【文章內(nèi)容簡介】 一個(gè)原胞（一個(gè)NaCl分子）的體積為： = NaCl晶體中的正負(fù)離子的平衡間距為： 由晶體體積彈性模 量的公式： = =由平衡時(shí)離子晶體的內(nèi)聚能公式：， 將n=： = 解：（1）在平衡時(shí)，有下式成立 ……………（1） 由上式可得（2）設(shè)該個(gè)惰性氣體原子組成的一維單原子鏈的總的相互作用勢(shì)能為，那么有 ………………（2）設(shè)為2個(gè)原子間的最短距離，則有，那么（2）式可化為 ………………（3）其中（3）式中。那么每個(gè)原子的平均晶格能為 解：.若NaCl晶體的馬德隆常數(shù)Μ=，晶格常數(shù)a=，冪指數(shù)n=9。晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，求：（1） 離子間距增加多少？（2） 負(fù)壓強(qiáng)的理論值是多大？解：（1）設(shè)該NaCl晶體的含有個(gè)離子，則其相互作用勢(shì)能為 ………………（1）上式中的指NaCl晶體中相鄰兩離子間的距離。又設(shè)NaCl晶體處于平衡狀態(tài)時(shí)，相鄰兩離子間的距離為，則有。由平衡條件可知 ……………（2） 由（2）式可得：。當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，此時(shí)相鄰離子間的引力達(dá)到最大值，即有 ……（3）將代入（3）式可得 因而離子間距增加了 試?yán)弥行杂?jì)算三維NaCl晶體的馬德隆常數(shù)。 試求出GaAs的離子鍵比例，Ga、。 Kr晶體是面心立方結(jié)構(gòu)，滿足勒納瓊斯勢(shì)，如果只計(jì)算到第三近鄰，試求熱平衡時(shí)Kr晶體的結(jié)合能。 解：53第3章 晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 試求由5個(gè)原子組成的一堆單原子晶格的格波頻率，設(shè)原子質(zhì)量m＝10－27kg，恢復(fù)力常數(shù)β＝15Nm－1 解：一維單原子鏈的解為 據(jù)周期邊界條件 ，此處N=5,代入上式即得 所以 ＝2（為整數(shù)） 由于格波波矢取值范圍：。 則 故可取－2，－1，0，1，2這五個(gè)值 相應(yīng)波矢：,0, , 由于，代入，m及q值 則得到五個(gè)頻率依次為（以rad/sec為單位） 1013，1013，0，1013，1013 求證由N個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的頻率分布函數(shù)可以表示為 式中是格波的最高頻率，并求證它的振動(dòng)?？倲?shù)恰為N解：對(duì)一維單原子鏈， 所以 （1） 由色散關(guān)系 求得 （2） 而， 則由（1）式可得 由于 ，則總的振動(dòng)模數(shù)為 令，則積分限為0到 ， 故 設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，試用德拜模型證明格波的頻率分布函數(shù)為解：由書上（3－69）式可得 （1）由（3－71）可得 由此可得 ，代入（1）式得 對(duì)一堆雙原子鏈，已知原子的質(zhì)量m＝10－27kg，另一種原子的質(zhì)量M＝4m，力常數(shù)β＝15Nm－1，試求（1） 光學(xué)波的最高頻率和最低頻率和；（2） 聲學(xué)波的最高頻率；（3） 相應(yīng)的聲子能量（以eV為單位）；（4） 在300K可以激發(fā)頻率為，和的聲子的數(shù)目；（5） 如果用電磁波來激發(fā)長光學(xué)波振動(dòng)，電磁波的波長大小。 解：（1） （2） （3） ， ， （4）光速 ， 設(shè)有一維晶體，其原子的質(zhì)量均為m，而最近鄰原子間的力常數(shù)交替地等于和10， 且最近鄰的距離為，試畫出色散關(guān)系曲線，并給出和處的。解：設(shè)標(biāo)為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)的原子所處的環(huán)境不同，參看圖，β 10β β 10βmx2n1 x2n x2n+1 x2n+2原子的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)是即 求格波解， 令 ，代入運(yùn)動(dòng)方程，可導(dǎo)出線性方程組為：令，從A，B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得可解出 色散關(guān)系見下圖時(shí)，，時(shí)，，．在一維雙原子鏈中，如，求證 [證] 由書中（）式知，雙一維原子鏈聲學(xué)支 ， 由近似式， 得 ， 對(duì)，由于， 在一維雙原子晶格振動(dòng)情況中，證明在布里淵區(qū)邊界處，聲學(xué)支格波中所有輕原子m靜止，而光學(xué)支格波中所有重原子M靜止。畫出這時(shí)原子振動(dòng)的圖象。[證] 由（3－18）第一式得 ，當(dāng) 時(shí) 且對(duì)聲學(xué)支，代入上式即得： ，故A＝0， 輕原子靜止 再由（3－18）第二式得 ，當(dāng) 時(shí) 且對(duì)光學(xué)支，代入上式即得 故B＝0， 重原子靜止 設(shè)固體的熔點(diǎn)對(duì)應(yīng)原子的振幅等于原子間距的10％的振動(dòng)，推證，對(duì)于簡單晶格，接近熔點(diǎn)時(shí)原子的振動(dòng)頻率，其中M是原子質(zhì)量。[解] 當(dāng)質(zhì)量為M的原子以頻率及等于原子間距的10％的振幅振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)能為： 在熔點(diǎn)時(shí)，原子的能量可按照能量均分定理處理，即一個(gè)一維原子的平均能量為，于是有，由此得 按德拜近似，試證明高溫時(shí)晶格熱容 證明：由書可知在高溫時(shí)，則在整個(gè)積分范圍內(nèi)為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡為 將上式代入的表達(dá)式，得 設(shè)晶格中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，試用德拜模型求三維晶格的零點(diǎn)振動(dòng)能 解：由（3－69）式知，狀態(tài)密度 則 在德拜近似的基礎(chǔ)上，討論由一個(gè)N個(gè)原子組成的二維晶格的比熱，證明在低溫下其比熱正比于證明：（解法一）此題可推廣到任意維m，由于 而德拜模型中，故 令，則上式變?yōu)? 在低溫時(shí) 則積分 為一個(gè)于T無關(guān)的常數(shù) 故 對(duì)三維 m＝3 對(duì)本題研究的二維 m＝2 對(duì)一維 m＝1 （解法二）德拜模型考慮的格波是彈性波，波速為的格波的色散關(guān)系是。在二維波矢空間內(nèi)，格波的等頻線是一個(gè)個(gè)的圓環(huán)，如圖所示在區(qū)間內(nèi)波速為的格波數(shù)目式中S是二維晶格的總面積，由此可得波速為的格波的模式密度考慮到二維介質(zhì)有兩支格波，一支縱波，一支橫波，所以格波總的模式密度格波的振動(dòng)能晶格的熱容量 設(shè)某離子晶體中相鄰兩離子的相互作用勢(shì)為， b為待定常數(shù)， 平衡間距，求線膨脹系數(shù)。 解：由書上（）式知，線膨脹系數(shù) 其中：， 由平衡條件 ，