極限計算方法總結(jié)-文庫吧資料
2025-07-03 03:28本頁面
【正文】 習(xí)題37 設(shè)為自然數(shù)，試證使證 （分析：要證使即要證有根） 令，顯然在上連續(xù)，于是記則又對函數(shù)應(yīng)用介值定理，知使即存在使習(xí)題38 設(shè)證明使證 （分析：將結(jié)果變形）記則于是 或 由介值定理知即 習(xí)題39 設(shè)且證使證 反證法。當(dāng)時，由的單減性便知即當(dāng)時，即 （當(dāng)時）。收斂。證 顯然假設(shè)則由，可解出（舍去 ）。當(dāng)時，有用完全類似的方法可證單減有下界，同理可證 習(xí)題26 設(shè)數(shù)列由下式給出 求 解 不是單調(diào)的，但單增，并以3為上界，故有極限。存在。設(shè)由解出（舍去）。而在分段點處 故習(xí)題23 求證 .證 ∵，而.由兩邊夾定理知，原式成立.習(xí)題24 設(shè)任取記 試證 存在，并求極限值。證 首先，當(dāng)是連續(xù)的?！?而 若，則就是方程的一個正根。解 首先，∴原式，∴ ，而 .習(xí)題13 下列演算是否正確？. 習(xí)題14 求.解 原式.習(xí)題15 求 . 解 ∵，原式 = 0.習(xí)題16 證明 （為常數(shù)）。為了利用重要極限，對原式變形習(xí)題7 求 . 解 原式 .習(xí)題8 求 . 解 由于.而.故 不存在。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。例21 解： 易見：因為 ，所以由準則2得： 。正確做法如下：原式= （分子、分母同時除以x） = （利用定理1和定理2）7． 利用極限存在準則求極限例20 已知，求解：易證：數(shù)列單調(diào)遞增，且有界（02），由準則1極限存在，設(shè) 。 正確解法：應(yīng)該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例14 解：原式== 。例12 （例4）解：原式= 。（最后一步用到定理2）6． 利用洛比達法則求極限說明：當(dāng)所求極限中的函數(shù)比較復(fù)雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。 正如下面例題解法錯誤一樣： 。例10 解：原式= 。4． 利用定理2求極限例8 解：原式=0 （定理2的結(jié)果）。例6 解：原式= 。3． 利用兩個重要極限求極限例5 解：原式= 。例3 解：原式 。注：本題也可以用洛比達法則。 定理8（準則2） 已知為三個數(shù)列，且滿足：（1） （2） ， 則極限一定存在，且極限值也是a ，即。6．連續(xù)性
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