【正文】 緣檢測(cè)方法(LOG算子)采取先對(duì)原始圖像用高斯空間濾波器做最佳平滑，然后用拉普拉斯算子對(duì)濾波后的圖像提取零交叉點(diǎn)，以克服噪聲對(duì)邊緣檢測(cè)的影響。 形態(tài)學(xué)算法和傳統(tǒng)算法的邊緣檢測(cè)比較傳統(tǒng)的圖像邊緣檢測(cè)方法大多可歸結(jié)為圖像高頻分量的增強(qiáng)過程[16]，最早提出的Robert、Sobel、Prewitt等是一階微分邊緣算子。同理，閉運(yùn)算結(jié)構(gòu)元素尺度的選擇就轉(zhuǎn)化為如何選擇小結(jié)構(gòu)元素尺寸和膨脹的次數(shù)問題。 （41）由式（41）可以得出： （42）若將式（42）中的2次腐蝕膨脹擴(kuò)展為K次，則 （43）因此開運(yùn)算就轉(zhuǎn)換成不斷使用小結(jié)構(gòu)元素S腐蝕原圖像，再依次用小結(jié)構(gòu)元素S膨脹。結(jié)構(gòu)元素尺寸的計(jì)算是一個(gè)重要問題。當(dāng)結(jié)構(gòu)元素尺寸太小時(shí)，閉運(yùn)算不能實(shí)現(xiàn)裂口較大的斷裂邊緣連接，作開運(yùn)算時(shí)不能實(shí)現(xiàn)較大凸起與粘連的去除。正方形、菱形、六邊形可以看作是圓盤形的變異，線段形結(jié)構(gòu)元素可以用來去除或提取較長(zhǎng)的圖像結(jié)構(gòu)，不同形狀的結(jié)構(gòu)元素運(yùn)算結(jié)果會(huì)有差異，應(yīng)針對(duì)待處理圖像的幾何形狀進(jìn)行選擇。結(jié)構(gòu)元素可以為圓盤形、正方形、菱形、六邊形、線段形等。例如線段狀結(jié)構(gòu)元素，若它的原點(diǎn)在中點(diǎn)則為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，若原點(diǎn)在端頭則為非對(duì)稱結(jié)構(gòu)。 結(jié)構(gòu)元素的形狀任何形狀都可以作為結(jié)構(gòu)元素，但在實(shí)際應(yīng)用中，只有一定數(shù)量的結(jié)構(gòu)元素可用，通常結(jié)構(gòu)元素的形狀和尺寸必須適合于待處理目標(biāo)圖像的幾何性質(zhì)形狀選擇要注意兩點(diǎn)：（1）結(jié)構(gòu)元素對(duì)稱和非對(duì)稱性選擇。所以，根據(jù)給定的圖像處理目的，靈活、合理地運(yùn)用形態(tài)學(xué)運(yùn)算的要領(lǐng)歸結(jié)為兩點(diǎn)，即運(yùn)算復(fù)合方式的選擇及結(jié)構(gòu)元素的選擇。利用形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算是基于集合的觀點(diǎn)，這個(gè)集合集中反映了物體的形狀、體積、紋理、色彩等等。在數(shù)學(xué)上，利用灰度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來描述邊緣點(diǎn)的變化規(guī)律。一般將圖像的邊緣劃分為階躍狀邊緣和屋脊?fàn)钸吘墐煞N。這種邊緣線為兩種不同曲面的交界，在這些邊緣點(diǎn)處物體的法線方向不連續(xù)，即兩側(cè)灰度明顯不連續(xù)；2．邊緣由灰度或材料的不同產(chǎn)生；3．邊緣是物體與背景的分界線；4．邊緣由物體與物體的交界產(chǎn)生，在物體表面上法線的不連續(xù)處；5．邊緣由陰影引起，兩側(cè)灰度值有較大差異。其中最根本的問題是解決檢測(cè)精度和抗噪能力間的矛盾。因此，邊緣檢測(cè)在圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺中占有特殊的位置，它是是圖像分割、紋理特征提取和形狀特征提取等圖像分析的重要基礎(chǔ)，是底層視覺處理中最重要的環(huán)節(jié)之一。邊緣反映了圖像的最基本特征[14]。其中(a)為原圖像，(b)是骨架化效果，(c)是邊界像素測(cè)定效果。則認(rèn)為該像素為邊界像素。(a)原圖像 (b)骨架化效果 (c)邊界像素測(cè)定效果圖36 圖像的骨架化及邊界像素測(cè)定對(duì)于一幅二進(jìn)制灰度圖像，如果圖像的像素值為1，則圖像的狀態(tài)為ON；如果其像素的值為0，則該像素的狀態(tài)為OFF。