【正文】 平均值的收斂條件為LMS當且僅當 max0???時 optnWE???)]([lim （420） 因為實用時很少能夠知道 的各個特征值，實際上，我們有xR xrRT?a? （421） 其中 為 的跡，且xrRTx?????mii imxr MPinET112)]1([ （422） 式中 為輸入信號 的功率。n)]([2neEW換句話說，它用瞬時平方誤差性能函數 代替了均方誤差性能函數 )。下面推導一下它的公式。對前者進行)(2ne)]([2neE求梯度的運算，所得到的結果就取為關于后者的真實梯度 的估計 。這時可以根據輸入信號)(nX)(nd和需要信號 的采樣值估計 和 ，從而采用最陡下降法尋求 。換句話說，如果在第 n 次迭?W?代上權矢量取為 ，則第 n+1 次迭代時，加權系數 應取為: )(n )1(?nW??n????)(1( （49） 其中 為 的梯度，而 為常數并稱為步長因子或收斂因子。在一般情況，濾波器在迭代過程?min?中或當輸入過程統(tǒng)計特性發(fā)生變化時，權矢量 并不正好等于最佳值 上。均方誤差性能函數為： WRrwndExTxdT???2)]([? （47） 對 W 求梯度為： （48） xdxW?由式()可見，均方誤差 是權系數 ，…， 的二次函數。自適應算法就是用于optw opt達到這個目的，而且不需顯式計算 R 和 P 或進行矩陣求逆。1)(N,()0,iii? optw維納濾波的實際用途有限，若信號為非平穩(wěn)的，則 R 和 P 是時變的，必需重復計算。性能曲面的梯度可由下式給出： RwPd2????? （45） 圖 42 基本維納濾波器每組系數 w(i)(i=1,2,…N1)對應曲面是一點，在曲面矢地最小點梯度為 0，濾波權矢量達到最優(yōu) ，optw （46） PRwopt1??即著名的維納—霍夫曼方程的解。圖 41 基本維納濾波器假定一個 N 個系數（權值）的 FIR 濾波器的結構，維納濾波和原始信號 y(k)之間的差信號 e(k)為： （41） ???????10)(NiikkTkk xwyxwyne其中 和 w 分別為輸入信號矢量和權矢量，由下式kx ????????)1()(Nw? （42） ???????????)1(1Nkkxx?誤差平方為： （43） xxyeTkTkk??22對上式兩邊取期望得到均方誤差(MSE)，若輸入 x(k)與輸出 y(k)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則：武漢理工大學《信息處理課群綜合訓練與設計》課程設計10 （44） RwPxExyyEeTTkkk???2][][][2??其中 代表期望， 是 的方差， 是長度為 N 的互相關矢量，??E2k)(ky?是 NN 的自相關矩陣。典型地 y(k)包含一個與x(k)相關地分量和另一個與 x(k)不相關地分量。設計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位樣本響應 或傳遞函數 的表達式，其實質是解維納霍夫)(kh)(zH(WienerHopf)方程。4 基于自適應濾波的信號增強 基本維納濾波器基本維納濾波就是用來解決從噪聲中提取信號問題的一種濾波方法。 自適應濾波器結構自適應濾波器利用前一時刻的結果，自動調節(jié)當前時刻的濾波器參數，以適應信號和噪聲未知或隨機變化的特性，得到有效的輸出，主要由參數可調的數字濾波器和自適應算法兩部分組成，如圖 32 所示圖 32 自適應濾波器原理圖x(n)稱為輸入信號， y(n)稱為輸出信號， d(n)稱為期望信號或者訓練信號，e(n)為誤差僖號，其中，e(n)=d(n)y(n). 自適應濾波器的系數( 權值)根據誤差信號 e(n)，通過一定的自適應算法不斷的進行改變，以達到使輸出信號 y(n)最接近期望信號圖中參數可調的數字濾波器和自適應算法組成自適應濾波器。這些估計過程)(kd是以連續(xù)的時變形式進行的，這就是自適應濾波器需要有的自適應收斂過程。但是，由于目標函數 是輸入信號 ,參考信號(.)?)(kx及輸出信號 的函數，即)(kd)(ky （31）(.)[xk ,d()y]??因此目標函數必須具有以下兩個性質：非負性 （32）y(k)d,x(), 0y(k)]d,[x(). ???最佳性 （33）() , ()],[().) ???when在自適應過程中，自適應算法逐步使目標函數 最小化，最終使 逼近于 ，(.)?ky)(kd濾波參數或權系數 收斂于 ，這里 是自適應濾波系數的最優(yōu)解即維納解。前一過程的基本目標是調節(jié)濾波系數 ，使得有)(kwi意義的目標函數或代價函數 最小化，濾波器輸出信號 逐步逼近所期望的參考信號(.)? )(ky，由兩者之間的誤差信號 驅動某種算法對濾波系數進行調整，使得濾波器處于最)(kdke佳工作狀態(tài)以實現濾波過程。在自適應調整濾波系數的過程中，有不同的準則和算法。 