【文章內(nèi)容簡介】 波器，否則就稱為非線性濾波器。根據(jù)濾波器的參數(shù)是隨時間變化的，又可以將濾波器分為時變和非時變?yōu)V波器兩種。濾波器研究的一個基本課題就是：如何設(shè)計和制造最佳的或者是最優(yōu)的濾波器。所謂最佳濾波器是指能夠根據(jù)某一最佳準(zhǔn)則進(jìn)行濾波的濾波器。假定線性濾波器的輸入為武漢理工大學(xué)《信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計》課程設(shè)計6有用信號和噪聲之和，兩者均為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。維納根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則（濾波器的輸出信號與需要信號之差的均方值最?。?，求得了最佳線性濾波器的參數(shù)，這種濾波器被成為維納濾波器。要實現(xiàn)維納濾波，就要求：輸入過程是廣義平穩(wěn)的；輸入過程的統(tǒng)計特性是已知的。然而，由于輸入過程取決于外界的信號、干擾環(huán)境，這種環(huán)境的統(tǒng)計特性常常是未知的、變化的，因而不能滿足上述兩個要求。這就促使人們研究自適應(yīng)濾波器。自適應(yīng)濾波器在輸入過程的統(tǒng)計特性位置時，或輸入過程的統(tǒng)計特性變化時，能夠調(diào)整自己的參數(shù)，以滿足某種最佳準(zhǔn)則的要求。當(dāng)輸入過程的統(tǒng)計特性未知時，自適應(yīng)濾波器調(diào)整自己參數(shù)的過程稱為“學(xué)習(xí)過程” 。而當(dāng)輸入過程的統(tǒng)計特性變化時，自適應(yīng)濾波器調(diào)整自己參數(shù)的過程為“跟蹤過程” 。自適應(yīng)濾波器包括自適應(yīng)時域濾波器和自適應(yīng)空域濾波器，它和信息論、檢測與估計理論等密切相關(guān)，是近二十多年來發(fā)展起來的信息科學(xué)的一個重要分支。 自適應(yīng)濾波器的組成自適應(yīng)濾波器的組成如圖 31 所示。它可分為可編程濾波器（濾波部分）及自適應(yīng)算法（控制部分）兩部分?？删幊虨V波器即參數(shù)可變的濾波器，自適應(yīng)算法對其參數(shù)進(jìn)行控制以實現(xiàn)最佳工作。（a）開環(huán)算法 (b)閉環(huán)算法圖 31 自適應(yīng)濾波器的組成自適應(yīng)算法主要根據(jù)濾波器輸入統(tǒng)計特性進(jìn)行處理。它可能還與濾波器輸出和其他參數(shù)有關(guān)。根據(jù)自適應(yīng)算法是否與濾波器輸出有關(guān)，可以將其分為開環(huán)算法和閉環(huán)算法兩類。開環(huán)算法的控制輸出僅取決于濾波器的輸入和某些其他數(shù)據(jù)，但是不取決于濾波武漢理工大學(xué)《信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計》課程設(shè)計7器的輸出，如圖 31（a ）所示。閉環(huán)算法的控制輸出則是濾波器輸入、濾波器輸出以及某些其他輸入的函數(shù)，如圖 31（b）所示。閉環(huán)算法利用了輸出反饋，它不但能在濾波器輸入變化時保持最佳的輸出，而且還能在某種程度上補(bǔ)償濾波器元件參數(shù)的變化和誤差以及運(yùn)算誤差。它的缺點(diǎn)是存在穩(wěn)定性問題以及收斂速度不高。開環(huán)算法的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)整速度快，一般不存在穩(wěn)定性問題。但是通常要求的計算量大且不能補(bǔ)償元件參數(shù)誤差及運(yùn)算誤差。因此，多數(shù)采用閉環(huán)算法。 基本自適應(yīng)濾波器設(shè)計原則自適應(yīng)濾波器通常由兩部分構(gòu)成，其一是濾波子系統(tǒng)，根據(jù)它所要處理的功能而往往有不同的結(jié)構(gòu)形式。另一是自適應(yīng)算法部分，用來調(diào)整濾波子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)，或濾波系數(shù)。在自適應(yīng)調(diào)整濾波系數(shù)的過程中，有不同的準(zhǔn)則和算法。自適應(yīng)濾波器含有兩個過程，即自適應(yīng)過程和濾波過程。