【正文】 本章主要內容是分數階控制系統的求解，現在在工程實際中，有很多系統都是分數階而不是屬于整數階的，這些系統在近年來的研究中出現在很多種不同的模型，比如實域傳遞函數的數學描述，頻域傳遞函數的數學描述，狀態(tài)空間的數學描述，矩陣多項式的數學描述等分數階控制系統的描述模型。隨著數學家們對分數階微積分的研究，分數階微積分有著多種的定義，本章介紹了G L定義與RL定義及其Caputo定義這三種定義形式，通過仿真圖像就可以對分數階微分和積分運算有比較直觀的了解。在程序中，我們令p=1，即為求三角函數sin(t)的一階微分，即為函數cos(t)。對于特定的三角函數sin(t)，在這里可以通過之前的定義來表示函數sin(t)的ɑ階微分如下： ()其中上述式子中是h表示圖像的步長。由以上章節(jié)的具體的討論，對于分數階微積分有了大概的了解，在這里可以根據分數階微積分的定義作出一些簡單函數的分數階導數圖像，同時也可以通過這些特殊函數的圖像來間接驗證分數階理論的正確性。拉普拉斯變換的定義式為：函數f(t)滿足：t0時，f(t)=0。在力學系統研究，電力學系統，自動控制系統研究，可靠性相關系統等這些學科中得以尤其起著非常重要的作用。拉氏變換可以看成一個線性變換，可以把一個有著引數實數t(t0)的函數形式來轉換成為一個引數為復數s的函數形式。(5)函數f(t)的分數階微積分形式對于λ和t來說都是可以解析的。(2)分數階微積分具有線性性質，由式子表示即為： () (3)分數階微積分滿足疊加性質，由式子表示即為： () (4)對于分數階，如果ɑ=n，n是整數，那么分數階微分就和整數階的n階次微分的結果是一樣的。 通過以上描述的具體的定義可以看出，Caputo分數階微積分定義的數學表達式形式和RiemannLiouville分數階微積分定義的數學表達式有一定的相似性，這二者的最主要區(qū)別是在于對常數的求導的定義之上，Caputo定義要求對常數的求導為有界的，但是RiemannLiouville定義要求對常數的求導為無界的，所以在這里可以得出前者的定義更適合用于分數階微積分求解初值的問題。Caputo分數階的微分形式的數學表達式為： ()在上述式子中，ɑ=λ+m ,m是整數，且，Caputo分數階的積分形式的數學表達式為： ()對于式子()和 式子()，在這里可以將二者統一為以下的式子： () 在式子中。關于RiemannLiouville的分數階微分積分的定義，其在數學層面的要求要比G L定義的分數階微分積分的定義的要求高得多，它不僅僅要求函數是連續(xù)的，而且要求函數必須是可積的，雖然在實際的工程實踐運用的過程中，的確可以保證函數的連續(xù)性以及可積性，但是，RiemannLiouville的定義在工程實際中的運用還面臨著很多的無法解決的問題，例如，理論上的實現問題，以及在實際過程中還缺乏在物理意義上的初試值得問題，這些問題的存在限制了RiemannLiouville定義在工程實際中的運用。nwaldLetnikov定義在一定程度上有很大的聯系，RiemannLiouville定義可以在G L定義的基礎上通過簡單的數學推導運算得到，下面在這里就首先給出RiemannLiouville定義的分數階微分定義形式的數學表達式子： ()上述式子中可以用到在前面章節(jié)中介紹的Gamma函數。當λ大于零時，上述式子表示對函數f(t)求解λ階次導數；當λ小于零時，上述式子表示對函數f(t)求解λ階次積分。由于在之前的章節(jié)中對Gamma函數進行了一些介紹，下面的介紹就直接引用Gamma函數的一些結論和定義，在這里假定函數f(t)在給定的區(qū)域范圍內滿足存在n+1階次的導數，那么對于任意給定的實數ɑ的時候，在這里可以很快的推導出函數f(t)的任意λ階次的微積分的定義形式為以下所示的式子，即為分數階微積分的Gr252。nwaldLetnikov定義分數階微積分的Gr252。 不同的數學家們和研究人員對微積分定義所給出的形式會有所不同的，本文中我們將著重介紹G L定義與RiemannLiouville定義及其Caputo定義這三種定義形式。 在這里對函數來求導可以得到： ()其中λ和β滿足關系式 λβ。 雙參數變量的MittagLeffler函數的數學表達式為： () 其中ɑ0,β0.當ɑ=1的時候，式子() 可以表示成為： () 廣義范圍內的MittagLeffler函數的數學表達式為 () 其中式子中的ɑ，β，γC。由于參數變量個數的不同情況，MittagLeffler函數可以有單個參數，雙參數等這些表現形式[3]。由以上兩個式子我們可以得到= () 由拉式變換在Bata函數和Gamma 函數的之間來建立特定的聯系如下： () 而且在這里根據式子還可以得到改變參數順序不改變結果。Bata函數的數學定義形式如下： ()其中式子中的Re(z)0， Re(ω)0。Gamma 函數還有非常重要的一個性質，即為在z=n(n=0，1，2…)時是單極點，可以用下面的式子表示： ()這其中，積分形式可以表示一個廣義范圍內的積分。Gamma 函數的極限形式的定義形式如下： ()其中：Re(z)0, 它在復平面右半平面內是收斂的。 Gamma 函數毫無疑問，分數階微積分中最常用的的數學基本函數就是歐拉的Gamma 函數，它是用n!來表示的，這里的n可以是實數也可以是復數。