【正文】 由色散關(guān)系的對(duì)稱(chēng)性可以看出,單位波矢區(qū)間對(duì)應(yīng)有L/,根據(jù)這一定義可得模式密度為.由色散關(guān)系得:所以,模式密度:(2)德拜模型把晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì),把格波看作彈性波. 代入可以求出: 由正負(fù)離子組成的一維原子鏈，離子間距為a，質(zhì)量都為m，電荷交替變化。試求此系統(tǒng)沿方向的格波色散關(guān)系。 Cu，金剛石，NaCl晶體應(yīng)該分別有幾支色散關(guān)系？解：Cu有 3支聲學(xué)波；金剛石有3支聲學(xué)波，3支光學(xué)波；NaCl有3支聲學(xué)波，3支光學(xué)波。在二維波矢空間內(nèi)，格波的等頻線是一個(gè)個(gè)的圓環(huán)，如圖所示在區(qū)間內(nèi)波速為的格波數(shù)目式中S是二維晶格的總面積，由此可得波速為的格波的模式密度考慮到二維介質(zhì)有兩支格波，一支縱波，一支橫波，所以格波總的模式密度格波的振動(dòng)能晶格的熱容量 設(shè)某離子晶體中相鄰兩離子的相互作用勢(shì)為， b為待定常數(shù)， 平衡間距，求線膨脹系數(shù)。[證] 由（3－18）第一式得 ，當(dāng) 時(shí) 且對(duì)聲學(xué)支，代入上式即得： ，故A＝0， 輕原子靜止 再由（3－18）第二式得 ，當(dāng) 時(shí) 且對(duì)光學(xué)支，代入上式即得 故B＝0， 重原子靜止 設(shè)固體的熔點(diǎn)對(duì)應(yīng)原子的振幅等于原子間距的10％的振動(dòng)，推證，對(duì)于簡(jiǎn)單晶格，接近熔點(diǎn)時(shí)原子的振動(dòng)頻率，其中M是原子質(zhì)量。解：設(shè)標(biāo)為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)的原子所處的環(huán)境不同，參看圖，β 10β β 10βmx2n1 x2n x2n+1 x2n+2原子的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)是即 求格波解， 令 ，代入運(yùn)動(dòng)方程，可導(dǎo)出線性方程組為：令，從A，B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得可解出 色散關(guān)系見(jiàn)下圖時(shí)，時(shí)，．在一維雙原子鏈中，如，求證 [證] 由書(shū)中（）式知，雙一維原子鏈聲學(xué)支 ， 由近似式， 得 ， 對(duì)，由于， 在一維雙原子晶格振動(dòng)情況中，證明在布里淵區(qū)邊界處，聲學(xué)支格波中所有輕原子m靜止，而光學(xué)支格波中所有重原子M靜止。m－1，試求（1） 光學(xué)波的最高頻率和最低頻率和；（2） 聲學(xué)波的最高頻率；（3） 相應(yīng)的聲子能量（以eV為單位）；（4） 在300K可以激發(fā)頻率為，和的聲子的數(shù)目；（5） 如果用電磁波來(lái)激發(fā)長(zhǎng)光學(xué)波振動(dòng)，電磁波的波長(zhǎng)大小。m－1 解：一維單原子鏈的解為 據(jù)周期邊界條件 ，此處N=5,代入上式即得 所以 ＝2（為整數(shù)） 由于格波波矢取值范圍：。 Kr晶體是面心立方結(jié)構(gòu)，滿足勒納瓊斯勢(shì)，如果只計(jì)算到第三近鄰，試求熱平衡時(shí)Kr晶體的結(jié)合能。當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，此時(shí)相鄰離子間的引力達(dá)到最大值，即有 ……（3）將代入（3）式可得 因而離子間距增加了 試?yán)弥行杂?jì)算三維NaCl晶體的馬德隆常數(shù)。又設(shè)NaCl晶體處于平衡狀態(tài)時(shí)，相鄰兩離子間的距離為，則有。那么每個(gè)原子的平均晶格能為 解：.若NaCl晶體的馬德隆常數(shù)Μ=，晶格常數(shù)a=，冪指數(shù)n=9。晶胞基矢長(zhǎng)為 2，一個(gè)晶胞中含有四對(duì)正負(fù)離子對(duì)。解：由題意有以下方程成立：把，的具體數(shù)值代入上述方程組，即得：由此可得：， 該晶體的有效彈性模量為：又∵ （上式中表示晶體中所含的原子個(gè)數(shù) ，表示與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子）故＝＝=1010 解：（1）在簡(jiǎn)單立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（2）在面心立方點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（3）在體心立方點(diǎn)陣，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（4）在金剛石點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積，故；（5）在NaCl點(diǎn)陣中，每個(gè)原子平均所占據(jù)的體積；故。