前一過程的基本目標(biāo)是調(diào)節(jié)濾波系數(shù) ，使得有)(kwi意義的目標(biāo)函數(shù)或代價函數(shù) 最小化，濾波器輸出信號 逐步逼近所期望的參考信號(.)? )(ky，由兩者之間的誤差信號 驅(qū)動某種算法對濾波系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使得濾波器處于最)(kdke佳工作狀態(tài)以實現(xiàn)濾波過程。所以自適應(yīng)過程是一個閉合的反饋環(huán)，算法決定了這個閉合環(huán)路的自適應(yīng)過程所需要的時間。但是，由于目標(biāo)函數(shù) 是輸入信號 ,參考信號(.)?)(kx及輸出信號 的函數(shù)，即)(kd)(ky （31）(.)[xk ,d()y]??因此目標(biāo)函數(shù)必須具有以下兩個性質(zhì)：非負(fù)性 （32）y(k)d,x(), 0y(k)]d,[x(). ???最佳性 （33）() , ()],[().) ???when在自適應(yīng)過程中，自適應(yīng)算法逐步使目標(biāo)函數(shù) 最小化，最終使 逼近于 ，(.)?ky)(kd濾波參數(shù)或權(quán)系數(shù) 收斂于 ，這里 是自適應(yīng)濾波系數(shù)的最優(yōu)解即維納解。因此，)(kwi optopt自適應(yīng)過程也是自適應(yīng)濾波器的最佳線性估計的過程，既要估計濾波器能實現(xiàn)期望信號的整個過程，又要估計濾波權(quán)系數(shù)以進(jìn)行有利于主要目標(biāo)方向的調(diào)整。這些估計過程)(kd是以連續(xù)的時變形式進(jìn)行的，這就是自適應(yīng)濾波器需要有的自適應(yīng)收斂過程。如何縮短武漢理工大學(xué)《信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計》課程設(shè)計8自適應(yīng)收斂過程所需要的收斂時間，這個與算法和結(jié)構(gòu)有關(guān)的問題是人們一直重視研究的問題之一。 自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波器利用前一時刻的結(jié)果，自動調(diào)節(jié)當(dāng)前時刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知或隨機(jī)變化的特性，得到有效的輸出，主要由參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法兩部分組成，如圖 32 所示圖 32 自適應(yīng)濾波器原理圖x(n)稱為輸入信號， y(n)稱為輸出信號， d(n)稱為期望信號或者訓(xùn)練信號，e(n)為誤差僖號，其中，e(n)=d(n)y(n). 自適應(yīng)濾波器的系數(shù)( 權(quán)值)根據(jù)誤差信號 e(n)，通過一定的自適應(yīng)算法不斷的進(jìn)行改變，以達(dá)到使輸出信號 y(n)最接近期望信號圖中參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法組成自適應(yīng)濾波器。自適應(yīng)濾波算法是濾波器系數(shù)權(quán)值更新的控制算法，根據(jù)輸入信號與期望信號以及它們之間的誤差信號，自適應(yīng)濾波算法依據(jù)算法準(zhǔn)則對濾波器的系數(shù)權(quán)值進(jìn)行更新，使其能夠使濾波器的輸出趨向于期望信號。4 基于自適應(yīng)濾波的信號增強(qiáng) 基本維納濾波器基本維納濾波就是用來解決從噪聲中提取信號問題的一種濾波方法。它的解是以均方誤差最小條件下所得到的系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 或單位樣本響應(yīng) 的形式給出的，因)(zH)(kh武漢理工大學(xué)《信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計》課程設(shè)計9此更常稱這種系統(tǒng)為最佳線性過濾器或濾波器。設(shè)計維納濾波器的過程就是尋求在最小均方誤差下濾波器的單位樣本響應(yīng) 或傳遞函數(shù) 的表達(dá)式，其實質(zhì)是解維納霍夫)(kh)(zH(WienerHopf)方程。如圖 41 所示，有兩個信號 x(k)和 y(k)同時加在濾波器上。典型地 y(k)包含一個與x(k)相關(guān)地分量和另一個與 x(k)不相關(guān)地分量。