在第五節(jié)中，將舉一個分數階微積分的仿真實例，通過這個例子，通過參數變化而引起的圖形變化，在這里可以了解分數階微積分的作用。 分數階微積分的數學基礎包括數學常用基本函數，在本章第一節(jié)中將著重介紹三種函數Gamma函數，Bata函數及其MittagLeffler函數，在第三第四節(jié)中將介紹拉普拉斯變換，這三種函數及變換形式是第二節(jié)學習分數階微積分定義時所必須要了解的，只有理解這三種函數，我們才能更好地理解分數階微積分的定義。第四章為分數階控制系統的仿真，主要介紹了整數階控制系統和分數階控制系統，并對這兩種控制系統分別進行了仿真實例分析，以觀察整數階控制系統和分數階控制系統的不同特點。主要給出了分數階微積分方程的兩種求解方法，包括數值解法和解析解法[2]。以及分數階微積分的相關性質；給出了分數階微積分的具體仿真實例。給出了分數階微積分的三種定義形式，Gr252。本文的主要內容是分數階控制理論在數學方面相關的基礎知識，分數階控制系統的求解以及分數階控制系統的具體仿真實例?，F在，Podlubny教授依然走在分數階控制研究領域的最前沿，因為分數階微積分方程可以對受控對象進行更為精確的描述，而分數階PIλDμ控制器在其相應的范圍之內受被控的對象及其本身的參數變化影響較小，在描述系統的動態(tài)特性及其穩(wěn)態(tài)性能的方面，分數階PIλDμ控制器跟整數階控制器相比是有著非常大的優(yōu)勢的，另外，隨著分數階PIλDμ控制器在航天領域，國防工業(yè)等控制方面的相當成功的應用，進而也在一定方面促進了分數階微積分理論長足全面的發(fā)展。在20世紀的末期，在控制系統設計及實施方面的應用中分數階微積分理論得到了長足的發(fā)展，取得了令人瞠目結舌的成果，Podlubny教授在他書寫的書里面，詳細地介紹分數階微積分具體的計算方法，及其分數階微積分方程的具體的解法，并對分數階微分積分理論方面提供了物理方面的理論解釋，提到以矩陣的辦法開始來進行分數階微積分的運算，把拉氏變換，傅氏變換等數學基礎工具帶入到分數階控制系統的計算及設計里來，對分數階控制系統理論的極速發(fā)展進行了理論方面的鋪墊。一些西方的國家，由于科學技術的巨大領先優(yōu)勢，得以可以較早的攝入這一領域，投資巨大，已經在航天領域，材料加工，國防工業(yè)中深入地運用了分數階理論，反之，由于國內科技及各方面起步比較晚，以致在分數階理論研究領域與西方國家有很大的差距，但是在衛(wèi)星運行，軌道交通等方面已有一定的運用，收獲了極好的效果，分數階控制系統方面的研究具有非常重大的研究意義，因此，這是一個值得研究的課題。在一些控制系統中，加入一些分數階環(huán)節(jié)后，可以增加微分積分階次，從而使系統控制方式靈活性大幅增加，可以得到較未加入時更好的效果，但是這同時也一定程度上增加了設計及實現的難度，這些年來自動控制理論在分數階方面的研究儼然已經成為科學界的一大熱點。這些研究分支的出現，使得分數階微積分理論得以迅速的發(fā)展。這在一定的程度上限制了科學技術在實際工程中的應用。分數階微積分的分數階控制系統仿真研究的畢業(yè)論文目錄摘要....................................................................................................................................IAbatract............................................................................................................................I1緒論................................................................................................................................1 課題的背景和意義....................................................................................................1 .........................................................................................2 .............................................................................................................3 2數學理論基礎....................................................................................................... ........3 ......................................................................................