平面的單位圓內，因此，一個因果的和穩(wěn)定的模擬濾波器映射成因果的和穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。采樣信號的拉式變換與相應的采樣序列 Z變換的映射關系為： ez sT? (42) 所以系統(tǒng)函數(shù) G(s)和 H(z)的關系為： ? ? ? ?? ??? ????? k ssez jksGTzH sT 1| (43) 式 (41)的物理意義為首先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) G(s)作周期的延拓，在經(jīng)過式 (42)的映射變換，映射到 Z 平面上，從而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 設系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 G(s)的模擬濾波器的單位脈沖響應為 g(t),并將脈沖響應h(t)進行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位抽樣響應 h(n)剛好等于 h(t)的采樣值，即： ? ? ? ?g | stnTh n t ?? (41) 其中的 Ts 為采樣周期。其中，最重要的有兩種：脈沖響應不變法（保持脈沖響應不變，又叫沖激響應不變法）和雙線性 Z變換法（保持系統(tǒng)函數(shù)不變）。 IIR 濾波器的 MATLAB 的實現(xiàn) 在設計了模擬低通濾波器后，就可以把它們變成數(shù)字濾波器了。經(jīng)典的 IIR 濾波器的設計方法就是按照一定的變換原理轉化為數(shù)字濾波器。它和 FIR 濾波器相比 在滿足相同性能指標要求的前提下， IIR 濾波器的階數(shù)低于 FIR濾波器； FIR 濾波器的相位是線性的，而 IIR 濾波器的相位是非線性的。 但是，同一種系統(tǒng)函數(shù) H(z)可以有多種結構，它的基本網(wǎng)絡結構有直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、級聯(lián) 型和并聯(lián)型四種。軟件方式實現(xiàn)的優(yōu)點是可以通過濾波器參數(shù)的改變去調整濾波器的性能。在數(shù)字信號處理中，數(shù)字濾波器占有極其重要的地位，它具有精度高、可靠性好、靈活 性大等特點。按時間域特性，數(shù)字濾波器可以分為無限沖激響應數(shù)字濾波器和有限沖激響應數(shù)字濾波器兩類。 第四章 數(shù)字濾波器的設計 數(shù)字濾波器的簡介 魯東大學 本科畢業(yè) 設計 12 數(shù)字濾波技術是數(shù)字信號處理的一個重要組成部分，濾波器的設計是信號處理的核心問題之一。 ChebyshevI 和 II型濾波器在通帶或阻帶內具有波紋，但在相同過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)比 Butterworth 濾波器更少。 %給出幅度函數(shù)平方函數(shù) 其運行結果如圖所示： 由上圖可知，橢圓濾波器的過渡帶已相當窄，這種特性是 以犧牲通帶和阻帶的單調平滑性為代價的而換來的。 %將零極點增益形式轉化為傳遞函數(shù)形式 [H,w]=freqs(b,a,n)。 %設置通帶波紋為 1dB,阻帶衰減為 15dB 魯東大學 本科畢業(yè) 設計 11 [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。 MATLAB信號處理工具箱提供橢圓模擬低通濾波器的設計函數(shù) 程序是 Rp=1。 橢圓模擬低通濾波器的平方幅值響應函數(shù)為 ︱ H(j? )︱ 2=A(? 2) = 2211 ( )NcE ?? ?? 式中 ? 為小于 1 的正數(shù)，表示波紋情況； c? 為低通濾波器的截止頻率， N 為濾波器的階數(shù)， ()N cE ?? 為橢圓函數(shù)。 %頻率響應的幅度平方 程序運行結果如圖所示： 魯東大學 本科畢業(yè) 設計 10 由上圖可知 切比雪夫 II 濾波器在通帶內是單調平滑的，而在阻帶內卻出現(xiàn)了波紋。 %轉化為傳遞函數(shù) [H,w]=freqs(b,a,n)。其設計程序如下： [z,p,k]=cheb2ap(N,Rs)。 II 型模擬低通濾波器 切比雪夫 II 型模擬 低通濾波器的平方幅值響應函數(shù)為 ︱ H(j? )︱ 2=A(? 2)=12211 ( )NCC ?? ????? ???? 該濾波器的特點是：阻帶內具有等波紋的起伏 特性，而在通帶內是單調、平滑的，階數(shù)越高，頻率特性越接近矩形，傳遞函數(shù)既要有極點又要有零點。 %求的傳遞函數(shù)的幅頻響應 程序運行結果如下： 魯東大學 本科畢業(yè) 設計 9 由上圖可知，與巴特沃斯濾波器相 比，在相同的階數(shù)下切比雪夫濾波器具有 更窄的過渡帶。 %轉換為傳遞函數(shù)形式 [H,w]=freqs(b,a,n)。其設計程序為 [z,p,k]=cheb1ap(N,Rp)。傳遞函數(shù)無零點。 I 模擬低通濾波器 切比雪夫 I型模擬低通濾波器的平方幅值響應函數(shù)為 ︱ H(j? )︱ 2=A(? 2) =2211 ( )NCC ?? ?? 其中， ? 為小于 1 的正數(shù)，表示通帶內的幅值波紋情況； c? 為截止頻率， N 為切比雪夫多項式階數(shù)， ()N cC ??為 切比雪夫 多項式。 %給出傳遞函數(shù)幅度平方 程序運行結果如下 : 魯東大學 本科畢業(yè) 設計 8 可以看出，濾波器的幅頻平方特性隨著頻率 的增加而 單調下降。 %將零點增益形式轉換為傳遞函數(shù)形式 [H,w]=freqs(b,a,n)。 利用 Matlab 設計巴特沃斯濾波器的程序 [z,p,k]=buttap(N)。 1 ? ??jHa 0 c? s? p? ? 魯東大學 本科畢業(yè) 設計 7 模擬原型濾波器 Matlab 的實現(xiàn) 模擬低通 濾波器 巴特沃斯模擬低通濾波器的平方幅頻響應函數(shù)為 ︱ H(j? )︱ 2=A(? 2) =211+ Nc??（ ） 其中 wc是低通濾波器的截止頻率， N為濾波器的階數(shù)。但是，按照這種設計思想的編程較為麻煩。 MATLAB 信號處理工具箱的濾波器原型函數(shù) buttap,cheb1ap 。 （ 7） 確定濾波器階數(shù)。因此極點必須落在 s 平面的左半平面，相應的 ? ?sHa ? 的極點落在右半平面。對于單調下降的幅度特性，可表示成： 2)2)()0(lg10paapjHjH??? （ ） 2)2)()0(lg10saapjHjH??? （ ） 如果Ω =0 處幅度已歸一化為一，即 ? ? 1??jHa ， p? 和 s? 表示為 2)(lg10 pap jH ???? （ ） 2)(lg10 sas jH ???? （ ） 以 上 技 術 指 標 用 圖 表 示 ， 圖 中 c? 稱為 3dB 截 止 頻 率 ， 因? ? 21??ca jH ,20 ? ? dBjH ca 3?? 魯東大學 本科畢業(yè) 設計 6 圖 低通濾波器的幅度特性 濾波器的技術指標給定以后，需要設計一個傳輸函數(shù) ??sHa ，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標 p? 和 s? ，一般濾波器的單位沖激響應為實數(shù)，因此 ????? js2 |)()()( sHaHjH aaa = )()( ?? ? jHjH aa () 如果能由 p? ， p? ， s? ， s? 求出 ? ?2?jHa ，那么就可以求出所需的 ??sHa ，對于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)有自己的表達式，可以直接引用。 （ 4）按頻率變換法設計模擬 濾波器 模擬低通濾波器的設計指標有 p? ， p? 和 s? ，其中 p? 和 s? 分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率。通常用戶對模擬濾波器提出的要求有 ，包括截止頻率、上下邊界頻率，通帶波紋、阻帶衰減等等 ??tya 模擬濾波器)(tha ,H(s) ??sya ??sxa ??txa 魯東大學 本科畢業(yè) 設計 5 ，通常為巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波器等 利用頻率變換設計模擬濾波器的步驟為： （ 1）給定模擬濾波器的性能指標，如截止頻率 0? 