基本自適應濾波器設計原則自適應濾波器通常由兩部分構成，其一是濾波子系統(tǒng)，根據它所要處理的功能而往往有不同的結構形式。但是通常要求的計算量大且不能補償元件參數誤差及運算誤差。它的缺點是存在穩(wěn)定性問題以及收斂速度不高。閉環(huán)算法的控制輸出則是濾波器輸入、濾波器輸出以及某些其他輸入的函數，如圖 31（b）所示。根據自適應算法是否與濾波器輸出有關，可以將其分為開環(huán)算法和閉環(huán)算法兩類。（a）開環(huán)算法 (b)閉環(huán)算法圖 31 自適應濾波器的組成自適應算法主要根據濾波器輸入統(tǒng)計特性進行處理。它可分為可編程濾波器（濾波部分）及自適應算法（控制部分）兩部分。自適應濾波器包括自適應時域濾波器和自適應空域濾波器，它和信息論、檢測與估計理論等密切相關，是近二十多年來發(fā)展起來的信息科學的一個重要分支。當輸入過程的統(tǒng)計特性未知時，自適應濾波器調整自己參數的過程稱為“學習過程” 。這就促使人們研究自適應濾波器。要實現維納濾波，就要求：輸入過程是廣義平穩(wěn)的；輸入過程的統(tǒng)計特性是已知的。假定線性濾波器的輸入為武漢理工大學《信息處理課群綜合訓練與設計》課程設計6有用信號和噪聲之和，兩者均為廣義平穩(wěn)隨機過程。濾波器研究的一個基本課題就是：如何設計和制造最佳的或者是最優(yōu)的濾波器。當濾波器的輸出為輸入的線性函數時，該濾波器稱為線性濾波器，否則就稱為非線性濾波器。3 自適應濾波 自適應濾波概念從連續(xù)的（或離散的）輸入信號中濾除噪聲和干擾以提取有用信號的過程稱為濾波。在標準計量信號發(fā)生器中使用自適應濾波器，可以將電源頻率的干擾降低到 100dB 以下。利用由自適應濾波器所構成的自適應噪聲干擾抵消系統(tǒng)，可以獲得自動跟蹤捕捉噪聲干擾源和高信噪比的優(yōu)異性能。在這個自適應噪聲抵消(ACN)系統(tǒng)中，系統(tǒng)輸出被用做自適應過程的誤差信號。在這個系統(tǒng)中，我們的目的是在最小均方意義下，產生對信號 最佳擬合的輸出信)(ts號 。然后，從原始輸入 減去濾波器的輸出1n0y? 0nsy，則系統(tǒng)的輸出就應當只有信號 ，然而，一般地，傳輸通道均是未知的，則使用固定s參數濾波器就行不通。 自適應噪聲抵消法的原理一個最簡單的自適應噪聲抵消原理示意圖如圖 61 所示：圖 61 自適應噪聲抵消原理圖 61 中抵消器的“ 原始輸入 ’’為 ，其中 s 為沿信道傳遞到傳感器的信號，0ns?為一個與信號 不相關的噪聲，抵消器的 “參考輸入 ’’為噪聲 ， 與信號 s 不相關，卻0ns 1n以某種未知的方式與噪聲 相關，由圖可以看出噪聲 經自適應濾波器輸出 ，再從原0n1 y始輸入 中減去該輸出，產生了系統(tǒng)的輸出 。其工作原理實質上以均方誤差 或方差 為最小準??)(2neE)(2ne則，對噪聲 進行最優(yōu)估計 ,然后從含噪聲的語音中減去噪聲 達到降噪，)(n)(ny??提高信噪比，增強語音。武漢理工大學《信息處理課群綜合訓練與設計》課程設計4 自適應噪聲抵消法自適應噪聲抵消法比其它方法多用了一個參考噪聲作為輔助輸入，從而獲得了比較全面的關于噪聲的信息，因而能得到更好的降噪效果。(2)噪聲必然會對語音參數的估計產生影響，特別是在信噪比較低時，語音估計參數就難以保證有足夠的精確度。一般看來，這種方法似乎是一個較好的語音增強方法，但實際也存在不少問題。噪聲和語音都可以認為是一個由高斯白噪聲驅動的、具有適當階數的自回歸 AR 模型。另一方面，輔音的持續(xù)時間較短，且周期性又很差，進一步加深了語音的失真度。自相關法的主要缺點是對語音信息的損傷較大。而噪聲一般是無規(guī)則的，它的自相關函數自 R(0)開始很快地衰減，因此含噪語音的相關函數基本上就是噪聲中語音的相關函數。 自相關法自相關法是利用語音時域小型特征，即相關性來增強語音信號的。只要知道基頻就可以把諧波之間的噪聲成分完全濾掉，這時濾波器只要設計成一組諧波頻率處的帶通濾波器即可。從眾多語音的頻譜結構可以看出：語音頻譜特別是元音部分具有明顯的諧波特征。因此對有色噪聲線性濾波方法就難以實現。因此這種方法對提高語音信噪比和可懂度效果十分有限。這樣得到了語音和噪聲近似的頻譜后就可得到濾波器，即： )()(?NSH??? （21）由此濾波器可使語音得到增強。對于加性穩(wěn)態(tài)白噪聲干擾的語音信號來說，語音的頻譜可以根據語音的產生模型近似地用含噪語音來預測得到。2 語音增強的方法現階段已有許多語音增強的方法，最常見的有線性濾波法、梳狀濾波法、自相關法、卡爾曼濾波法以及自適應噪聲抵消法。即使在實驗室仿真條件下，也難以找到一種通用的語音增強算法去適用各種噪聲環(huán)境。語音增強不但與語音信號處理理論有關，而且涉及到人的聽覺感知和語音學。1987 年，Paliwal 把卡爾曼濾波引入到語音增強領域。1980 年，Maulay和 Malpa