極限計(jì)算方法總結(jié)-在線瀏覽
2024-08-07 03:28本頁面
【正文】 件。7．極限存在準(zhǔn)則 定理7（準(zhǔn)則1） 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。二、求極限方法舉例1． 用初等方法變形后，再利用極限運(yùn)算法則求極限例1 解：原式= 。例2 解：原式= 。2． 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限例4 解：因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)， 所以 原式= 。注：本題也可以用洛比達(dá)法則。例7 解：原式= 。5． 利用等價(jià)無窮小代換（定理4）求極限 例9 解：～，～， 原式= 。注：下面的解法是錯(cuò)誤的： 原式= 。例11 解：， 所以， 原式= 。同時(shí)，洛比達(dá)法則還可以連續(xù)使用。（最后一步用到了重要極限）例13 解：原式= 。（連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要極限）例15 解：例18 解：錯(cuò)誤解法：原式= 。例19 解：易見：該極限是“”型，但用洛比達(dá)法則后得到：，此極限不存在，而原來極限卻是存在的。對(duì)已知的遞推公式 兩邊求極限，得： ，解得：或（不合題意，舍去）所以 。上面對(duì)求極限的常用方法進(jìn)行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習(xí)，在練習(xí)中體會(huì)。 極限與連續(xù)的62個(gè)典型習(xí)題習(xí)題1 設(shè)，求 .解 記，則有，.另一方面 .因?yàn)?，故 .利用兩邊夾定理，知，其中 .例如 .習(xí)題2 求 .解 , 即 .. 利用兩邊夾定理知. 習(xí)題3 求.解 習(xí)題4 求 .解（變量替換法）令，則當(dāng)時(shí)，于是, 原式.習(xí)題5 求.解（變量替換法）令，原式. 習(xí)題6 求 (型)。習(xí)題9 研究下列極限 （1）.∵ 原式，其中，. ∴ 上式極限等于0，即.（2）.因?yàn)椤。? 所以 .（3）. 原式.習(xí)題10 計(jì)算.解 原式.習(xí)題11 .習(xí)題12 已知 ，求的值。證 （令）.習(xí)題17 求 .解 原式.習(xí)題18 求 . 解 (連續(xù)性法)原式 .習(xí)題19 試證方程 （其中）至少有一個(gè)正根，并且它不大于.證 設(shè)，此初等函數(shù)在數(shù)軸上連續(xù)，在上必連續(xù)。若，則由零點(diǎn)存在定理可知在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，故方程 至少有一正根，且不大于.習(xí)題21 求. 解 原式.習(xí)題20 設(shè)滿足且 試證 證 取使得當(dāng)時(shí)有即 亦即
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