【正文】 ： (39)式中：為材料的導(dǎo)熱系數(shù)，單位。在物理意義上，熱阻可以理解為界面綜合換熱(傳導(dǎo)、對(duì)流、輻射)系數(shù)的倒數(shù)： (37)式中：為與所求固相接觸的另一固相的溫度，單位。熱輻射邊界在數(shù)學(xué)計(jì)算上比較困難，工程實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常將它線性化，即： (36)式中：稱(chēng)為輻射對(duì)流換熱系數(shù)，單位。(4) 熱輻射 (35)式中： 為斯蒂芬(2) 第二類(lèi)邊界條件（邊界上的熱流密度）： (33)式中，為熱流密度(常數(shù))，單位；為熱流密度隨時(shí)間、位置和溫度變化的函數(shù)。本課題所做的鑄件鑄造過(guò)程數(shù)值模擬是將充型過(guò)程與凝固過(guò)程全過(guò)程模擬，充型過(guò)程的溫度場(chǎng)模擬為凝固過(guò)程提供了準(zhǔn)確的溫度初始條件。在計(jì)算時(shí)，必須根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定計(jì)算的初始條件和邊界條件。在上式控制方程中考慮了熱傳導(dǎo)、熱輻射、熱對(duì)流傳熱方式以及相變潛熱。而ANSYS Mechanical求解器求解溫度場(chǎng)是基于有限元法，本章主要介紹應(yīng)用有限元法進(jìn)行凝固過(guò)程數(shù)值求解的方法。鑄件凝固過(guò)程數(shù)值模擬的任務(wù)是用數(shù)值計(jì)算方法求解凝固傳熱的溫度場(chǎng)，研究凝固過(guò)程規(guī)律，以及對(duì)鑄件的縮孔縮松位置及大小進(jìn)行預(yù)測(cè)。否判斷新速度是否滿(mǎn)足精度要求？是計(jì)算體積函數(shù)，確定自由表面，確定新的計(jì)算域。 能量方程的離散同樣采用有限體積法離散能量方程，單元順序依然如圖23，按冪函數(shù)方案離散，對(duì)能量方程式（26）離散如下式（219）： （219）其中： 式中，D為擴(kuò)散傳導(dǎo)性； F為流量； P為peclet數(shù)，（為粘性系數(shù)）。2) 自由表面位置確定在自由表面的方向確定后，再根據(jù)相鄰單元的體積函數(shù)值來(lái)確定其位置。如若X方向分量最大，則自由表面為正平面，以此類(lèi)推。但需注意的是，一個(gè)網(wǎng)格在x方向上是施主，在y或z方向上不一定是施主，需要根據(jù)在該向界面走向加以判斷。當(dāng)表示單元具有自由表面。在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，穿過(guò)單元界面的F值流量為dF乘以網(wǎng)格邊界截面積，此處： （215） 節(jié)點(diǎn)被流體占據(jù)，F(xiàn)值為1，否則為0。F為流量；； 連續(xù)性方程的離散本文研究中，金屬液可認(rèn)為是不可壓縮流體，不可壓縮流體的連續(xù)性方程為式（22），用有限體積法將其離散得到 （212） VOF法自由表面函數(shù)方程的離散及自由表面的確定 體積函數(shù)方程： 　　　　　 （213） 體積函數(shù)方程（213）和連續(xù)性方程（22）可得下式： 　　　　　 （214） 當(dāng)式（214）在每個(gè)單元內(nèi)積分時(shí)， VOF法采用“施主受主”的處理方法，即根據(jù)單元的速度方向及單元的液流量將單元區(qū)分為施主單元或受主單元。圖23 網(wǎng)格布局　?。?11） 式中，為速度在x方向上分量，為的系數(shù)，A為垂直于方向所在界面的面積，P為壓力，b為常數(shù)。O（網(wǎng)格中心）布置壓力、溫度、體積分?jǐn)?shù)值。采用交錯(cuò)網(wǎng)格處理流體力學(xué)問(wèn)題具有以下優(yōu)點(diǎn)：① 精度高；② 通量守恒比較容易實(shí)現(xiàn)；③ 壁面上的壓力邊界條件不是必須知道的；④ 可以避免壓力的空間分裂現(xiàn)象。采用交錯(cuò)網(wǎng)格技術(shù)以避免鋸齒形壓力場(chǎng)和波形速度場(chǎng)等不合理場(chǎng)的出現(xiàn)，壓力位于網(wǎng)格中心，而速度位于網(wǎng)格邊長(zhǎng)中點(diǎn)，壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)錯(cuò)開(kāi)半格。