從圖中可以看到經(jīng)過一次開操作和閉操作或者是經(jīng)過一次閉操作和開操作，圖像都得到了很好的平滑，但是細(xì)節(jié)上有一些微小的損失，邊緣的清晰度也有所下降，細(xì)節(jié)損失的大小取決于結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)和大小。同樣，結(jié)構(gòu)元素的選取也是個(gè)重要問題。用閉運(yùn)算消除與結(jié)構(gòu)元素相比尺寸較小的暗細(xì)節(jié)，而保持圖像整體灰度值和大的暗區(qū)域基本不變。該方法中，對(duì)結(jié)構(gòu)元素的選取相當(dāng)重要，它應(yīng)當(dāng)比所有的噪聲孔和噪聲塊的尺寸都要大。用B對(duì)A進(jìn)行閉操作，則可以將目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔消除掉。對(duì)于二值圖像，噪聲主要表現(xiàn)為目標(biāo)周圍的噪聲塊和目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔。進(jìn)行這兩種操作的最終結(jié)果是除去或減少了亮和暗的因素和噪聲。去除噪聲的一般的思想是：先對(duì)有噪聲的圖像進(jìn)行噪聲的模糊，也即是先平滑圖像然后進(jìn)行形態(tài)邊緣檢測(cè)。要準(zhǔn)確的檢測(cè)出圖像的邊緣，噪聲的濾除成為了邊緣檢測(cè)必不可少的步驟[13]。對(duì)圖33重構(gòu)后，如圖34所示，這里的標(biāo)記圖像是用掩模圖像減去一個(gè)常數(shù)2。（2）進(jìn)行形態(tài)學(xué)重構(gòu)形態(tài)學(xué)重構(gòu)操作具有很多獨(dú)有的特性：（1）形態(tài)學(xué)重構(gòu)處理基于兩幅圖像，一個(gè)是標(biāo)記圖像，另一個(gè)是掩模圖像，而不僅僅是一幅圖像和一個(gè)結(jié)構(gòu)元素。圖33 形態(tài)學(xué)重構(gòu)的簡(jiǎn)單圖像矩陣要很好地重構(gòu)這幅圖像，可以通過以下兩個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)：（1）首先創(chuàng)建標(biāo)記圖像與腐蝕和膨脹操作中使用的結(jié)構(gòu)元素一樣，標(biāo)記圖像的特征決定了形態(tài)學(xué)重構(gòu)結(jié)果所具有的特征，所以表搜集圖像的峰值應(yīng)該確定掩模圖像中希望強(qiáng)調(diào)對(duì)象的位置。在進(jìn)行形態(tài)學(xué)重構(gòu)時(shí)，重點(diǎn)是要選擇一個(gè)合適的標(biāo)記圖像，這是因?yàn)闃?biāo)記圖像進(jìn)行膨脹后要能充分強(qiáng)調(diào)掩模圖像中的主要對(duì)象。 （33） 形態(tài)學(xué)重構(gòu)所謂形態(tài)學(xué)重構(gòu)[5]，就是根據(jù)一幅圖像（稱之為掩模圖像）的特征對(duì)另一幅圖像（稱之為標(biāo)記圖像）進(jìn)行重復(fù)膨脹操作，直到該圖像的像素值不再變化為止。圖32[7]表示了細(xì)化效果。根據(jù)擊中擊不中變換細(xì)化過程可以定義成如式（32）所示的形式。 細(xì)化和粗化細(xì)化是在圖像中將二值物體和形狀減小為單個(gè)像素寬的線。輸出圖像是由所有在中匹配的像素(一個(gè)“擊中)和未在中匹配的像素(一個(gè)“擊不中)組成。擊中擊不中變換需要兩個(gè)結(jié)構(gòu)元和，這兩個(gè)結(jié)構(gòu)元被作為一個(gè)結(jié)構(gòu)元素，對(duì)，一個(gè)用來探測(cè)圖像內(nèi)部，另一個(gè)用來探測(cè)圖像外部，A被B擊中或擊不中變換定義如式（31）所示。利用擊中擊不中變換即可以提取特定的相交結(jié)構(gòu)信息。在上述變換中對(duì)它們均采取一致的政策而不管相交的結(jié)構(gòu)。為了研究圖像的結(jié)構(gòu)，可以逐步地利用各種成分(如各種結(jié)構(gòu)元素)對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，指定哪些成分包括在圖像內(nèi)，哪些成分包括在圖像外，從而最終確定圖像的結(jié)構(gòu)。