m2，eV設(shè)系統(tǒng)包含個(gè)原子，則系統(tǒng)的內(nèi)能可以寫(xiě)成 ……………（2）又因?yàn)榭砂褌€(gè)原子組成的晶體的體積表示成最近鄰原子間距的函數(shù)，即 ………………（3）上式中為與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子（如面心立方結(jié)構(gòu)，）。該鍵也既有方向性，也有飽和性，并且是一種較弱的鍵，其結(jié)合能約為50kJ/mol。而上述轉(zhuǎn)動(dòng)又是立方體的一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作，所以轉(zhuǎn)動(dòng)前后晶體沒(méi)有任何差別，電位移矢量D應(yīng)不變，即代入，可得：，即如果取E沿z方向，并繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，同理，可得：的非對(duì)角元都等于零，于是，（）再取電場(chǎng)沿立方體方向，則繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使z軸轉(zhuǎn)到原x軸，x軸轉(zhuǎn)到原y軸，y軸轉(zhuǎn)到原z軸，則轉(zhuǎn)動(dòng)后的D’寫(xiě)為與前論述的一樣，電場(chǎng)實(shí)際是沒(méi)變的，晶體所經(jīng)歷的又是一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作，晶體也完全未變，所以，D’和D應(yīng)相同。用D’表示轉(zhuǎn)動(dòng)后的電位移矢量。旋轉(zhuǎn)軸的變換矩陣。另外一方面因?yàn)榫w的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性要受到內(nèi)部結(jié)構(gòu)中點(diǎn)陣無(wú)限周期性的限制，有限外形的旋轉(zhuǎn)不能破壞點(diǎn)陣無(wú)限的周期排列，所以晶體沒(méi)有5次對(duì)稱(chēng)軸，而準(zhǔn)晶體是介于周期晶體和非晶玻璃之間的一種新的固態(tài)物質(zhì)形態(tài)，即準(zhǔn)晶體可以有5次對(duì)稱(chēng)軸。（2） 旋轉(zhuǎn)角，同理，有，于是有綜上，旋轉(zhuǎn)角改寫(xiě)為。晶體中某一晶面的晶列（1） 旋轉(zhuǎn)角，通過(guò)A處的u軸順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)后，使B1點(diǎn)轉(zhuǎn)到B’，若通過(guò)B處u軸逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)角后，A1點(diǎn)轉(zhuǎn)到A’。 繪出立方晶胞里的晶向與晶面：答： 繪出六方晶胞里的晶向與晶面：答： 按照WS原胞的構(gòu)造法，如果BCC中一個(gè)原子的所有最近鄰原子的連線的中垂面圍成一個(gè)什么圖形，體積為多少？如果BCC中一個(gè)原子的所有次近鄰原子的連線的中垂面又圍成一個(gè)什么圖形，體積為多少？答：原點(diǎn)和8個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正八面體，沿立方軸的6個(gè)次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角，形成的14面體——八個(gè)面是正六邊形, 六個(gè)面是正四邊形。第n近鄰簡(jiǎn)立方體心立方面心立方原子數(shù)原子間距原子數(shù)原子間距原子數(shù)原子間距168122126638122446241252482462468712242472830246924241210242424 繪出金剛石結(jié)構(gòu)的兩個(gè)面心立方子晶格的套構(gòu)情況。答： 請(qǐng)列表給出簡(jiǎn)立方、體心立方、面心立方的最近鄰（第一近鄰）到第十近鄰的原子數(shù)、原子間距。答：面心立方的晶胞和原胞如下圖所示，黑色晶胞，藍(lán)色原胞。由于面心立方體晶胞中有個(gè)原子，所以面心立方的堆垛因子設(shè)體心立方晶胞的邊長(zhǎng)為a，則堆垛成體心立方晶胞的原子半徑最大為。 什么是布拉維原胞？什么是WS原胞？答：布拉維原胞就是晶胞，WS原胞是以晶格中某一格點(diǎn)為中心，作其與近鄰的所有格點(diǎn)連線的垂直平分面，這些平面所圍成的以改點(diǎn)為中心的凸多面體即為該點(diǎn)的WS原胞。答：晶體是原子、離子或分子按照一定的周期性，在結(jié)晶過(guò)程中，在空間排列形成具有一定規(guī)則的幾何外形的固體，如鐵；非晶體是其中的原子不按照一定空間順序排列的固體，如玻璃。由布喇格公式得 同法得應(yīng)用立方晶系面間距公式可得晶格常數(shù)把上面各晶面指數(shù)和它們對(duì)應(yīng)的面間距數(shù)值代入，依次可得a 的數(shù)值*1010m為，取其平均值則得 平面正三角形，相鄰原子的間距為a，試給出此晶格的正格矢和倒格矢；畫(huà)出第一和第二布里淵區(qū).答：參看下圖，晶體點(diǎn)陣初基矢量為 用正交關(guān)系式求出倒易點(diǎn)陣初基矢量b1，b2。只有當(dāng)（h+k+l）為偶數(shù)時(shí)