維納濾波器則產(chǎn)生 y(k)中與 x(k)相關(guān)分量地最優(yōu)估計，再從 y(k)中減去它就得到 e(k)。圖 41 基本維納濾波器假定一個 N 個系數(shù)（權(quán)值）的 FIR 濾波器的結(jié)構(gòu)，維納濾波和原始信號 y(k)之間的差信號 e(k)為： （41） ???????10)(NiikkTkk xwyxwyne其中 和 w 分別為輸入信號矢量和權(quán)矢量，由下式kx ????????)1()(Nw? （42） ???????????)1(1Nkkxx?誤差平方為： （43） xxyeTkTkk??22對上式兩邊取期望得到均方誤差(MSE)，若輸入 x(k)與輸出 y(k)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則：武漢理工大學(xué)《信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計》課程設(shè)計10 （44） RwPxExyyEeTTkkk???2][][][2??其中 代表期望， 是 的方差， 是長度為 N 的互相關(guān)矢量，??E2k)(ky?是 NN 的自相關(guān)矩陣。一個 MSE 濾波系數(shù)的圖形是碗形地，且只有唯一地][TkxR?底部，這個圖稱為性能曲面，它是非負(fù)的。性能曲面的梯度可由下式給出： RwPd2????? （45） 圖 42 基本維納濾波器每組系數(shù) w(i)(i=1,2,…N1)對應(yīng)曲面是一點(diǎn)，在曲面矢地最小點(diǎn)梯度為 0，濾波權(quán)矢量達(dá)到最優(yōu) ，optw （46） PRwopt1??即著名的維納—霍夫曼方程的解。自適應(yīng)濾波的任務(wù)是采用合適的算法來調(diào)節(jié)濾波權(quán)重 ，從而找到性能曲面地最優(yōu)點(diǎn) 。1)(N,()0,iii? optw維納濾波的實際用途有限，若信號為非平穩(wěn)的，則 R 和 P 是時變的，必需重復(fù)計算。對于實際的應(yīng)用需要能夠依次加入抽樣點(diǎn)而得到 的算法。自適應(yīng)算法就是用于optw opt達(dá)到這個目的，而且不需顯式計算 R 和 P 或進(jìn)行矩陣求逆。 最陡下降法武漢理工大學(xué)《信息處理課群綜合訓(xùn)練與設(shè)計》課程設(shè)計11最陡下降法構(gòu)成了不少算法，是 LMS 算法的基礎(chǔ)。均方誤差性能函數(shù)為： WRrwndExTxdT???2)]([? （47） 對 W 求梯度為： （48） xdxW?由式()可見，均方誤差 是權(quán)系數(shù) ，…， 的二次函數(shù)。當(dāng)權(quán)矢量 時，?1MoptW?達(dá)到最小值 ，幾何上這相當(dāng)于超拋物面的“碗底 。在一般情況，濾波器在迭代過程?min?中或當(dāng)輸入過程統(tǒng)計特性發(fā)生變化時，權(quán)矢量 并不正好等于最佳值 上。為了減小opt誤差，一個顯然的方法是找出該工作點(diǎn)處使均方誤差 減小速率最大的方向，亦即梯度?的負(fù)方向，然后令權(quán)矢量 W(n)沿著梯度的負(fù)方向修正。換句話說，如果在第 n 次迭?W?代上權(quán)矢量取為 ，則第 n+1 次迭代時，加權(quán)系數(shù) 應(yīng)取為: )(n )1(?nW??n????)(1( （49） 其中 為 的梯度，而 為常數(shù)并稱為步長因子或收斂因子。 的表達(dá)式為：?W??W]2)([)(( xdxrnR （410） 或： xdxIn?)(2()1???? （411） LMS 算法為了采取最陡下降法，需要知道均方誤差性能函數(shù)的梯度的精度值，這就要求輸入信號 和需要信號 平穩(wěn)且其二階統(tǒng)計特性為已知。這時可以根據(jù)輸入信號)(nX)(nd和需要信號 的采樣值估計 和 ，從而采用最陡下降法尋求 。但當(dāng)上述xRdr optW條件不具備時，我們只能把隨機(jī)的平方誤差 當(dāng)成是均方誤差 。對前者進(jìn)行)(2ne)]([2neE求梯度的運(yùn)算，所得到的結(jié)果就取為關(guān)于后者的真實梯度 的估計 。這就是由?W??Widrow 等人提出的最小均方算法，即 LMS 算法。下面推導(dǎo)一下它的公式。在最陡下降法的式中，用梯度的估計 代替梯度 即得：W????W (1)(Wn?????? （412） LMS 算法采用如下的梯度估計值： 22[()][()]WEeen??? （413） 即它用