第3章 形態(tài)學(xué)在圖像處理的基本應(yīng)用 擊中或擊不中變換在圖像分析中，同時(shí)探測(cè)圖像的內(nèi)部和外部，而不僅僅局限于探測(cè)圖像的內(nèi)部或圖像的外部，對(duì)于研究圖像中物體與背景之間的關(guān)系，往往會(huì)起到很好的效果[12]。從式（258）和式（259）的結(jié)果可知，經(jīng)模糊形態(tài)腐蝕膨脹運(yùn)算后的隸屬函數(shù)均落在[0,1]的區(qū)間內(nèi)。模糊性由結(jié)構(gòu)元素對(duì)原圖像的適應(yīng)程度來確定。 模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)將模糊集合理論用于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)就形成了模糊形態(tài)學(xué)。所以軟化形態(tài)學(xué)退化為標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)學(xué)。 （257）其中，是空間坐標(biāo)，是圖像的灰度值，是灰度結(jié)構(gòu)元素的核心，表示結(jié)構(gòu)元素的軟邊界，分別表示灰度圖像、灰度結(jié)構(gòu)元素的核心、灰度結(jié)構(gòu)元素的軟邊界的定義域，（集合差），其中表示灰度結(jié)構(gòu)元素的定義域。該排列表中的第K個(gè)元素即為軟數(shù)學(xué)形態(tài)膨脹或腐蝕的結(jié)果。在灰度軟形態(tài)學(xué)的膨脹與腐蝕運(yùn)算中，圖像f的灰度值與傳統(tǒng)的形態(tài)學(xué)一樣，需要與結(jié)構(gòu)元素的灰度值結(jié)合起來。 （255） （256） 軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的運(yùn)算中，注入了 “順序統(tǒng)計(jì)” 。二值形態(tài)學(xué)中的一些基本運(yùn)算性質(zhì)，在灰度形態(tài)學(xué)中依然成立，只是二值形態(tài)學(xué)是在集合的層次上，在灰度形態(tài)學(xué)中一律以函數(shù)代替；二值形態(tài)學(xué)用的是集合的交、并和補(bǔ)等集合關(guān)系的運(yùn)算，在灰度形態(tài)學(xué)中就以函數(shù)的相加、減并取結(jié)果的極大值或極小值的關(guān)系的運(yùn)算代替；例如開運(yùn)算的平移不變性可表示為式（254）的形式?？梢钥闯鲩_啟運(yùn)算后的圖像消除了原始圖像中的亮點(diǎn)，整體圖案顯得比原始圖像暗，因?yàn)樵紙D像中的亮細(xì)節(jié)往往讓人主觀感覺圖像偏亮，所以開啟運(yùn)算后圖像讓人感覺就暗了很多，而圖像整體灰度值卻沒有受到很大影響，因?yàn)殚_啟 （1）灰度開運(yùn)算 （2）灰度閉運(yùn)算圖216 灰度圖像開閉運(yùn)算仿真結(jié)果運(yùn)算的第二步會(huì)恢復(fù)一些圖像亮度，只是使得整個(gè)圖像沒有了亮細(xì)節(jié)；閉合運(yùn)算后的圖像消除了原始圖像中的暗點(diǎn)，整體圖案由于沒有了這些原來的暗區(qū)域，看起來會(huì)比較明亮清楚一些，但人眼往往對(duì)暗的細(xì)節(jié)不敏感，所以主觀感覺不是很明顯，但圖像整體的灰度值卻沒有受到很大影響，因?yàn)殚]合運(yùn)算的第二步腐蝕還會(huì)降低一些灰度，只是使得整個(gè)圖像沒有了暗細(xì)節(jié)。具體就是第一步的腐蝕去除了小的亮細(xì)節(jié)并同時(shí)減弱了圖像亮度，第二步的膨脹增加了圖像亮度但又不重新引入前面去除的細(xì)節(jié)。換句話說，當(dāng)貼著的下沿滾動(dòng)時(shí)，中沒有與接觸的部位都落到與接觸。圖(c)給出開啟操作的結(jié)果。圖215 形態(tài)學(xué)灰度開啟和閉合變換圖215[9]中，用開啟，即，可看作將貼著的下沿從一端滾到另一端。用(灰度)閉合記為，其定義如式（253）所示。 （252）開啟運(yùn)算可以通過求出所有結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)學(xué)平移都可填入輸入信號(hào)下方的極大點(diǎn)來計(jì)算?；叶葦?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中關(guān)于開啟和閉合的表達(dá)與它們?cè)诙禂?shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的對(duì)應(yīng)運(yùn)算是一致的。 （249） （250） （251） 灰度形態(tài)學(xué)開運(yùn)算和閉運(yùn)算具備了腐蝕和膨脹這兩種初級(jí)形態(tài)學(xué)運(yùn)算，我們便可以定義二級(jí)運(yùn)算一灰度開啟和灰度閉合運(yùn)算。 （244）6. 平移不變性如式（245）、式（246）、式（247）和式（248）所示。 （242）4. 交換律如式（243）所示。 （239）2．單調(diào)性如式（240）和式（241）所示。 灰度形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹運(yùn)算性質(zhì)灰度膨脹和腐蝕具有類似二值腐蝕和膨脹的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中具有非常重要的作用，下面不加證明的給出這些性質(zhì)。從(c)中可以看到與膨脹相反的結(jié)果，被腐蝕的圖像更暗．并且尺寸小、明亮的部分被削弱了。(a)為原始的灰度圖像，(b)為膨脹后的圖像，(c)為腐蝕后的圖像，采用的是的方形結(jié)構(gòu)元。 （237） （238）根據(jù)以上的定義形式，灰度膨脹可按下面步驟完成：對(duì)結(jié)構(gòu)元素的定義域中的每一個(gè)點(diǎn)將信號(hào)平移x，然后再對(duì)每次平移的信號(hào)的值加上，這樣對(duì)于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每個(gè)點(diǎn)都得到一個(gè)信號(hào)，對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取其最大值，便可得到膨脹的結(jié)果；灰度腐蝕則可按下面步驟完成：對(duì)于結(jié)構(gòu)元素的定義域中的每一點(diǎn)，將信號(hào)平移，然后再?gòu)拿看纹揭菩盘?hào)值減去，這樣對(duì)于結(jié)構(gòu)元素定義域中的每一點(diǎn)都得到一個(gè)信號(hào)，對(duì)所有這些信號(hào)逐點(diǎn)取其最小值，便得到腐蝕的結(jié)果。從圖中不難看出，半圓形結(jié)構(gòu)元素從信號(hào)的下面對(duì)信號(hào)產(chǎn)生濾波作用，這與圓盤從內(nèi)部對(duì)二值圖像濾波的情況是相似的?？磮D213，其效果相當(dāng)于半圓形結(jié)構(gòu)元素在信號(hào)的下面“滑動(dòng)”時(shí)，其圓心畫出的軌跡。從圖213可以看出，灰度腐蝕與二值腐蝕之間的一個(gè)基本關(guān)系：被灰度腐蝕信號(hào)的定義域等于利用結(jié)構(gòu)元素的定義域作為結(jié)構(gòu)元素，再對(duì)信號(hào)的定義域作二值腐蝕所得的結(jié)果。圖213 灰度圖像的膨脹和腐蝕變換圖213描述了這兩種變換。結(jié)構(gòu)元素必須在信號(hào)下方，故空間平移結(jié)構(gòu)元素的定義域必為信號(hào)定義域的子集。在1D中腐蝕的定義表達(dá)式將簡(jiǎn)化為如式（236）所示的形式。式（232）與2D卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用min(極小)替換了卷積中的求和(或積分)，用加法替換了卷積中的相乘。 （235）式中，和分別是和的定義域。與二值情況一樣，灰度腐蝕也可用灰度膨脹的對(duì)偶運(yùn)算來定義。在1D中膨脹的定義表達(dá)式將簡(jiǎn)化為如式（234）所示的形式。式（233）與2D卷積的形式很類似，區(qū)別是這里用max(極大)替換了卷積中的求和(或積分)，用加法替換了卷積中的相乘。 （233）式中，和分別是和的定義域。