且不是流場(chǎng)計(jì)算的主流計(jì)算方法，下面只對(duì)流場(chǎng)的控制方程基于有限體積法進(jìn)行離散。有限體積法采用控制體積離散計(jì)算區(qū)域，流場(chǎng)結(jié)果記錄在每個(gè)控制體積的中心節(jié)點(diǎn)上，有限體積法可以保證導(dǎo)出的離散方程具有守恒性，且離散方程的系數(shù)具有明確的物理意義，是目前求解流動(dòng)與傳熱最優(yōu)越也是應(yīng)用最廣泛的數(shù)值計(jì)算方法。有限元法最大優(yōu)點(diǎn)是對(duì)不規(guī)則區(qū)域適應(yīng)性好，但對(duì)流體尤其自由表面控制方程離散困難，在求解流動(dòng)與換熱問(wèn)題時(shí)，對(duì)流項(xiàng)的處理方法不及有限差分法和有限體積法。表21 紊流模型中常數(shù)的取值 控制方程的有限體積法離散形式 流場(chǎng)模擬的各種數(shù)值方法比較如第一章簡(jiǎn)介，流場(chǎng)求解方法主要有：有限差分法（FDM）、有限體積法（FVM）、有限元法（FEM）、有限分析法（FAM）。目前建立起來(lái)的紊流模型中應(yīng)用最多的是標(biāo)準(zhǔn)模型和零方程紊流模型[35]。前兩者需要極高的計(jì)算機(jī)硬件水平，一般企業(yè)很難應(yīng)用 [32,34]。雷諾建立的紊流運(yùn)動(dòng)均值運(yùn)動(dòng)方程式為： 　　　　　 （28） 式中，為通用變量；為輸運(yùn)系數(shù)；為各方程源項(xiàng)；下標(biāo)j=1,2,3表示在直角坐標(biāo)系下三個(gè)坐標(biāo)軸分量。1. 紊流運(yùn)動(dòng)方程雷諾方程紊流脈動(dòng)引起的動(dòng)量、質(zhì)量及能量輸運(yùn)二階關(guān)聯(lián)項(xiàng)都是未知的。雷諾數(shù)是一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)，計(jì)算公式如下： 　　　　　　　　 （27） 式中，稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)粘度，一般認(rèn)為，雷諾數(shù)超過(guò)2320即為紊流。 紊流模型及方程 流動(dòng)存在層流和紊流兩種，兩者有著本質(zhì)的不同。 能量方程即熱力學(xué)第一定律在流體力學(xué)中的表達(dá)方式，對(duì)單元中的流體，外界加入的熱量與外力對(duì)流體做功之和應(yīng)該為單元內(nèi)流體內(nèi)能的增量，即 （25）式中，是流體內(nèi)能；是流體密度；P是應(yīng)力對(duì)流體做功而產(chǎn)生的熱量；是單位時(shí)間內(nèi)傳給單位質(zhì)量流體的熱量。鑄造過(guò)程金屬液可以看做不可壓縮流體流動(dòng)，對(duì)于不可壓縮流體，=0；粘性系數(shù)（T）在溫度變化不大時(shí)可以取常數(shù)。動(dòng)量守恒方程和連續(xù)性方程只有4個(gè)方程，無(wú)法求解可壓縮流體的流動(dòng)。 動(dòng)量守恒方程動(dòng)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)形式是粘性流體流動(dòng)方程（NavierStokes方程式），簡(jiǎn)稱(chēng)NS方程，方程如下： （23a） （23b） （23c） 式中， ，是單位質(zhì)量上的體積力在x,y,z方向上的分量，P為流體壓力。對(duì)于不可壓縮流體，有，那么連續(xù)性方程變?yōu)槿缦滦问剑? （22）上式既適用于定長(zhǎng)流動(dòng)，也適用于非定長(zhǎng)流動(dòng)。所以它既適用于理想流體，也適用于粘性流體。靈活的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和基于解的自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)及成熟的物理模型，使Fluent在轉(zhuǎn)捩與湍流、傳熱與相變、化學(xué)反應(yīng)與燃燒、多相流、旋轉(zhuǎn)機(jī)械、動(dòng)/變形網(wǎng)格、噪聲、材料加工、燃料電池等方面有廣泛應(yīng)用。