或上、下邊界頻率 21,?? ；通帶波紋、阻帶衰減以及濾波器的類型 等。還可以看出，濾波器的濾波過程就是完成信號 ??txa 與它的單位沖激函數(shù)響應 ??tha 之間的數(shù)學卷積運算 過程 。在頻譜關系上，一個輸入信號的頻譜? ??jaX ，經(jīng)過濾波器的作用后，被變換成 ? ? ? ??? jXjH aa 的頻譜。 圖 模擬濾波器原理 頻域分析中 ，線性 濾波器的 傳遞 函數(shù) ??SHa 等于系統(tǒng)的單位沖激函數(shù)的響應 )(tha 的拉普拉斯變換： ? ? ?????????? ? dtehH stta （ ） 可以看出， 當 s=jω ，上式就是傅立葉變換的表達式，它反映了濾波器的傳輸特性對各種頻率的響應，也就是濾波器的頻率響應函數(shù) ? ??jHa ，它決定著濾波特性。這個函數(shù)從時域上反映了該濾波系統(tǒng)的傳輸特性。 (5) 第三章 模擬 低通 濾波器的設計 低通 濾波器的工作原理 模擬濾波器是對模擬信號實行線性濾波的一種線性時不變系統(tǒng)，如圖 所示。學科性工具箱專業(yè)性比較強，如控制系統(tǒng)工具箱、信號處理工具箱、神經(jīng)網(wǎng)絡工具箱、最優(yōu)化工具箱、金融工具箱、統(tǒng)計學工具箱等。 MATLAB 工具箱分為兩大類：功能性工具箱和學科性工具箱。 （ 4） MATLAB 工具箱 MATLAB 包含兩部分內容：基本部分和各種可選的工具箱。 （ 3）語言體系 MATLAB 具有程序結構控制、函數(shù)調用、數(shù)據(jù)結構、輸入 /輸出、面向對象等程序語言特征，所以使用 MATLAB 也可以想使用傳統(tǒng)編程語言一樣，進行程序設計，而且簡單易學、編程效率高。利用 MATLAB的高層繪圖操作， 我們 不需過多地考慮繪圖細節(jié)， 僅僅 給出一些基本參數(shù)就能繪制所需圖形。 （ 2）繪圖功能 利用 MATLAB 繪圖十分方便，它 不僅 可以繪制各種圖形 ， 還可以對圖形進行修飾和控制，增強圖形的表現(xiàn)效果。魯東大學 本科畢業(yè) 設計 3 MATLAB 還提供了 十分豐富的數(shù)值計算函數(shù)， 并且這些 數(shù)值計算算法都是國際公認的最先進、可靠的算法，其程序由世界一流專家編制和高度優(yōu)化?？煽康臄?shù)值計算和符號計算功能、強大的繪圖功能、簡單易學的語言體系以及為數(shù)眾多的應用工具箱是 MATLAB 區(qū)別于其他科學應用軟件的顯著標志?？梢灶A見， MATLAB 將在科學研究和工程應用中發(fā)揮越來越大的作用。在高等院校， MATLAB 已成為線性代數(shù)、自動控制理論、數(shù)字信號處理、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真、圖像處理等許多課程的基本教學工具，成為大學生必須掌握的基本編程語言。 [4] 第二章 MATLAB 簡介 MATLAB 是英文 MATrix LABoratory（矩陣實驗室）的縮寫。 經(jīng)典濾波器有 低通、高通、帶通、帶阻濾波器 四種， 每一種又有模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種形式 。 經(jīng)典濾波器是假定輸入信號 x(n)中的有用成分和希望去掉的成分分別占不同的頻帶，當輸入信號經(jīng)過濾波器后可將想要去除的信號有效去除。 濾波器的種類很多，分類 的方法也不同，可以從功能上、實現(xiàn)方法上、 設計方法上來分等。若 用軟件 在計算機上 實現(xiàn)時，它就是一段線性卷積的程序。 這樣的濾波器為數(shù)字濾波器。 FIR filter 魯東大學 本科畢業(yè) 設計 2 第一章 濾波器的基本概念 濾波器，顧名思義，起到對輸入信號 濾波的作用。 Simulink simulation。 關鍵詞 ： 高階低通； matlab； simulink仿真； IIR濾波器； FIR濾波器 Matlab