圖212 信號(hào)的反射 灰度形態(tài)學(xué)腐蝕和膨脹運(yùn)算灰度形態(tài)學(xué)是二值形態(tài)學(xué)對(duì)灰度圖像的自然擴(kuò)展，其中二值形態(tài)學(xué)所用到的交、并運(yùn)算分別用極大、極小極值代替就是灰度形態(tài)學(xué)的相應(yīng)運(yùn)算。圖211 信號(hào)的極大極小表示反射的定義是參照集合在平面內(nèi)相對(duì)原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)而提出來的。如果不在和的定義域內(nèi)，即不在之內(nèi)，則無定義。如果在的定義域內(nèi)，但在的定義域外，那么定義。和g的極小為：如果x在定義域的交集中，那么 （230）和的極大為：如果在定義域的并集，那么 （231）信號(hào)對(duì)原點(diǎn)的反射記為，其定義如式（232）所示。 （228）當(dāng)移位和偏移同時(shí)存在時(shí)，稱為形態(tài)學(xué)平移，記為，其定義如式（229）所示。將信號(hào)，向右水平移動(dòng)，稱移位，其定義如式（227）所示。 灰度形態(tài)學(xué)理論基礎(chǔ)灰度形態(tài)變換是建立在二值形態(tài)變換的基礎(chǔ)上的，在二值形態(tài)學(xué)中，集合的平移和交、并等變換仍然起著關(guān)鍵性的作用，但是對(duì)于圖像和結(jié)構(gòu)元素模型已經(jīng)不能僅用二值的集合表示，而用的是函數(shù)表示。但是對(duì)高分辨率的多值圖像進(jìn)行處理的形態(tài)學(xué)方法不同于二值形態(tài)學(xué)，它是將排序統(tǒng)計(jì)學(xué)與二值形態(tài)學(xué)有機(jī)結(jié)合起來的多值形態(tài)變換，一般稱為灰度形態(tài)學(xué)。值得說明的是，與腐蝕和膨脹運(yùn)算不同，開、閉運(yùn)算具有冪等性，這意味著一次運(yùn)算與重復(fù)運(yùn)算將得到相同的結(jié)果，這是一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì)。 （225）5．平移不等性如式（226）所示。 （222）3．單調(diào)性如式（223）和式（224）所示。 二值圖像開閉運(yùn)算性質(zhì)1．對(duì)偶性如式（221）所示。對(duì)原始二值圖像作閉運(yùn)算的結(jié)果如圖29(c)所示，采用和開運(yùn)算一樣的半徑為3的圓形結(jié)構(gòu)元素，從圖(c)看到，細(xì)長(zhǎng)彎口、指向內(nèi)部的齒狀邊緣和小洞都已被刪除。二值圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算的仿真結(jié)果如圖29所示，(a)是一幅原始的二值圖像，(b)是采(a)原圖像 (b)開運(yùn)算 (c)閉運(yùn)算圖29 二值圖像開閉運(yùn)算仿真結(jié)果用半徑為3的圓形結(jié)構(gòu)元素對(duì)原始圖像作開運(yùn)算后得到的結(jié)果。圖27 二值圖像開運(yùn)算示意圖使用結(jié)構(gòu)元素對(duì)集合進(jìn)行閉操作，表示為，其定義如式（220）所示。為了更好地理解開運(yùn)算在圖像處理中的作用，可以參考式（219）所示的等價(jià)方程： （219）圖27[7]表示了先腐蝕后膨脹所描述的開運(yùn)算。 二值圖像開運(yùn)算和閉運(yùn)算使用結(jié)構(gòu)元素對(duì)集合進(jìn)行開運(yùn)算，表示為，其定義如式（218）所示。 （216） （217）平移不變性意味著圖像或結(jié)構(gòu)元素的位置變化僅引起變換結(jié)果的位置變化，而結(jié)果的形態(tài)無任何改變。6. 尺度伸縮性如式（215）所示。 （213） （214）式（213）和式（214）十分重要，它們表明采用一個(gè)較大結(jié)構(gòu)元素的形態(tài)學(xué)運(yùn)算可以由兩個(gè)采用較小結(jié)構(gòu)元素B和C的形態(tài)學(xué)運(yùn)算的級(jí)聯(lián)來實(shí)現(xiàn)。 （212）需要說明的是腐蝕運(yùn)算不滿足交換律，即通常不成立。 （211）如果結(jié)構(gòu)元素包含原點(diǎn)，腐蝕的結(jié)果是