用來(lái)模擬從不可壓縮到高度可壓縮范圍內(nèi)的復(fù)雜流動(dòng)。ANSYS Mechanical是ANSYS經(jīng)典模塊，也是ANSYS公司最早的模塊，基于有限元法，求解熱分析、結(jié)構(gòu)分析等，具有強(qiáng)大的非線性求解能力，本文熱應(yīng)力部分均用該模塊求解。Workbench平臺(tái)還可用作應(yīng)用開(kāi)發(fā)框架，進(jìn)而最終提供項(xiàng)目級(jí)腳本編寫(xiě)、報(bào)告、用戶(hù)界面 (UI)工具包和標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)界面。、ANSYS目前，ANSYS整個(gè)產(chǎn)品線包括結(jié)構(gòu)分析(ANSYS Mechanical)系列，流體動(dòng)力學(xué)(ANSYS CFD（FLUENT/CFX）)系列，電子設(shè)計(jì)（ANSYS ANSOFT）系列以及ANSYS Workbench和EKM等。ANSYS公司于2006年收購(gòu)了在流體仿真領(lǐng)域處于領(lǐng)導(dǎo)地位的美國(guó)Fluent公司，于2008年收購(gòu)了在電路和電磁仿真領(lǐng)域處于領(lǐng)導(dǎo)地位的美國(guó)Ansoft公司。 ANSYS平臺(tái)軟件簡(jiǎn)介大型通用模擬軟件ANSYS在全球眾多行業(yè)中，被工程師和設(shè)計(jì)師廣泛采用。一般有兩種方法實(shí)現(xiàn)：一種方法是溫度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)都采用相同的方法，如有限元法；二是采用不同的方法計(jì)算溫度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。商品化流場(chǎng)計(jì)算軟件包多基于有限體積法和有限差分法，應(yīng)力計(jì)算軟件包基本上為有限元法。邊界元法只需將求解域的邊界劃分成單元，使求解維數(shù)降低，如三維問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為二維，二維問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一維，輸入數(shù)據(jù)少，計(jì)算時(shí)間短，誤差主要來(lái)自于邊界，精度高，可以處理力學(xué)、流體力學(xué)、傳熱學(xué)等，但BEM法目前還不成熟，采用該數(shù)值方法的商品化軟件非常少。有限元法是目前比較流行的數(shù)值計(jì)算方法，它具有幾何實(shí)體離散程度高，計(jì)算精度高的優(yōu)勢(shì)，但對(duì)流動(dòng)方程離散困難，從而流場(chǎng)計(jì)算速度慢。很多學(xué)者在進(jìn)行鑄件凝固過(guò)程應(yīng)力數(shù)值計(jì)算時(shí)，通常將熱彈塑性模型中的非線性問(wèn)題處理成雙線性模型，彈性階段和塑性階段均簡(jiǎn)化為線性。其中熱彈塑性模型使用廣泛。綜合兩種驗(yàn)證方法，可以驗(yàn)證本文流場(chǎng)的計(jì)算方法是可靠的。為了驗(yàn)證充型過(guò)程流場(chǎng)與溫度場(chǎng)，筆者做了兩個(gè)計(jì)算，第一個(gè)是英國(guó)伯明翰大學(xué)所做的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)，采用對(duì)比驗(yàn)證的方法驗(yàn)證了本文的計(jì)算方法，詳見(jiàn)第四章。二是水力模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，這也是一種常用的方法。在充型過(guò)程中，由于熱電偶不能對(duì)首次與其接觸的液態(tài)金屬溫度做出瞬時(shí)反應(yīng)，使得熱電偶測(cè)量的溫度具有滯后性（有關(guān)文獻(xiàn)報(bào)導(dǎo)約2~4s），即熱電偶對(duì)溫度沖擊響應(yīng)的時(shí)候，液態(tài)溫度的前沿已經(jīng)通過(guò)熱電偶，所以，它無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量出液態(tài)金屬流動(dòng)前沿的溫度。 充型過(guò)程數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證耦合溫度場(chǎng)的充型過(guò)程數(shù)值模擬結(jié)果是十分必要的，這對(duì)改進(jìn)計(jì)算、校驗(yàn)算法程序至關(guān)重要。本文也是用VOF法計(jì)算流體自由表面。另一種自由表面處理方法是VOF法，它是自由表面模擬的一個(gè)重大突破。 充型過(guò)程自由表面處理方法簡(jiǎn)介目前，用來(lái)處理自由表面的方法主要有MAC法和VOF法。該計(jì)算方法認(rèn)為，宏觀復(fù)雜物理系統(tǒng)是由很多行為簡(jiǎn)單的微觀個(gè)體組成，大量微觀個(gè)體的集體行為可以具有高度有序性。由于求解動(dòng)量方程不計(jì)入非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)、對(duì)流項(xiàng)及外力項(xiàng)，所以這種方法的動(dòng)量偏微分方程得以簡(jiǎn)化。4）FAN 方法FAN 技術(shù)（Flow Analysis Network Method）。SOLA－VOF技術(shù)原本是為有限差分模型設(shè)計(jì)的，但現(xiàn)在也廣泛應(yīng)用于有限體積法和有限元法。3）SOLA－VOF法[30]SOLA－VOF技術(shù)是美國(guó)LOS Alamos科學(xué)實(shí)驗(yàn)室研究出的帶有自由表面流場(chǎng)的模擬技術(shù)。MAC技術(shù)適用于求解粘性不可壓縮流體，且比較容易容易實(shí)現(xiàn)二維向三維轉(zhuǎn)化。2）MAC 技術(shù)[28]SMAC 技術(shù)(Simplified MAC)是 MAC 技術(shù)(Maker and Cell)的簡(jiǎn)化。 充型過(guò)程數(shù)值模擬方法 充型過(guò)程流場(chǎng)模擬方法簡(jiǎn)介充型過(guò)程流場(chǎng)數(shù)值模擬控制方程多，目前，流場(chǎng)的算法主要有：1）SIMPLE 方法[26,27]Patankar提出了 SIMPLE 方法和 SIMPLER 方法，意思是解壓力耦合的半隱式方法。同時(shí)通過(guò)對(duì)鑄件充型和凝固進(jìn)行數(shù)值模擬，為此類(lèi)及其他類(lèi)似零件的鑄造數(shù)值模擬提供了借鑒。因此，在通用模擬軟件中，將鑄造充型與凝固過(guò)程結(jié)合起來(lái)進(jìn)行模擬非常必要，充型結(jié)束時(shí)形成的不均勻的溫度場(chǎng)作為凝固過(guò)程溫度初始條件，十分接近鑄造實(shí)際過(guò)程。有些研究只模擬了充型過(guò)程流場(chǎng)和溫度場(chǎng)，多是得出數(shù)值結(jié)果，對(duì)判斷缺陷等工程實(shí)際應(yīng)用沒(méi)有太大意義。其中一個(gè)重要因素就是高溫下材料熱物性參數(shù)缺乏，因?yàn)橹苯訙y(cè)量這些數(shù)據(jù)比較困難。時(shí)至今日，國(guó)內(nèi)在鑄造凝固過(guò)程溫度場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、微觀組織數(shù)值模擬理論上都已接近世界前沿，但在實(shí)用化方面和世界發(fā)達(dá)國(guó)家還有一定的差距，可喜的是，清華大學(xué)、華中理工大學(xué)等科研單位已分別能提供FTStar、華鑄CAE等鑄造專(zhuān)業(yè)軟件，這些軟件模擬水平和精確度已接近世界成熟的商品化軟件，相信在不久的將來(lái)我國(guó)在鑄造數(shù)值模擬實(shí)用化方面會(huì)取得很大的進(jìn)展。此后，西安交通大學(xué)、哈爾濱工業(yè)大學(xué)、清華大學(xué)等也都開(kāi)展了應(yīng)力場(chǎng)的模擬分析工作。此后清華大學(xué)、華中科技大學(xué)、哈爾濱理工大學(xué)、哈爾濱工業(yè)大學(xué)、西北工業(yè)大學(xué)、西安交通大學(xué)等單位都先后投入大量人力開(kāi)展了溫度場(chǎng)模擬的研究。1978年，張毅、王君卿等人計(jì)算了葛洲壩電站125MW水輪機(jī)葉片鑄造凝固過(guò)程溫度場(chǎng)，并根據(jù)溫度場(chǎng)計(jì)算結(jié)果改進(jìn)了鑄造工藝[23]。2) 鑄造凝固過(guò)程數(shù)值模擬國(guó)內(nèi)發(fā)展概況國(guó)內(nèi)鑄造凝固過(guò)程數(shù)值模擬相對(duì)國(guó)外起步比較晚，約于20世紀(jì)70年代末開(kāi)始。很多鑄造專(zhuān)業(yè)軟件和通用計(jì)算軟件都已具備應(yīng)力計(jì)算功能，如ANSYS、ABQUS、ADINA、IDEAS等，它們提供了熱彈塑性等多種常用的力學(xué)模型，使熱應(yīng)力的計(jì)算越來(lái)越廣泛并開(kāi)始實(shí)用化[21]。鑄造凝固過(guò)程實(shí)用化程度正在快速提高。經(jīng)過(guò)各國(guó)專(zhuān)家近60年的努力，鑄造過(guò)程的溫度場(chǎng)數(shù)值模擬及縮孔縮松預(yù)測(cè)已經(jīng)非常成熟，應(yīng)力分析、微觀組織數(shù)值分析等關(guān)鍵技術(shù)研究也都取得了突破性進(jìn)展，凝固過(guò)程溫度場(chǎng)、熱應(yīng)力場(chǎng)、微觀組織的進(jìn)展如下：（一）溫度場(chǎng)數(shù)值模擬：溫度場(chǎng)計(jì)算技術(shù)已經(jīng)比較成熟，縮孔縮松的判定已經(jīng)達(dá)到工程實(shí)用化水平，它是鑄造數(shù)值模擬開(kāi)始最早、最成熟的技術(shù)。其溫度場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值相當(dāng)接近。 凝固過(guò)程數(shù)值模擬國(guó)內(nèi)外發(fā)展概況較鑄造充型過(guò)程數(shù)值模擬而言，鑄造凝固過(guò)程數(shù)值模擬發(fā)展得較為成熟，從鑄造過(guò)程溫度場(chǎng)模擬逐漸發(fā)展到熱應(yīng)力場(chǎng)，再到微觀組織的模擬，目前微觀組織的數(shù)值模擬是凝固過(guò)程數(shù)值模擬的前沿。進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，國(guó)外這些成熟的軟件也都開(kāi)發(fā)出了基于windows平臺(tái)的程序，而國(guó)內(nèi)鑄造模擬軟件的飛速發(fā)展使得在功能上和模擬分析的準(zhǔn)確性上都越來(lái)越接近國(guó)外這些成熟的鑄造軟件，這必將對(duì)對(duì)國(guó)內(nèi)鑄造業(yè)產(chǎn)生積極的影響。清華大學(xué)的張光躍、柳百成、荊濤等人開(kāi)發(fā)了Windows操作系統(tǒng)下的鑄件充型過(guò)程數(shù)值模擬軟件FTSTAR，并在多家鑄造廠的實(shí)際生產(chǎn)了應(yīng)用。近十年來(lái)，充型流場(chǎng)與溫度場(chǎng)的耦合計(jì)算已比較成熟。1990年吳士平用SOLA－MAC法實(shí)現(xiàn)了二維充型過(guò)程的數(shù)值模擬[8]，1991年清華大學(xué)的裴清祥采用SOLA－VOF法實(shí)現(xiàn)了三維充型流動(dòng)過(guò)程的數(shù)值模擬并進(jìn)行了水模擬驗(yàn)證[9]。進(jìn)入90年代后，我國(guó)各大學(xué)及科研院所也紛紛開(kāi)展了鑄造充型過(guò)程數(shù)值模擬方面的工作。在MCSP2004 會(huì)議上,日本KASHIWAI Shigeo 等進(jìn)行真空吸鑄充型過(guò)程數(shù)值模擬[6], 為估計(jì)數(shù)值模擬結(jié)果準(zhǔn)確度, 對(duì)鋁合金AC4C 鑄件充型過(guò)程進(jìn)行X 射線實(shí)驗(yàn)觀察，用兩種吸鑄壓力(10kPa和20kPa)和3種減壓速率(112 kPa/s,42kPa/s和80kPa/s)進(jìn)行